制約理論TOCとスループット｜オペレーションズマネジメント

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：ボトルネックとキャパシティ（ボトルネック＝最小キャパシティの資源が律速）　|　制約の限界価値：線形計画による生産計画（シャドープライス）　|　次：リーン生産・JIT・かんばん

要点（BLUF）

制約理論（TOC, Theory of Constraints）はゴールドラットの考え方で、出発点は「システムの産出は、最も弱い1つの資源＝制約（ボトルネック）が律速する」（ボトルネックとキャパシティ）。だから全体の改善は、制約を見つけてそこに集中することに尽きます。
測る物差しはスループット会計の3指標——スループット $T$ （システムが売上を通じてお金を生み出す率＝売上 − 真の変動費〔資材費〕）・在庫 $I$ （売るために購入したものに縛られたお金）・業務費用 $OE$ （ $I$ を $T$ に変える費用）。狙いは $T$ 最大・ $I$ と $OE$ 削減で、利益は $T-OE$ 。
製品ミックスは「単位利益が高い順」では決めません。決め手は 制約1分あたりスループット $\dfrac{価格-資材費}{制約での所要時間}$ 。これは線形計画による生産計画のシャドープライス（制約の限界価値）と同じもので、本ノートでは「単位利益順」が赤字、「制約1分あたりT順」が黒字になり、後者が LP 最適と一致することを示します。
制約に集中する手順が集中の5ステップ（①特定 ②徹底活用 ③従属 ④強化 ⑤繰り返す）、ラインで制約を守る仕組みがドラム-バッファ-ロープ。非制約をいくら速くしても産出は増えず、制約の手前のバッファが枯渇（スターベーション）を防ぐことをシミュレーションで確かめます。

1. スループット会計：T・I・OE で測る

会計の常識では、製品ごとに材料費だけでなく労務費や間接費（工場の電気代・管理者の給料・減価償却）を「配賦」して原価を出し、売価との差を製品利益と呼びます。TOC はこの原価計算（コストワールド）を意思決定の物差しにすることを拒否します。理由は、間接費の多くは生産量を1個増減しても変わらない（その期の固定費）のに、配賦は「1個あたり○円」とあたかも変動費のように見せかけ、判断を誤らせるからです。

代わりに使うのが**スループット会計（スループットワールド）**の3つの量です。

指標	読み	定義
$T$	スループット	販売を通じてお金を生む率＝売上 − 真に変動する費用（資材費・外注費）。労務費は含めない
$I$	在庫（投資）	売るために購入したものに縛られたお金（原材料・仕掛・製品の購入価額）
$OE$	業務費用	$I$ を $T$ に変えるために使うお金（労務費・経費など、ほぼ期間固定）

ここで肝心なのは $T$ の定義です。1個売ったときのスループットは「価格 − その1個に直接かかった資材費」だけで、人件費は引きません。なぜなら工員の給料は1個多く作っても変わらない（ $OE$ の一部）から。利益とキャッシュは次の関係になります。

\text{純利益} = T_{\text{総}} - OE = \Bigl(\sum_i (p_i - m_i)\,x_i\Bigr) - OE

$p_i$ は製品 $i$ の価格、 $m_i$ は資材費、 $x_i$ は販売量。 $OE$ が期間固定なら、利益を最大化することは総スループット $\sum_i(p_i-m_i)x_i$ を最大化することと同じです。この単純な置き換えが、次節の「制約1分あたりT」という意思決定基準を生みます。

2. 集中の5ステップとドラム-バッファ-ロープ

制約は1つ（または少数）なので、改善努力をそこに集中します。TOC はこれを5つの集中ステップ（five focusing steps）として手順化しました。

flowchart LR
  S1["1. 制約を特定する"] --> S2["2. 制約を徹底活用する<br/>（1秒も遊ばせない）"]
  S2 --> S3["3. 他をすべて従属させる<br/>（非制約を制約の歩調に合わせる）"]
  S3 --> S4["4. 制約を強化する<br/>（能力を足す・外注する）"]
  S4 --> S5["5. 制約が動いたら繰り返す<br/>（惰性に戻らない）"]
  S5 -. "新しい制約へ" .-> S1

