安全在庫と発注点｜オペレーションズマネジメント

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：経済的発注量EOQ（いくつ発注するか）・予測誤差の評価と追跡信号（σ_e→安全在庫の橋）　|　確率の土台：正規分布（標準正規・標準化）（z＝サービス水準の分位点）　|　次：定量発注と定期発注

要点（BLUF）

経済的発注量EOQ は「需要一定・補充瞬時」の理想世界の話でした。現実は需要がばらつき、注文してから届くまで（リードタイム $L$ ）にも在庫が減ります。この $L$ 期間の品切れリスクに備える緩衝が安全在庫 SSです。
守るべき相手はリードタイム需要 DLT（lead-time demand＝補充が届くまでに出る需要）。一定リードタイム $L$ ・独立需要なら、DLT の平均は $\mu_{DLT}=L\mu_d$ 、標準偏差は $\sigma_{DLT}=\sigma_d\sqrt{L}$ （分散が足し算だから $\sqrt{L}$ ）。
いつ発注をかけるかの在庫水準が発注点 ROP。 $ROP=\mu_{DLT}+SS$ 、 $SS=z\,\sigma_{DLT}$ 。 $z$ は目標サイクルサービス水準 CSL の正規分位点 $z=\Phi^{-1}(CSL)$ （確率の土台は正規分布（標準正規・標準化））。
安全在庫はばらつき $\sigma_{DLT}$ に比例し、リードタイムには** $\sqrt{L}$ で効きます**（ $L$ が4倍でも安全在庫は2倍）。「在庫切れを起こさないサイクルの割合（CSL）」と「需要を満たせた量の割合（フィルレート）」は別物——混同しないこと。

1. なぜ安全在庫が要るのか：守る相手は「リードタイム需要」

発注したら瞬時に届くなら、在庫が0になった瞬間に補充すればよく、安全在庫は不要です。現実にはリードタイム $L$ （発注から入荷までの日数）があり、その間も需要は出続けます。だから「在庫が** $L$ 期間ぶんの需要まで下がったら発注する」のが基本——この発注をかける在庫水準が発注点 ROP**です。

ところが需要は毎日同じではありません。リードタイム中にたまたま需要が多ければ、補充が届く前に在庫が尽きて品切れします。そこで、平均的なリードタイム需要に上乗せして持つ緩衝が安全在庫 SS。守るべき確率変数は、補充が届くまでに発生する需要の合計＝リードタイム需要 DLTです。

\text{DLT}=\sum_{i=1}^{L} d_i \quad(\text{$d_i$：第 $i$ 日の需要、平均 $\mu_d$・標準偏差 $\sigma_d$・独立})

flowchart LR
  ROP["在庫が発注点 ROP に低下"] -->|"発注をかける"| WAIT["リードタイム L 待つ<br/>（この間も需要が出る）"]
  WAIT --> RISK["リードタイム需要 DLT がどれだけ出るか"]
  RISK -->|"DLT が ROP 以下"| OK["在庫が持つ（補充到着）"]
  RISK -->|"DLT が ROP 超過"| NG["在庫切れ（安全在庫を食い破る）"]

2. リードタイム需要の平均と標準偏差

DLT は独立な日次需要の和なので、期待値は足し算・分散も足し算です。

\mu_{DLT}=\mathbb{E}\!\left[\sum_{i=1}^{L} d_i\right]=L\,\mu_d,\qquad \sigma_{DLT}^2=\mathrm{Var}\!\left[\sum_{i=1}^{L} d_i\right]=L\,\sigma_d^{2}

平方根をとると、ばらつきはリードタイムの平方根で伸びます——ここが在庫設計の急所です。

\sigma_{DLT}=\sigma_d\sqrt{L}

平均は $L$ に比例（線形）するのに、標準偏差は $\sqrt{L}$ でしか増えません。だからリードタイムが伸びるほど、平均需要に対する相対的なばらつきは縮みます（変動係数 $\sigma_{DLT}/\mu_{DLT}=\dfrac{\sigma_d}{\mu_d\sqrt{L}}$ が小さくなる）。それでも安全在庫は $\sqrt{L}$ で増えるので、リードタイム短縮は在庫削減に直接効きます。

