感度分析｜数理最適化

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：線形計画の双対性　|　関連：スケジューリング・配送のモデル化

要点（BLUF）

感度分析は「データが変わったら最適解はどう動くか」を調べる。再計算せずに見通す道具。
影の価格＝制約の右辺 $b_i$ を1単位緩めたときの最適値の増分（＝双対変数 $y_i^\star$ ）。
これらの値には 許容範囲があり、範囲内なら最適基底は変わらず、価格は一定。

概念 ── なぜ感度分析か

実務のデータ（資源量・利益単価）はたいてい不確かで、後で変わる。そのたびに解き直すのは非効率。感度分析は 最適解の「効いている構造」を読み解き、小さな変化への反応を解析的に与える。LP の双対性（線形計画の双対性）がそのまま道具になる。

影の価格（右辺の変化）

制約 $i$ の右辺 $b_i$ を $\Delta$ だけ動かすと、最適値は近似的に

z^\star(b_i + \Delta) \approx z^\star(b_i) + y_i^\star \,\Delta

$y_i^\star$ が 影の価格（shadow price）＝双対最適解。経済的には「資源 $i$ をあと1単位手に入れたら利益がいくら増えるか」＝資源の限界価値。

$y_i^\star > 0$ ：その資源は 使い切っている（制約が等号で効く）。増やせば利益が増える。
$y_i^\star = 0$ ：その資源は 余っている（相補性、線形計画の双対性）。増やしても無駄。

ただしこの線形近似が成り立つのは 許容範囲（right-hand-side ranging） 内だけ。範囲を超えると最適基底（どの頂点か）が変わり、影の価格も変わる。

被約費用（目的係数の変化）

非基底変数 $x_j$ （最適で0の変数）の 被約費用 $\bar c_j$ は、「その製品を無理に1単位作ると利益がいくら減るか」。目的係数 $c_j$ を $\bar c_j$ を超えて改善しない限り、 $x_j$ は基底に入らず最適解の構成は変わらない（目的係数の許容範囲）。

Pythonで影の価格を確認

scipy の linprog 結果から ineqlin.marginals で影の価格が取れる（符号は最小化基準なので反転）。さらに材料の右辺を 100→101 に増やして、利益が影の価格どおり増えるか実測する。

from scipy.optimize import linprog

c = [-40, -30]
A_ub = [[2, 1], [1, 1]]   # 機械時間, 材料
b_ub = [120, 100]
bounds = [(0, None), (0, None)]

res = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=bounds, method="highs")
shadow = -res.ineqlin.marginals   # 最大化に直すため符号反転
print(f"機械時間の影の価格 = {shadow[0]:.1f}")
print(f"材料の影の価格   = {shadow[1]:.1f}")

# 材料を 100 -> 101 に1単位増やして利益の増分を実測
res2 = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=[120, 101], bounds=bounds, method="highs")
print(f"利益: {-res.fun:.0f} -> {-res2.fun:.0f}  (増分 {(-res2.fun)-(-res.fun):.1f})")

実行結果：

機械時間の影の価格 = 10.0
材料の影の価格   = 20.0
利益: 3200 -> 3220  (増分 20.0)

材料の影の価格は 20。実際に材料を1単位増やすと利益が 3200→3220 と ちょうど 20 増える。影の価格の予測どおり。機械時間の影の価格 10 は「機械をあと1時間使えれば利益が10増える」を意味し、設備投資の判断材料になる。

数式の直観的意味

影の価格 $y_i^\star$ は最適値 $z^\star(b)$ の $b_i$ に関する 偏微分（限界価値） $\partial z^\star / \partial b_i$ 。最適基底が変わらない範囲では $z^\star$ は $b$ の線形関数なので、傾き $y_i^\star$ が一定 ── これが「許容範囲内では影の価格は一定」の正体。範囲の端で基底が切り替わると、 $z^\star(b)$ は折れ線（区分線形・凹）になり、傾き（影の価格）が階段状に変わる。だから「資源を大量に買えば買うほど割に合う」とはならず、限界価値は逓減する。これは経済学の限界分析そのもの。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

影の価格は許容範囲内でのみ有効。範囲を超える大きな変化に線形外挿してはいけない。
退化のとき影の価格は一意でない：複数の双対最適解があり、価格が範囲ではなく1点で不定になる。
「影の価格が高い資源を増やせば常に得」ではない：増やせるのは許容範囲まで。超えると価格が下がる。
同時に複数のデータを動かすと、単純な足し合わせでは効果を読めない（100%ルールなどが要る）。