②徹底活用（exploit）が先で④強化（elevate）が後なのがポイント。お金をかけて能力を買い増す前に、まず今ある制約を遊ばせない（昼休みも止めない・段取りを制約の外でやる・不良を制約に流さない）。タダでできる改善を先に絞り切ります。
**③従属（subordinate）**は「非制約は制約に合わせて働け」。非制約が自分の効率を上げようとフル稼働すると、制約の前に在庫が山積みになるだけ（ボトルネックとキャパシティの「非ボトルネックの遊びは無駄ではない」）。

この③④をラインで実装する仕組みが**ドラム-バッファ-ロープ（DBR）**です。

flowchart LR
  REL["資材投入"] --> NB1["非制約工程<br/>（速い・余力あり）"]
  NB1 --> BUF["バッファ<br/>（制約の手前に在庫を置く）"]
  BUF --> DRUM["制約＝ドラム<br/>（最も遅い・常に稼働させる）"]
  DRUM --> NB2["非制約工程<br/>（速い・余力あり）"]
  NB2 --> OUT["出荷"]
  DRUM -. "ロープ：ドラムの歩調でだけ投入する" .-> REL

ドラム（drum）＝制約。システム全体の歩調（太鼓）を刻むのは制約の処理ペースです。
バッファ（buffer）＝制約の手前に置く在庫（時間バッファ）。上流がばらついても制約が枯渇（スターベーション）しないための保険。制約が1分止まると、その1分はシステム全体が1分止まったのと同じ（取り返せない）。
ロープ（rope）＝制約の処理ペースに資材投入を縛る信号。投入を制約より速くしても、仕掛在庫（ $I$ ）が膨らむだけで産出は増えません。ロープは投入を制約に同期させ、 $I$ を抑えます——これは次章リーン生産・JIT・かんばんのプル（WIP を上限で縛る）と同じ発想です。

3. 数式：制約1分あたりスループットで順位付け

制約の能力（たとえばボトルネック工程の1週間ぶんの分）は有限です。複数製品がこの同じ希少資源を奪い合うとき、どの製品を優先すべきか。素朴な答えは「1個あたりの利益（ $p_i-m_i$ ）が大きい製品から」ですが、これは間違いです。

正しい基準は、希少な制約時間を1分使ったときに得られるスループットで順位を付けること。

\text{制約1分あたりT}_i = \frac{p_i - m_i}{t_i}

$t_i$ は製品 $i$ が制約で消費する時間（分/個）。なぜこれが正しいか。制約の総時間 $C$ （分）を配分する問題は

\max_{x}\ \sum_i (p_i-m_i)\,x_i \quad\text{s.t.}\quad \sum_i t_i x_i \le C,\ \ 0\le x_i\le d_i

という線形計画（線形計画による生産計画）で、制約が1本だけのときの最適解は「単位資源あたりの価値が高い順に、需要上限 $d_i$ まで詰める」という貪欲法（分数ナップサック）で厳密に与えられます。そして最適でのボトルネックのシャドープライス（制約を1分広げたときの利益増）は、ちょうど最後に部分生産された「限界製品」の制約1分あたりTに等しくなります。つまり「制約1分あたりT」は TOC の優先順位基準であると同時に、LP の双対価格（制約の限界価値）そのものなのです。次のコードでこれを数値で確かめます。

4. 単位利益順 vs 制約1分あたりT順（コード）

製品A・B・Cが1つのボトルネック（週2400分）を奪い合います。**A は単位利益が最大（60円/個）だが制約を重く食う（30分/個）**ので制約1分あたりは2.0円と最低。逆に **C は単位利益が最小（30円）だが軽い（6分）**ので制約1分あたり5.0円と最高。「単位利益順」と「制約1分あたりT順」で生産を割り当て、総スループットと純利益（ $OE$ を引く）を比べます。最後に scipy.optimize.linprog で真の最適と突き合わせます。

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import linprog

# 3製品・1つのボトルネック資源（週2400分）。各製品の
#   価格・資材費 -> スループット T = 価格 - 資材費（円/個）
#   ボトルネックでの所要時間（分/個）・週次需要上限（個）
prod = pd.DataFrame({
    "製品": ["A", "B", "C"],
    "価格": [120, 95, 70],
    "資材費": [60, 50, 40],
    "制約時間_分": [30, 15, 6],
    "需要上限": [100, 100, 100],
})
prod["T_単位"] = prod["価格"] - prod["資材費"]            # 単位スループット（円/個）
prod["T_制約1分"] = prod["T_単位"] / prod["制約時間_分"]  # 制約1分あたりスループット