発注点とサービス水準

DLT が（中心極限定理で）おおむね正規分布 $N(\mu_{DLT},\sigma_{DLT}^2)$ に従うとみなすと、発注点を

ROP=\mu_{DLT}+\underbrace{z\,\sigma_{DLT}}_{SS}

と置いたとき、そのサイクルで品切れしない確率（補充到着まで在庫が持つ確率）は

CSL=\Pr(\text{DLT}\le ROP)=\Pr\!\left(Z\le z\right)=\Phi(z) \;\;\Longrightarrow\;\; z=\Phi^{-1}(CSL)

です。欲しいサービス水準 $CSL$ （例 95%）を決めれば、対応する $z$ （標準正規の分位点）が決まり、安全在庫 $SS=z\,\sigma_{DLT}$ が出ます。 $\Phi^{-1}$ （正規分位点）そのものの理論は正規分布（標準正規・標準化）に譲り、ここでは scipy.stats.norm.ppf で値を取ります。

予測誤差からの接続：予測誤差の評価と追跡信号では、予測誤差の標準偏差を $\sigma_e\approx1.25\,\text{MAD}$ と見積もりました。リードタイム1期なら $\sigma_{DLT}=\sigma_e$ 、一般には $\sigma_{DLT}=\sigma_e\sqrt{L}$ 。予測の外れ幅 $\sigma_e$ がそのまま安全在庫の素材になります。 $SS=z\,\sigma_e\sqrt{L}$ 。

3. サービス水準から z・SS・ROP を計算する（コード）

需要は1日平均 $\mu_d=50$ 個・標準偏差 $\sigma_d=12$ 個、リードタイム $L=4$ 日。目標 CSL を 90/95/99% としたときの $z$ ・安全在庫・発注点を scipy.stats.norm.ppf で計算し、続けてリードタイムを伸ばすと安全在庫が $\sqrt{L}$ で増えることを見ます。

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.stats import norm

# 需要：1日あたり平均 μ_d、標準偏差 σ_d。リードタイム L 日（一定・需要は独立）
mu_d = 50.0     # 1日あたり平均需要（個/日）
sigma_d = 12.0  # 1日あたり需要の標準偏差（個/日）
L = 4           # リードタイム（日）

# リードタイム需要 DLT の平均と標準偏差
mu_DLT = L * mu_d
sigma_DLT = sigma_d * np.sqrt(L)
print(f"リードタイム需要 DLT: 平均 μ_DLT = L·μ_d        = {mu_DLT:.1f} 個")
print(f"                     標準偏差 σ_DLT = σ_d·sqrt(L) = {sigma_DLT:.2f} 個")
print()

# 目標CSL → z = Φ^{-1}(CSL) → 安全在庫 SS = z·σ_DLT、発注点 ROP = μ_DLT + SS
print("CSL    z=norm.ppf(CSL)   SS=z·σ_DLT    ROP=μ_DLT+SS")
for csl in [0.90, 0.95, 0.99]:
    z = norm.ppf(csl)
    SS = z * sigma_DLT
    ROP = mu_DLT + SS
    print(f"{csl:.2f}      {z:7.4f}       {SS:7.2f}       {ROP:7.2f}")
print()

# リードタイムが伸びると安全在庫は sqrt(L) で増える（z=1.645, 95% 固定）
z95 = norm.ppf(0.95)
print(f"[L の効果] z={z95:.3f}（95%）固定。SS = z·σ_d·sqrt(L)")
rows = []
for Lx in [1, 2, 4, 8, 16]:
    sdlt = sigma_d * np.sqrt(Lx)
    rows.append({"L(日)": Lx, "sqrt(L)": np.sqrt(Lx), "σ_DLT": sdlt, "SS(95%)": z95 * sdlt})
print(pd.DataFrame(rows).to_string(index=False, float_format=lambda x: f"{x:.3f}"))

出力：

リードタイム需要 DLT: 平均 μ_DLT = L·μ_d        = 200.0 個
                     標準偏差 σ_DLT = σ_d·sqrt(L) = 24.00 個

