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🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：バックドア基準と識別　|　識別の仮定　|　数理：重回帰分析（統計）

要点（BLUF）

• 識別：バックドア基準を満たす共変量集合 $C$ で条件づければ、ATE は $\tau = E_C\big[E[Y\mid X{=}1,C]-E[Y\mid X{=}0,C]\big]$ として識別できる（g公式／標準化）。
• 推定：これを最も手軽に実装するのが共変量を説明変数に加えた回帰。だが線形回帰は「条件付き期待値が線形」「効果が均一」を暗黙に仮定する。
• 交絡が非線形に効くと線形項では塞ぎきれず、調整したのに素朴比較とほぼ同じ値になる。真の関数形は普通わからない → 次節の傾向スコアやMLをそのまま使うと因果を誤る理由へ。

1. 識別：回帰調整は g公式の一実装

処置 $X\in\{0,1\}$、結果 $Y$、共変量 $C$ が下図の関係にあるとする。バックドアパス $X \leftarrow C \rightarrow Y$ が開いているので、素朴な平均差 $E[Y\mid X{=}1]-E[Y\mid X{=}0]$ は因果効果ではない。

flowchart LR
    C["交絡 C"] --> X["処置 X"]
    C --> Y["結果 Y"]
    X --> Y

$C$ がバックドア基準を満たす（$X$ の非子孫で、すべてのバックドアパスを塞ぐ）なら、バックドア基準と識別より平均処置効果は

で識別できる。これを g公式（標準化） と呼ぶ。前提は識別の仮定の 条件付き交換可能性 $(Y(1),Y(0))\perp X\mid C$ と 正値性 $0<e(C)<1$、そして SUTVA。

回帰調整は、内側の条件付き期待値 $E[Y\mid X,C]$ を回帰モデルで推定し、外側の期待値を標本平均で置き換える実装にすぎない。線形モデル

を当てはめれば、$X$ の係数 $\tau$ がそのまま ATE の推定値になる。ただしこの式が成り立つのは、条件付き期待値が本当に線形で、かつ処置効果が $C$ に依らず均一なときだけである。

❓ ここで一度立ち止まろう：「$C$ を回帰に入れた」ことと「$E[Y\mid X,C]$ を正しくモデル化した」ことは同じだろうか？ 同じではない。前者は変数を入れただけ、後者は関数形まで合っていることを要求する。この差がこの節の主題だ。

2. 破綻：交絡が非線形に効くと線形調整は塞げない

真の効果を仕込んだ擬似データで確かめる。交絡 $C$ が2乗で結果に効き、しかも処置割り当ても $C^2$ に依存する（$|C|$ が大きいほど処置されやすい）状況を作る。真の処置効果は均一で $\text{ATE}=2.0$ とする。

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.formula.api as smf

# === 交絡が2乗で効くデータで、線形回帰調整が ATE を外すことを確かめる ===
rng = np.random.default_rng(42)
n = 4000
C = rng.uniform(-2, 2, size=n)

# 処置割り当て: |C| が大きい(両端)ほど処置されやすい = C^2 に依存(非線形)
logit_treat = 2.0 * (C**2 - 1.3)
prop = 1.0 / (1.0 + np.exp(-logit_treat))
X = rng.binomial(1, prop)

# 結果: 交絡 C は2乗で効く。真の処置効果は均一
ATE_true = 2.0
Y = 1.0 + ATE_true * X + 3.0 * C**2 + rng.normal(0, 1.0, size=n)

df = pd.DataFrame({"Y": Y, "X": X, "C": C})

# (1) 素朴比較(調整なし)
naive = Y[X == 1].mean() - Y[X == 0].mean()

# (2) 線形回帰調整: C を1次でしか入れない(= 関数形の誤特定)
beta_linear = smf.ols("Y ~ X + C", data=df).fit().params["X"]

# (3) 正しい関数形: C の2乗項まで入れる
beta_quad = smf.ols("Y ~ X + C + I(C**2)", data=df).fit().params["X"]

print(f"真の ATE                : {ATE_true:.3f}")
print(f"(1) 素朴比較            : {naive:.3f}")
print(f"(2) 線形回帰調整 Y~X+C  : {beta_linear:.3f}")
print(f"(3) 正しい関数形 +C^2   : {beta_quad:.3f}")
print(f"E[C^2|X=1]={ (C[X==1]**2).mean():.3f}, E[C^2|X=0]={ (C[X==0]**2).mean():.3f}")