CAP = 2400.0   # ボトルネック能力（分/週）
OE = 5000.0    # 業務費用 OE（円/週・固定）

def allocate(df, order_col):
    """order_col の降順に貪欲にボトルネック時間を割り当て、生産量と総Tを返す。"""
    d = df.sort_values(order_col, ascending=False).copy()
    remain = CAP
    qty = []
    for _, r in d.iterrows():
        take = min(r["需要上限"], remain / r["制約時間_分"])  # 残り時間で作れる上限
        qty.append(take)
        remain -= take * r["制約時間_分"]
    d["生産量"] = qty
    d["獲得T"] = d["生産量"] * d["T_単位"]
    return d, d["獲得T"].sum()

by_profit, T_profit = allocate(prod, "T_単位")     # 単位利益が高い順に作る
by_ratio,  T_ratio  = allocate(prod, "T_制約1分")  # 制約1分あたりTが高い順に作る

print(prod[["製品", "T_単位", "制約時間_分", "T_制約1分"]].to_string(
    index=False, float_format=lambda x: f"{x:.2f}"))
print()
print("--- 方針1：単位利益（T_単位）が高い順に生産 ---")
print(by_profit[["製品", "生産量", "獲得T"]].to_string(
    index=False, float_format=lambda x: f"{x:.1f}"))
print(f"総スループット T = {T_profit:.0f} 円/週,  純利益 T-OE = {T_profit-OE:.0f} 円/週")
print()
print("--- 方針2：制約1分あたりT（T_制約1分）が高い順に生産 ---")
print(by_ratio[["製品", "生産量", "獲得T"]].to_string(
    index=False, float_format=lambda x: f"{x:.1f}"))
print(f"総スループット T = {T_ratio:.0f} 円/週,  純利益 T-OE = {T_ratio-OE:.0f} 円/週")

# LP（05-01 と同じ linprog）で真の最適を確認：max sum(T_i*x_i) s.t. sum(時間_i*x_i)<=CAP, 0<=x<=需要
c = -prod["T_単位"].to_numpy(dtype=float)
A_ub = prod["制約時間_分"].to_numpy(dtype=float).reshape(1, -1)
res = linprog(c=c, A_ub=A_ub, b_ub=[CAP],
              bounds=[(0, u) for u in prod["需要上限"]], method="highs")
print()
print(f"LP 最適スループット = {-res.fun:.0f} 円/週（制約1分あたりT順と一致）")
print(f"ボトルネックのシャドープライス = {-res.ineqlin.marginals[0]:.2f} 円/分")
print(f"  -> 限界製品A の T_制約1分 = {prod['T_制約1分'].min():.2f} 円/分 に一致")

出力：

製品  T_単位  制約時間_分  T_制約1分
 A    60      30    2.00
 B    45      15    3.00
 C    30       6    5.00

--- 方針1：単位利益（T_単位）が高い順に生産 ---
製品  生産量    獲得T
 A 80.0 4800.0
 B  0.0    0.0
 C  0.0    0.0
総スループット T = 4800 円/週,  純利益 T-OE = -200 円/週

--- 方針2：制約1分あたりT（T_制約1分）が高い順に生産 ---
製品   生産量    獲得T
 C 100.0 3000.0
 B 100.0 4500.0
 A  10.0  600.0
総スループット T = 8100 円/週,  純利益 T-OE = 3100 円/週

LP 最適スループット = 8100 円/週（制約1分あたりT順と一致）
ボトルネックのシャドープライス = 2.00 円/分
  -> 限界製品A の T_制約1分 = 2.00 円/分 に一致

出力の意味：A は単位利益が最大（60円）なので、「儲かる製品から作れ」という直感に従うと A だけを80個作って制約を使い切り、総スループット4800円・ $OE$ を引くと純利益 −200円の赤字です。ところが制約1分あたりTは A が最低（2.0円/分）。軽くて回転の速い C → B → A の順に詰めると、C を100個・B を100個・A を10個作れて総スループット8100円・純利益3100円の黒字。同じ制約・同じ需要なのに、順位の付け方だけで赤字と黒字が入れ替わりました。そして「制約1分あたりT順」の8100円は、linprog が出したLP 最適スループット8100円とぴたり一致。さらにボトルネックのシャドープライスは2.00円/分で、これは最後に部分生産された限界製品 A の制約1分あたりT（2.0円/分）と一致します。「制約1分あたりT」は TOC の優先順位であり、同時に線形計画による生産計画で見た制約の限界価値（双対価格）そのものだと数値で確認できました。