CSL    z=norm.ppf(CSL)   SS=z·σ_DLT    ROP=μ_DLT+SS
0.90       1.2816         30.76        230.76
0.95       1.6449         39.48        239.48
0.99       2.3263         55.83        255.83

[L の効果] z=1.645（95%）固定。SS = z·σ_d·sqrt(L)
 L(日)  sqrt(L)  σ_DLT  SS(95%)
    1    1.000 12.000   19.738
    2    1.414 16.971   27.914
    4    2.000 24.000   39.476
    8    2.828 33.941   55.828
   16    4.000 48.000   78.953

出力の意味：リードタイム需要は平均 200 個・標準偏差 24 個（ $=12\sqrt{4}$ ）。サービス水準を上げるほど $z$ が増え、安全在庫が膨らみます——90%なら $z=1.28$ で SS 30.8 個、95%で 39.5 個、99%で 55.8 個。注目は最後の1%の高さ：95→99%（4ポイント）に上げるだけで安全在庫は $39.5\to55.8$ と4割増し。サービス水準の上澄みは高くつく（正規分布の裾が薄いので、わずかな確率を潰すのに大きな $z$ ＝在庫が要る）。下段の表は $\sqrt{L}$ の効き方で、 $L$ を $4\to16$ と4倍にしても、安全在庫は $39.5\to79.0$ と2倍にしかなりません（ $\sqrt{4}=2$ ）。逆に言えば、リードタイムを $1/4$ に縮めれば安全在庫は半分になる——調達リードタイム短縮が在庫に効く理由です。

4. モンテカルロで欠品率を実証する（コード）

「 $ROP=\mu_{DLT}+z\,\sigma_{DLT}$ なら欠品率は $1-CSL$ 」は本当か。擬似需要でリードタイム需要を20万サイクルサンプリングし、設定した ROP を超える（＝在庫切れ）割合を数えます。理屈どおりなら、 $z=1.645$ （95%）で約5%、99%で約1%になるはずです。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
from scipy.stats import norm

rng = np.random.default_rng(7)

mu_d, sigma_d, L = 50.0, 12.0, 4
mu_DLT = L * mu_d
sigma_DLT = sigma_d * np.sqrt(L)

# 多数の発注サイクルをシミュレート：各サイクルで L 日分の需要を合計＝DLT。
# 発注点 ROP を超えたら（DLT > ROP）在庫切れ。達成欠品率が 1-CSL になるか検証
n_cycles = 200000
print("目標CSL   ROP       理論欠品率   実測欠品率(MC)")
for csl in [0.90, 0.95, 0.99]:
    z = norm.ppf(csl)
    ROP = mu_DLT + z * sigma_DLT
    DLT = rng.normal(mu_d, sigma_d, size=(n_cycles, L)).sum(axis=1)
    stockout_rate = np.mean(DLT > ROP)
    print(f"{csl:.2f}     {ROP:7.2f}      {1 - csl:6.3f}       {stockout_rate:7.4f}")

# z=1.645（95%）の DLT 分布・ROP・SS を図示
z = norm.ppf(0.95)
ROP = mu_DLT + z * sigma_DLT
DLT = rng.normal(mu_d, sigma_d, size=(n_cycles, L)).sum(axis=1)
emp = np.mean(DLT > ROP)
print(f"\n図の設定：CSL=95%, ROP={ROP:.2f}, SS={z * sigma_DLT:.2f}")
print(f"  ROP 超過（欠品）割合 = {emp:.4f}（目標 0.05）")

plt.figure(figsize=(10, 5.5))
plt.hist(DLT, bins=80, density=True, color="#aec7e8", edgecolor="white", label="DLT 分布（MC）")
xs = np.linspace(DLT.min(), DLT.max(), 300)
plt.plot(xs, norm.pdf(xs, mu_DLT, sigma_DLT), color="#1f77b4", lw=2, label="正規近似")
plt.axvline(mu_DLT, color="gray", ls="--", label=f"μ_DLT={mu_DLT:.0f}")
plt.axvline(ROP, color="#d62728", lw=2, label=f"ROP={ROP:.1f}")
mask = xs >= ROP
plt.fill_between(xs, 0, norm.pdf(xs, mu_DLT, sigma_DLT), where=mask,
                 color="#d62728", alpha=0.3, label="欠品確率（約5%）")
plt.annotate("", xy=(ROP, 0.004), xytext=(mu_DLT, 0.004),
             arrowprops=dict(arrowstyle="<->", color="green"))
plt.text((mu_DLT + ROP) / 2, 0.0043, f"安全在庫 SS={z * sigma_DLT:.1f}", ha="center", color="green")
plt.xlabel("リードタイム需要 DLT（個）"); plt.ylabel("確率密度")
plt.title("発注点 ROP=μ_DLT+z·σ_DLT：右裾の面積が欠品確率（CSL=95%→約5%）")
plt.legend(); plt.tight_layout(); plt.show()

