コアペリフェリ構造・assortativity

🎓 レベル：発展　|　重要度：B（推奨）

📎 前提：モジュラリティ最大化・次数中心性と次数分布　|　関連：スケールフリー（Barabási–Albert）

要点（BLUF）

コアペリフェリ構造：密に結合した中心（コア）と、コアにぶら下がる周辺（ペリフェリ）からなる。コミュニティとは別のメソ構造。
assortativity（同類選好）：似た性質（特に次数）のノードどうしが繋がる傾向。係数 $r$ で測る。
ソーシャルは正（ハブはハブと繋がる）、技術・生物ネットワークは負（ハブは末端と繋がる）になりやすい。

概念：コミュニティだけが構造ではない

ネットワークの中規模（メソスケール）構造は、互いに対等な集団の集まり（コミュニティ）だけではありません。1つの密な中心とそれを取り巻く周辺、というコアペリフェリ型もあります。また、構造を「誰と誰が繋がるか」の好みで特徴づける視点が同類選好（assortativity）。これらはコミュニティ検出（モジュラリティ最大化）が捉えない、別の軸の組織化です。

コアペリフェリ構造

理想的なコアペリフェリ構造では：

コア：互いに密に結合した中心ノード群。
ペリフェリ：コアとは繋がるが、ペリフェリ同士はほとんど繋がらない周辺ノード群。

コミュニティが「内部密・外部疎のブロックが複数」なのに対し、コアペリフェリは「1つの密なコア＋疎な周縁」。金融機関ネットワーク（中心の大銀行と周縁の小銀行）や交通ネットワークのハブ空港などが典型です。

graph TD
    subgraph Core["コア（密）"]
        c1((C1)) --- c2((C2))
        c2 --- c3((C3))
        c1 --- c3
    end
    p1((P1)) --- c1
    p2((P2)) --- c2
    p3((P3)) --- c3
    p4((P4)) --- c1

assortativity（次数同類性）

次数同類性係数 $r$ は、エッジの両端の次数の相関（ピアソン相関）として定義されます。

r = \frac{\sum_{ij}(A_{ij} - k_i k_j / 2m)\, k_i k_j}{\sum_{ij}(k_i \delta_{ij} - k_i k_j / 2m)\, k_i k_j}

$r > 0$ （assortative）：高次数ノードは高次数ノードと繋がる傾向。ソーシャルネットワークに多い。
$r < 0$ （disassortative）：高次数ノード（ハブ）は低次数ノード（末端）と繋がる傾向。技術・生物ネットワークに多い。
$r \approx 0$ ：次数に関して無相関。

コードで確認

import networkx as nx

G = nx.karate_club_graph()
print("次数同類性係数 r(空手クラブ) =", round(nx.degree_assortativity_coefficient(G), 4))

# Barabási–Albert（ハブが末端を集める）
BA = nx.barabasi_albert_graph(500, 3, seed=1)
print("BAネットワークの r =", round(nx.degree_assortativity_coefficient(BA), 4))

実行結果：

次数同類性係数 r(空手クラブ) = -0.4756
BAネットワークの r = -0.0596

空手クラブは $r=-0.48$ と強く disassortative — 2人の指導者（ハブ）が多数の一般メンバー（末端）を抱えるコアペリフェリ的な構造を反映しています。BAモデル（スケールフリー（Barabási–Albert））も負で、優先的選択がハブ‐末端結合を生むことが見て取れます。

数式の直観的意味

$r$ は「エッジを1本選んだとき、その両端の次数がどれだけ似ているか」のピアソン相関です。 $+1$ なら高次数は高次数とだけ、 $-1$ なら高次数は低次数とだけ繋がる。コアペリフェリ構造は典型的に disassortative（コアの高次数ノードが周縁の低次数ノードを集める）になります。assortativity は、次数分布（次数中心性と次数分布）が同じでも「繋がり方の好み」でネットワークの挙動（頑健性・拡散）が変わることを教えてくれます。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

assortativity は次数以外の属性でも定義できる：年齢・国籍など任意のノード属性の同類選好（homophily）も測れます。
disassortative ＝コミュニティがない、ではない：同類性とコミュニティ分割は独立の軸。両方を見て初めて構造が分かります。
コアペリフェリとコミュニティを取り違える：1つの密なコアを「コミュニティ」と誤検出することがある。目的に応じてモデルを選びます。

対応シミュレーション

本文のコードがそのまま検証用です。優先的選択とハブ形成はスケールフリー（Barabási–Albert）。