受注可否もこの物差しで決まります。新規の特注が来たとき、(a) その注文が制約を使わないなら、スループット $T=$ 価格 − 資材費 $>0$ でありさえすれば受けるべき（ $OE$ は固定なので $T$ が丸ごと利益に乗る。原価計算が「配賦原価割れ」と言って断るのは誤り）。(b) その注文が制約を使うなら、注文の制約1分あたりT が、押しのける限界製品の値（ここでは A の2.0円/分＝シャドープライス）を上回るときだけ受ける。たとえば制約を20分使い $T=120$ 円の特注は $120/20=6.0$ 円/分 $>2.0$ なので、A を減らしてでも受けるべき。逆に同じ20分で $T=30$ 円（ $1.5$ 円/分 $<2.0$ ）なら断る——シャドープライスが受注のハードルレートになります。

5. 非制約を速くしても無駄・バッファが制約を守る（コード）

ボトルネックとキャパシティで「非ボトルネックを速くしても産出は増えない」と学びました。TOC の言葉では「局所効率を上げても、制約でないところを強化（elevate）しても全体スループットは1ミリも増えない」。さらに DBR のバッファが、上流のばらつきから制約を守る効果も確かめます。段1（供給・速い $\mu_1=1.2$ ）→ バッファ（容量 $K$ ）→ 段2（ドラム＝制約・遅い $\mu_2=1.0$ ）の2段ラインを離散事象シミュレーションで回し、ブロッキング（バッファ満杯で段1が止まる）とスターベーション（バッファ空で段2が止まる）を陽に扱います。

import numpy as np

def sim_line(mu1, mu2, K, n, seed):
    """飽和入力の2段直列ライン。段1=供給（速い）, 段2=ドラム/制約（遅い）,
    その間のバッファ容量 K。ブロッキング(段1)とスターベーション(段2)を陽に扱い、
    段2の完成からスループットを測る。"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    S1 = rng.exponential(1.0 / mu1, n)   # 段1のサービス時間
    S2 = rng.exponential(1.0 / mu2, n)   # 段2のサービス時間
    s2 = np.zeros(n)   # 段2が部品 i の加工を始める時刻
    c2 = np.zeros(n)   # 段2が部品 i を完成（退去）させる時刻
    prev_e1 = 0.0      # 段1が直前の部品を払い出した時刻 e1[i-1]
    for i in range(n):
        c1 = prev_e1 + S1[i]                       # 段1が部品 i を作り終える
        prev_c2 = c2[i - 1] if i >= 1 else 0.0     # 段2が直前を終えた時刻
        if K == 0:                                  # バッファ無し＝直送（段1はブロック）
            ei = max(c1, prev_c2)
            si = ei
        else:                                       # バッファ K：i-K を段2が始めれば空く
            room = s2[i - K] if i - K >= 0 else 0.0
            ei = max(c1, room)
            si = max(prev_c2, ei)
        s2[i] = si
        c2[i] = si + S2[i]
        prev_e1 = ei
    warm = n // 10                                  # 立ち上がりを捨てる
    thru = (n - warm) / (c2[-1] - c2[warm - 1])     # スループット（個/時）
    return thru

mu1, mu2 = 1.2, 1.0   # 段1（非ボトルネック・速い）, 段2（ドラム=制約・遅い）
n = 200_000

print(f"段1（供給）率 mu1={mu1}, 段2（ドラム=制約）率 mu2={mu2}")
print("無限バッファなら スループット = 制約 mu2 = 1.000（段2が律速）")
print()
print("バッファK   スループット   制約能力に対する達成率")
for K in [0, 1, 2, 5, 10, 30]:
    thru = sim_line(mu1, mu2, K, n, seed=42)
    print(f"{K:6d}   {thru:11.4f}   {thru/mu2*100:8.1f}%")

print()
print("=== 集中の第4ステップ「制約を強化」：どこを速くすべきか（K=30 で比較）===")
base = sim_line(1.2, 1.0, 30, n, seed=42)
nonbn = sim_line(2.0, 1.0, 30, n, seed=42)   # 非ボトルネック(段1)を 1.2->2.0 に強化
bn = sim_line(1.2, 1.15, 30, n, seed=42)     # ボトルネック(段2)を 1.0->1.15 に強化
print(f"現状           (mu1=1.2, mu2=1.00): スループット {base:.4f}")
print(f"非制約を強化   (mu1=2.0, mu2=1.00): スループット {nonbn:.4f}  （ほぼ不変）")
print(f"制約を強化     (mu1=1.2, mu2=1.15): スループット {bn:.4f}  （上がる）")

