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🎓 第5章：誤り訂正符号

第5章 誤り訂正符号

シャノンの通信路符号化定理（シャノンの通信路符号化定理）は「容量未満なら誤りを0にできる符号が存在する」と保証しましたが、それは存在証明でした。この章では実際に作れる符号を扱います。鍵は符号語どうしのハミング距離——符号語を受信空間で十分離して配置すれば、少々のノイズで別の符号語に化けません。線形符号は生成行列・検査行列という線形代数で符号化と復号を一気に効率化し、ハミング符号は1ビット誤りをシンドロームで瞬時に訂正します。最後に、誤り検出の CRC から容量に肉薄する LDPC・ポーラ符号（5G で実用）まで俯瞰します。

トピック一覧

1. 誤り検出と訂正の基礎 — 標準
2. 線形符号とハミング符号 — 発展
3. 代表的な符号の概観 — 標準

この章の要点

• ハミング距離・最小距離 $d_{\min}$：$d_{\min}-1$ 個の誤りを検出、$\lfloor(d_{\min}-1)/2\rfloor$ 個を訂正できる。
• 線形符号 $(n,k)$：生成行列 $G$ で符号化、検査行列 $H$ で $Hc^\top=0$ を確認。シンドローム $Hr^\top$ が誤り位置を教える。
• ハミング(7,4)：$d_{\min}=3$、全ての1ビット誤りをシンドローム復号で訂正（実証済み）。
• 代表的符号：CRC（検出）、リードソロモン（バースト訂正・Singleton 限界）、LDPC・ポーラ（容量に迫る・5G NR で実用）。

関連章

• 第4章 通信路符号化定理 — 容量という到達目標
• 第1章 エントロピー — 冗長度と情報量
• ネットワーク：実装・プロトコル／セキュリティ：暗号は別物（誤り訂正ではない）

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