拡散と感染症モデル（SI・SIS・SIR）

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：次数中心性と次数分布・スケールフリー（Barabási–Albert）　|　関連：閾値モデル・情報カスケード・攻撃耐性とロバスト性

要点（BLUF）

感染症モデルは各ノードを状態（S=未感染, I=感染, R=回復）に分け、確率的に遷移させる枠組み。
SIは回復なし（最終的に全員感染）、SISは回復して再感染しうる（風土病）、SIRは回復後免疫（流行は1波で終わる）。
流行が起きるかは基本再生産数 $R_0$ が1を超えるかで決まる。ネットワークの次数分布が $R_0$ を左右する。

概念：広がりを状態遷移で捉える

病気・噂・流行語 — 「何かが人から人へ広がる」現象は、ネットワーク上のダイナミクスの代表例です。各ノード（人）を状態（未感染・感染・回復）で表し、感染ノードが隣の未感染ノードを確率的に感染させる。この単純なルールが、流行するかしないかの閾値現象を生みます。応用としての口コミ拡散はマーケティングのturf — ここでは拡散のモデルそのものを扱います。

3つの基本モデル

モデル	状態遷移	振る舞い	例
SI	S→I	全員が最終的に感染	不可逆な情報の伝播
SIS	S→I→S	感染と回復を繰り返す	風土病・再感染する噂
SIR	S→I→R	回復後は免疫、1波で収束	インフルエンザ・麻疹

graph LR
    S1["S 未感染"] -->|"感染率 β"| I1["I 感染"]
    I1 -->|"回復率 γ"| R1["R 回復/免疫"]
    I1 -.->|"SISでは S に戻る"| S1

数式：基本再生産数と閾値

連続時間の平均場近似では、感染ノードの割合 $i(t)$ の初期成長は

\frac{di}{dt} \approx (\beta \langle k \rangle - \gamma)\, i

ここで $\beta$ は1接触あたり感染率、 $\gamma$ は回復率、 $\langle k \rangle$ は平均次数。基本再生産数は

R_0 = \frac{\beta \langle k \rangle}{\gamma}

$R_0 > 1$ なら感染は指数的に拡大（流行）、 $R_0 < 1$ なら自然消滅。 $R_0=1$ が疫学的閾値です。重要なのは $\langle k \rangle$ が入ること — つながりが多いネットワークほど流行しやすい。

コードで確認

import networkx as nx
import numpy as np
from collections import Counter

def sir_sim(G, beta, gamma, seed, steps=200):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    state = {n: 'S' for n in G}
    state[rng.choice(list(G.nodes()))] = 'I'   # 初期感染者1人
    for _ in range(steps):
        new = {}
        for n in G:
            if state[n] == 'I':
                for nb in G.neighbors(n):       # 隣へ感染
                    if state[nb] == 'S' and rng.random() < beta:
                        new[nb] = 'I'
                if rng.random() < gamma:         # 回復
                    new[n] = 'R'
        if not new:
            break
        state.update(new)
    return Counter(state.values())

G = nx.barabasi_albert_graph(1000, 3, seed=5)
for beta in [0.05, 0.15]:
    finals = [sir_sim(G, beta, gamma=0.1, seed=s).get('R', 0) / G.number_of_nodes()
              for s in range(30)]
    print(f"beta={beta}, gamma=0.1: 最終感染割合(R/N)平均 = {np.mean(finals):.3f}")

実行結果：

beta=0.05, gamma=0.1: 最終感染割合(R/N)平均 = 0.047
beta=0.15, gamma=0.1: 最終感染割合(R/N)平均 = 0.414

$\beta=0.05$ （ $R_0$ が小さい）では感染は5%未満で立ち消え。 $\beta$ を3倍の0.15にすると $R_0$ が閾値を超え、全体の約41%に広がる大流行に。感染率のわずかな違いが、流行の有無という質的な差を生むのが閾値現象です。

数式の直観的意味

$R_0 = \beta \langle k \rangle / \gamma$ は「1人の感染者が回復するまでに平均何人にうつすか」です。1人がうつす相手の期待数が1を超えれば感染は世代ごとに増殖し、下回れば縮小する — ER の連結成分の相転移（Erdős–Rényiランダムグラフ）と同じ「枝が自己再生産できるか」の論理です。スケールフリーネットワーク（スケールフリー（Barabási–Albert））では $\langle k^2 \rangle$ が発散するため閾値が消失し、どんなに小さい $\beta$ でも流行が起きうる — これがハブを持つネットワークの恐ろしさです。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

平均場近似はネットワーク構造を均す： $R_0=\beta\langle k\rangle/\gamma$ は次数の不均一性を平均で潰す。スケールフリーでは $\langle k \rangle$ でなく $\langle k^2 \rangle/\langle k \rangle$ が効きます。
SI と SIR を混同しない：SI は必ず全員感染、SIR は回復による免疫で途中収束。問いに合うモデルを選ぶこと。
初期感染者の位置で結果が変わる：ハブから始まると流行しやすい。これが影響最大化（貪欲法・劣モジュラ性）の動機です。

対応シミュレーション

本文のコードがそのまま検証用です。免疫戦略（誰をワクチン接種するか）は攻撃耐性とロバスト性と表裏一体。