出力：

目標CSL   ROP       理論欠品率   実測欠品率(MC)
0.90      230.76       0.100        0.0996
0.95      239.48       0.050        0.0495
0.99      255.83       0.010        0.0101

図の設定：CSL=95%, ROP=239.48, SS=39.48
  ROP 超過（欠品）割合 = 0.0496（目標 0.05）

出力の意味：実測の欠品率は 0.0996／0.0495／0.0101 で、理論値 0.10／0.05／0.01 と小数第3位までほぼ一致。「 $z=1.645$ の安全在庫を積めば、欠品は20サイクルに1回（5%）」が数値で裏取りできました。図は20万サイクルのリードタイム需要のヒストグラム（青）に正規近似（濃青）を重ねたもの。灰の破線が平均 $\mu_{DLT}=200$ 、赤い線が発注点 $ROP=239.5$ 、その間の緑の矢印が安全在庫 $SS=39.5$ です。赤い線の右側の面積（約5%）がそのまま欠品確率——発注点を右にずらす（安全在庫を増やす）ほどこの裾が薄くなり、欠品が減ります。安全在庫とは、この右裾を許容水準まで削るために積む在庫だと、絵で腑に落ちます。

⚠️ よくある誤解

「安全在庫はリードタイムに比例する」ではない：比例するのは平均需要 $\mu_{DLT}=L\mu_d$ のほう。安全在庫は $\sigma_d\sqrt{L}$ で $\sqrt{L}$ にしか増えません。 $L$ を倍にしても安全在庫は $\sqrt2\approx1.41$ 倍。この差を取り違えると過剰／過少在庫になります。
「サイクルサービス水準とフィルレートは同じ」ではない：CSL は「在庫切れを起こさない発注サイクルの割合」（イベントの確率）、フィルレートは「需要を満たせた数量の割合」（量の比）です。同じ安全在庫でも、品切れサイクルでも需要の大半は満たせるのでフィルレートは CSL より高く出るのが普通。フィルレートは標準正規損失関数 $G(z)=\varphi(z)-z\,(1-\Phi(z))$ を使い $\beta=1-\dfrac{\sigma_{DLT}\,G(z)}{Q}$ で評価します（在庫量 $Q$ が大きいほど高い）。目標が「サイクル」か「数量」かで必要在庫が変わるので、どちらの指標を約束しているかを最初に決めます。
「リードタイムが変動しても $\sigma_d\sqrt{L}$ でよい」ではない：リードタイム自体がばらつく（ $L$ が確率変数で標準偏差 $\sigma_L$ ）なら、需要の変動とリードタイムの変動が合成され $\sigma_{DLT}=\sqrt{L\,\sigma_d^2+\mu_d^2\,\sigma_L^2}$ 。第2項（リードタイムのばらつき × 平均需要）が大きいことも多く、リードタイムの安定化が安全在庫削減に効きます。
「正規分布でいつでも近似できる」ではない：たまにしか出ない断続需要（多くの日が0で、たまに大口）は正規から大きく外れ、 $z\sigma$ 方式は当てになりません。ポアソン／負の二項や、需要間隔と数量を別に扱う手法（クロストン法など）で別手当てします（要最新確認）。
「安全在庫はコストで決める」ではない（ここでは）：本稿はサービス水準（CSL）を所与として連続監視の発注点を設計しました。品切れ損失と保管コストの綱引きで最適在庫を決めるコストベース（限界比・新聞売り子）は、目的関数が違う別問題で、第9章確率的在庫モデルで扱います。