指数平滑法（SES・Holt・Holt-Winters）

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：時系列データと分解　|　関連：ARMA・ARIMAモデル（別系統の予測）・予測の評価指標と時系列CV

要点（BLUF）

指数平滑法＝過去の観測を指数的に減衰する重みで平均し、水準（と必要ならトレンド・季節）を逐次更新して外挿する予測法。直近を重く、遠い過去を軽く見ます。
単純指数平滑 SES（水準のみ）→ Holt（水準＋トレンド）→ Holt-Winters（水準＋トレンド＋季節、加法/乗法）と部品を足して発展します。
平滑化パラメータ $\alpha$ は滑らかさと追従の速さのトレードオフ。本ノートでは Holt-Winters が季節素朴予測比で RMSE を 67.6% 改善し、 $\alpha$ が小さいほど滑らか・大きいほど追従が速いことをコードで実証します。

1. 単純指数平滑（SES）：水準だけを追う

トレンドも季節もない系列で、水準 $\ell_t$ だけを推定する最も単純な指数平滑です。更新式は

\ell_t = \alpha\, y_t + (1-\alpha)\,\ell_{t-1},\qquad 0<\alpha<1

新しい観測 $y_t$ を重み $\alpha$ で、これまでの水準 $\ell_{t-1}$ を重み $1-\alpha$ で混ぜます。SES の $h$ 期先予測は水平（フラット）で、 $\hat y_{t+h\mid t}=\ell_t$ 。

なぜ「指数」かは、漸化式を展開すると見えます。

\ell_t = \alpha\sum_{j=0}^{t-1}(1-\alpha)^j\, y_{t-j} + (1-\alpha)^t \ell_0

$y_{t-j}$ にかかる重みは $\alpha(1-\alpha)^j$ で、 $j$ が大きい（古い）ほど $(1-\alpha)^j$ で幾何級数的に小さくなります。これが「過去を指数的に重み付けする」の正体で、重みの総和は $1$ に収束します。 $\alpha$ が大きいほど直近に集中（追従が速い）、小さいほど広く均す（滑らか）。

2. Holt：トレンドを足す（二重指数平滑）

水準に傾き $b_t$ を加え、線形の外挿ができるようにしたのが Holt 法です。

\begin{aligned} \ell_t &= \alpha\, y_t + (1-\alpha)\,(\ell_{t-1}+b_{t-1})\\ b_t &= \beta\,(\ell_t-\ell_{t-1}) + (1-\beta)\,b_{t-1}\\ \hat y_{t+h\mid t} &= \ell_t + h\,b_t \end{aligned}

水準は「前回の水準＋傾き」を基準に更新し、傾きは「水準の増分」を平滑化して更新します。予測は $\ell_t$ から傾き $b_t$ で直線的に伸ばす（ $h$ 期先は $\ell_t+h\,b_t$ ）。遠い未来へ直線外挿しすぎる弊害を抑えるため、傾きを $\phi<1$ で減衰させる減衰トレンド（damped）もよく使われます（ETSモデルと状態空間表現）。

3. Holt-Winters：季節を足す（三重指数平滑）

周期 $m$ の季節成分 $s_t$ を加えると Holt-Winters。季節の入れ方で加法と乗法があります。加法版は

\begin{aligned} \ell_t &= \alpha\,(y_t - s_{t-m}) + (1-\alpha)\,(\ell_{t-1}+b_{t-1})\\ b_t &= \beta\,(\ell_t-\ell_{t-1}) + (1-\beta)\,b_{t-1}\\ s_t &= \gamma\,(y_t - \ell_{t-1} - b_{t-1}) + (1-\gamma)\,s_{t-m}\\ \hat y_{t+h\mid t} &= \ell_t + h\,b_t + s_{t+h-m(k+1)} \end{aligned}

ここで $k=\lfloor (h-1)/m\rfloor$ は直近の季節指標を使い回すための添字。季節変動の幅が水準に比例して拡大するなら乗法版（ $y_t/s_{t-m}$ ・ $(\ell_{t-1}+b_{t-1})\,s_{t-m}$ ）を使います（時系列データと分解の加法/乗法と同じ考え方）。statsmodels の命名では $\alpha=$ smoothing_level、 $\beta=$ smoothing_trend、 $\gamma=$ smoothing_seasonal です。

flowchart LR
    Y["観測 y_t"] --> L["水準 ℓ_t を更新（α）"]
    Y --> B["傾き b_t を更新（β）"]
    Y --> S["季節 s_t を更新（γ）"]
    L --> F["予測 ℓ_t + h·b_t + s（季節）"]
    B --> F
    S --> F

