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🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：特殊なグラフ　|　関連：推薦システムとネットワーク・リンク予測

要点（BLUF）

• 二部ネットワーク：ノードが2種類（ユーザーとアイテム、著者と論文）に分かれ、エッジは必ず異種間を結ぶ。
• 射影（projection）：片側のノードだけのグラフに変換する。「共通の相手を持つ」ノードどうしを結び、重みは共通数。
• 協調フィルタリング・共著ネットワーク・推薦の構造的な土台。射影は情報を失うので、元の二部構造を保つのが原則。

概念：2種類のノードからなるネットワーク

ユーザーと商品、著者と論文、俳優と映画 — 多くの現実データは2種類の対象の関係です。ユーザーは商品に「買う」で繋がり、ユーザー同士・商品同士は直接繋がらない。これが二部ネットワーク（特殊なグラフ の二部グラフ）。推薦システム（推薦システムとネットワーク）はこの構造の上に立っています。

数式：二部構造と射影

二部ネットワークはノード集合が $V = U \cup W$（$U \cap W = \varnothing$）に分かれ、すべてのエッジが $U$ と $W$ をまたぎます。バイアジャセンシ行列 $B$（$|U| \times |W|$、$B_{ui}=1$ ならユーザー $u$ がアイテム $i$ に接続）で表せます。

片側射影は、共通の相手を持つ同種ノードを結びます。ユーザー側射影の隣接行列は

$(P^{(U)})_{uv} = \sum_i B_{ui} B_{vi}$ は「ユーザー $u,v$ が共通して接続するアイテム数」。これを重みとしたユーザー同士のグラフが得られます。アイテム側射影は $B^\top B$。

コードで確認

import networkx as nx
from networkx.algorithms import bipartite

B = nx.Graph()
users = ['u1','u2','u3']; items = ['a','b','c']
B.add_nodes_from(users, bipartite=0)
B.add_nodes_from(items, bipartite=1)
B.add_edges_from([('u1','a'),('u1','b'),('u2','b'),('u2','c'),('u3','a'),('u3','c')])

print("二部か:", nx.is_bipartite(B))

# ユーザー側射影（重み = 共通アイテム数）
Pu = bipartite.weighted_projected_graph(B, users)
print("ユーザー射影:", [(u,v,d['weight']) for u,v,d in Pu.edges(data=True)])

# アイテム側射影（重み = 共通ユーザー数）
Pi = bipartite.weighted_projected_graph(B, items)
print("アイテム射影:", [(u,v,d['weight']) for u,v,d in Pi.edges(data=True)])

実行結果：

二部か: True
ユーザー射影: [('u1', 'u2', 1), ('u1', 'u3', 1), ('u2', 'u3', 1)]
アイテム射影: [('a', 'b', 1), ('a', 'c', 1), ('b', 'c', 1)]

u1とu2はアイテムbを共有するので重み1のエッジで結ばれます。アイテム側では、aとbを両方買ったユーザー（u1）がいるのでa-bが重み1で結ばれる。**「同じ商品を買った人は似ている」「一緒に買われる商品は関連する」**という協調フィルタリングの発想が、まさに射影として現れています。

二部構造と射影の図解

graph TD
    subgraph 二部ネットワーク
        u1((u1)) --- a(("a"))
        u1 --- b(("b"))
        u2((u2)) --- b
        u2 --- c(("c"))
        u3((u3)) --- a
        u3 --- c
    end

数式の直観的意味

射影 $BB^\top$ は「共通の相手を何人/何個共有するか」という類似度行列です。これは推薦の核心 — 「あなたと似た購買履歴の人が買った物を薦める（ユーザーベース）」「この商品とよく一緒に買われる物を薦める（アイテムベース）」がそれぞれユーザー射影・アイテム射影に対応します。ただし射影には代償があります。元の二部ネットワークから射影を作ると、どのアイテムを介して繋がったかの情報が潰れ、しかもエッジ数が大きく膨らむ（人気アイテムが多数のユーザーを互いに結ぶ）。だから現代の推薦は射影せず、二部構造のまま行列分解やグラフ手法で扱うのが主流です。リンク予測（リンク予測）も二部グラフ上で「将来どのエッジが現れるか」を問います。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

• 射影は情報を失う：二部 → 片側で「介在する相手」が消える。可能なら元の二部構造を保つこと。
• 人気ノードが射影を密にする：超人気アイテムは、それを買った全ユーザーを互いに結び、巨大なクリークを作って射影を無意味に密にします。重みの正規化が必要。
• 二部グラフのクラスタ係数はゼロ：奇数閉路（三角形）がないので通常のクラスタ係数（クラスタ係数と推移性）は使えない。二部専用の指標を使います。

対応シミュレーション

本文のコードがそのまま検証用です。推薦への展開は 推薦システムとネットワーク（ML へリンク）。

関連

• 前提：特殊なグラフ
• 推薦システム：推薦システムとネットワーク
• リンク予測：リンク予測
• 上位ハブ：時間・多層・二部ネットワーク 目次