出力：

段1（供給）率 mu1=1.2, 段2（ドラム=制約）率 mu2=1.0
無限バッファなら スループット = 制約 mu2 = 1.000（段2が律速）

バッファK   スループット   制約能力に対する達成率
     0        0.7265       72.6%
     1        0.8152       81.5%
     2        0.8674       86.7%
     5        0.9408       94.1%
    10        0.9815       98.1%
    30        1.0018      100.2%

=== 集中の第4ステップ「制約を強化」：どこを速くすべきか（K=30 で比較）===
現状           (mu1=1.2, mu2=1.00): スループット 1.0018
非制約を強化   (mu1=2.0, mu2=1.00): スループット 1.0024  （ほぼ不変）
制約を強化     (mu1=1.2, mu2=1.15): スループット 1.1358  （上がる）

出力の意味：まずバッファの効果。制約（段2・能力1.0）の手前にバッファが無い（K=0）と、スループットは0.7265＝制約能力の72.6%しか出ません。段1がたまたま遅れると段2が即スターベーション（手待ち）になり、止まった時間は二度と取り戻せないからです。バッファを $K=1,2,5,10$ と増やすと81.5% → 86.7% → 94.1% → 98.1% と回復し、 $K=30$ でほぼ100%（1.0018、0.2%の超過は有限長シミュの誤差で、漸近的な上限は制約能力1.000）。制約の手前のわずかな在庫が、ばらつきによる枯渇を吸収して産出を守る——これが DBR のバッファです。次にどこを強化すべきか。バッファ十分（ $K=30$ ）の状態から、非制約の段1を $1.2\to2.0$ と大幅に速くしても、スループットは $1.0018\to1.0024$ とほぼ不変。律速は段2のままだからです。一方制約の段2を $1.0\to1.15$ （15%）速くすると、スループットは $1.0018\to1.1358$ へ素直に上がります。改善のリターンは制約に投資したときだけ得られる。「全工程をまんべんなく効率化」は、制約以外への投資ぶんがそっくり無駄になるのです。

⚠️ よくある誤解

「局所効率を上げれば全体も良くなる」ではない：非制約の稼働率を上げても、産出は制約で頭打ち（ボトルネックとキャパシティ）。非制約をフル稼働させると、制約の前に仕掛在庫（ $I$ ）が積み上がるだけで $T$ は増えず、 $I$ と $OE$ （保管・管理）はむしろ悪化します。非制約は遊ばせてよい——その遊び（余力）はバッファを満たし制約を守るために使うのが正解です。
「スループット会計＝原価計算」ではない：原価計算は間接費を1個あたりに配賦して「製品原価」を作りますが、間接費の多くは生産量で変わらない期間費用（ $OE$ ）です。これを変動費のように扱うと、本ノートのように単位利益（≒配賦後の見かけの儲け）で並べて赤字を招きます。TOC は $T=$ 売上 − 真の変動費（資材費）だけを製品に紐づけ、 $OE$ はシステム全体で一括して引きます。配賦をやめると判断が変わるのが要点です。
「制約を強化したら終わり」ではない：制約を $1.0\to1.15$ と強化すると、いずれ別の資源が新しい制約になり（ボトルネックとキャパシティの「ボトルネックは移動する」、線形計画による生産計画の「シャドープライスは局所的」）、制約1分あたりTの順位もシャドープライスも変わります。第5ステップ「繰り返す」は惰性に戻るなという警告——昨日のボトルネック対策を、制約が動いた後も後生大事に続けてはいけません。
「制約は機械（物理）だけ」ではない：制約は方針（過度なバッチ規制・部門別効率指標）や市場（需要そのものが制約）にもあります。物理制約を解いていくと、最後に残る制約はしばしば組織の方針です（要最新確認）。本ノートは数理が効く物理制約に絞りましたが、TOC の射程はそこに留まりません。