コード①：Holt-Winters で季節＋トレンドを捉えて予測（季節素朴比でRMSE比較）

確率的にドリフトする水準（適応的な平滑化が効くよう、ランダムウォーク的にゆらぐ）＋加法季節（周期12・振幅8）を仕込んだ月次系列を作り、ExponentialSmoothing(trend="add", seasonal="add", seasonal_periods=12) を当てます。時間順ホールドアウトで最後の24ヶ月を検証に取り、季節素朴予測（12ヶ月前の値）と RMSE を比べます。

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing

# 真の構造：確率的にドリフトする水準 + 加法季節(周期12,振幅8) + 観測ノイズ
# 水準 mu_t = mu_{t-1} + 0.4(ドリフト) + 揺れ  → 適応的な平滑化が効く
np.random.seed(3)
n, period = 132, 12
mu = np.zeros(n); mu[0] = 50.0
for k in range(1, n):
    mu[k] = mu[k-1] + 0.4 + np.random.normal(0, 0.8)
t = np.arange(n)
seasonal_true = 8 * np.sin(2 * np.pi * t / period)
y = mu + seasonal_true + np.random.normal(0, 2.0, n)
idx = pd.date_range("2014-01-01", periods=n, freq="MS")
y = pd.Series(y, index=idx)

# 時間順ホールドアウト：最後の24ヶ月を検証に
h = 24
train, test = y.iloc[:-h], y.iloc[-h:]

# Holt-Winters（加法トレンド＋加法季節, 周期12）を訓練データに当てる
hw = ExponentialSmoothing(train, trend="add", seasonal="add",
                          seasonal_periods=period).fit()
fc_hw = hw.forecast(h)

# 季節素朴予測：12ヶ月前の値をそのまま使う
season_naive = train.iloc[-period:].values
fc_naive = np.resize(season_naive, h)

rmse_hw = np.sqrt(np.mean((fc_hw.values - test.values) ** 2))
rmse_naive = np.sqrt(np.mean((fc_naive - test.values) ** 2))
print(f"推定 alpha(水準)   = {hw.params['smoothing_level']:.3f}")
print(f"推定 beta(トレンド) = {hw.params['smoothing_trend']:.3f}")
print(f"推定 gamma(季節)   = {hw.params['smoothing_seasonal']:.3f}")
print(f"Holt-Winters RMSE = {rmse_hw:.3f}")
print(f"季節素朴予測 RMSE   = {rmse_naive:.3f}")
print(f"改善率 = {(1 - rmse_hw/rmse_naive)*100:.1f}%（季節素朴比）")

出力：

推定 alpha(水準)   = 0.388
推定 beta(トレンド) = 0.000
推定 gamma(季節)   = 0.000
Holt-Winters RMSE = 2.704
季節素朴予測 RMSE   = 8.341
改善率 = 67.6%（季節素朴比）

出力の意味：推定された $\alpha=0.388$ は水準を適応的に更新することを意味します（水準が確率的にドリフトするので、直近に重みを置く必要がある）。一方 $\beta=\gamma\approx0$ は「ドリフトの傾きと季節パターンは安定なので、ほとんど更新しなくてよい」という最尤推定の判断です。Holt-Winters の RMSE は $2.704$ で、季節素朴予測の $8.341$ を 67.6% 改善しました。トレンドと季節を同時に捉えるモデルが、単純なベースラインを明確に上回っています（予測の評価指標と時系列CV）。

⚠️ 古典的な ExponentialSmoothing の .forecast() は点予測のみで、予測区間は出ません。区間が要るなら、これを状態空間モデルとして定式化した ETS（ETSモデルと状態空間表現の ETSModel）か、.simulate() でのシミュレーションを使います。予測区間つきの実演は次ノートで行います。

4. αの効果：滑らかさ vs 追従の速さ

コード②：SES の漸化式を手実装してαを変える

指数平滑の核心は前述の漸化式 $\ell_t=\alpha y_t+(1-\alpha)\ell_{t-1}$ だけです。これを自分で実装し、途中で水準が階段状にジャンプするノイズ系列に $\alpha\in\{0.1,0.5,0.9\}$ をかけて、滑らかさ（平滑後系列の差分の標準偏差）とジャンプへの追従速度を比べます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib  # 日本語ラベル用

# 途中で水準が階段状に変わるノイズ系列（追従の速さの違いを見る）
np.random.seed(5)
n = 120
level = np.where(np.arange(n) < 60, 10.0, 16.0)   # 60期で 10 -> 16 にジャンプ
y = level + np.random.normal(0, 1.2, n)

# SES の漸化式を手実装： l_t = alpha*y_t + (1-alpha)*l_{t-1}
def ses_level(y, alpha):
    l = np.zeros(len(y)); l[0] = y[0]
    for k in range(1, len(y)):
        l[k] = alpha * y[k] + (1 - alpha) * l[k-1]
    return l

alphas = [0.1, 0.5, 0.9]
print("alpha   平滑度(差分SD)  ジャンプ後10期の平均到達度")
for a in alphas:
    l = ses_level(y, a)
    smooth = np.std(np.diff(l))                 # 小さいほど滑らか
    reach = l[69]                               # ジャンプ(60期)から10期後の水準
    print(f"{a:>4}   {smooth:>10.3f}     {reach:>8.2f}（真の新水準=16）")

# 図：同じ系列に異なる alpha の SES をかける
plt.figure(figsize=(9, 4.5))
plt.plot(y, color="lightgray", lw=1, label="観測値（ノイズあり）")
for a, c in zip(alphas, ["C0", "C1", "C2"]):
    plt.plot(ses_level(y, a), color=c, lw=1.8, label=f"SES α={a}")
plt.axvline(60, ls=":", color="k", label="水準ジャンプ")
plt.xlabel("時点 t"); plt.ylabel("値")
plt.title("単純指数平滑（SES）：α が小さいほど滑らか・大きいほど追従")
plt.legend(); plt.tight_layout(); plt.show()

出力：

alpha   平滑度(差分SD)  ジャンプ後10期の平均到達度
 0.1        0.164        13.94（真の新水準=16）
 0.5        0.761        15.69（真の新水準=16）
 0.9        1.564        16.54（真の新水準=16）

出力の意味： $\alpha=0.1$ は平滑後の差分 SD が $0.164$ と最も滑らかですが、水準が $10\to16$ にジャンプしても 10 期後にまだ $13.94$ までしか追いつけません（追従が遅い）。 $\alpha=0.9$ は逆に差分 SD $1.564$ でノイズまで拾う代わりに、10 期後には $16.54$ と新水準にほぼ到達（追従が速い・わずかに行き過ぎ）。 $\alpha$ は「滑らかさ」と「変化への追従」のトレードオフを一本のつまみで決める——だから実務では $\alpha$ をデータから最尤推定するのが標準です（コード①では自動推定された）。

5. 数式の直観

SES ＝指数加重移動平均：直近を重く、過去を $(1-\alpha)^j$ で軽くした加重平均。新情報をどれだけ取り込むかが $\alpha$ で、これはAR・MAモデルの MA( $\infty$ ) 表現とも通じます（実際 SES の予測は ARIMA(0,1,1) と等価）。
Holt ＝水準＋傾きの二重平滑：水準と傾きを別々の漸化式で更新し、直線で外挿。傾きを減衰させると遠未来の外挿が穏やかになります。
Holt-Winters ＝さらに季節を漸化：季節成分も $\gamma$ で更新するので、季節の形がゆっくり変わってよい（古典分解の固定季節より柔軟）。重みが小さければほぼ固定季節、大きければ季節が機敏に変化します。

⚠️ よくある誤解

「指数平滑は点予測だけでよい」ではない：古典的指数平滑の .forecast() は点のみ。意思決定には予測区間が要ります。区間は ETS（ETSモデルと状態空間表現）か .simulate() で出します。
「季節周期は自動で決まる」ではない：seasonal_periods（12・7・24 など）は分析者がドメイン知識で与えます。誤った周期は予測を壊します（時系列データと分解）。
「乗法でも加法でもどちらでもよい」ではない：季節振幅が水準とともに拡大するなら乗法、一定なら加法。間違えると外挿で季節の山谷がずれます。迷えば対数変換して加法で扱う手も。
「 $\alpha$ は大きいほど賢い」ではない： $\alpha$ が大きいとノイズに過敏になり、平滑の意味が薄れます。最尤推定に任せるか、検証データ（時間順）で選ぶのが安全。
「Holt の直線外挿は遠未来も当たる」ではない：傾きをそのまま伸ばすので、長期では過大/過小になりがち。減衰トレンドで外挿を抑えるのが定石です。