実行すると次のように印字される。

真の ATE                : 2.000
(1) 素朴比較            : 7.127
(2) 線形回帰調整 Y~X+C  : 7.129
(3) 正しい関数形 +C^2   : 2.009
E[C^2|X=1]=2.247, E[C^2|X=0]=0.539

出力の意味：素朴比較は 7.127 と真値 2.0 を大きく上回る（処置群は $C^2$ が大きい個体に偏り、$C^2$ が $Y$ を押し上げる正のバイアス：$E[C^2\mid X{=}1]=2.25$ 対 $E[C^2\mid X{=}0]=0.54$）。ところが $C$ を入れて「調整」した線形回帰も 7.129 とほとんど変わらない。なぜか。$C$ は2乗で $Y$ に効くため、$C$ の1次項と $Y$ はほぼ無相関（$E[C]=0$ なので $\text{Cov}(C,Y)\approx0$）で、線形回帰は $C$ をほぼ無視してしまう。交絡の効き方（$C^2$）が直線でない限り、$C$ を1次で入れても残差交絡は残ったままなのだ。$C^2$ 項まで入れて初めて 2.009 と真値が回収できる。

下のコードはこの理由を可視化する（実行は任意）。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
import statsmodels.formula.api as smf

rng = np.random.default_rng(42)
n = 4000
C = rng.uniform(-2, 2, size=n)
prop = 1.0 / (1.0 + np.exp(-2.0 * (C**2 - 1.3)))
X = rng.binomial(1, prop)
Y = 1.0 + 2.0 * X + 3.0 * C**2 + rng.normal(0, 1.0, size=n)
df = pd.DataFrame({"Y": Y, "X": X, "C": C})

grid = np.linspace(-2, 2, 100)
lin = smf.ols("Y ~ X + C", data=df).fit()
quad = smf.ols("Y ~ X + C + I(C**2)", data=df).fit()
pred_lin = lin.params["Intercept"] + lin.params["C"] * grid
pred_quad = quad.params["Intercept"] + quad.params["C"] * grid + quad.params["I(C ** 2)"] * grid**2

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 4.5))
ax.scatter(C[X == 0], Y[X == 0], s=6, alpha=0.3, label="対照群 X=0", color="tab:blue")
ax.scatter(C[X == 1], Y[X == 1], s=6, alpha=0.3, label="処置群 X=1", color="tab:orange")
ax.plot(grid, pred_lin, color="red", lw=2.5, label="線形フィット(誤特定)")
ax.plot(grid, pred_quad, color="green", lw=2.5, ls="--", label="2次フィット(正しい)")
ax.set_xlabel("交絡 C")
ax.set_ylabel("結果 Y")
ax.set_title("交絡が2乗で効く: 線形フィットは曲線を捉えられない")
ax.legend(fontsize=9)
fig.tight_layout()
plt.show()

得られる図では、データが U字型に並び（処置群＝オレンジが両端の高 $C^2$ 領域に偏る）、線形フィット（赤）はほぼ水平で曲線を全く捉えていないのに対し、2次フィット（緑破線）は U字に沿う。線形回帰が交絡を塞げない理由が一目で分かる。

3. なぜこの仮定が要るのか（直観）

回帰調整が正しく働くには、暗黙のうちに2つの条件が要る。

1. 関数形の正しさ（本節の主題）：$E[Y\mid X,C]$ の $C$ への依存を正しくモデル化していること。上の例のように非線形なら、線形項だけでは残差交絡が残る。
2. 効果の均一性：処置効果が $C$ に依らず一定であること。効果が $C$ に依存する（効果修飾）と、$Y = \alpha + \tau X + \beta^\top C$ の $\tau$ は、処置群・対照群の $C$ 分布で重みづけされた量に偏り、母集団 ATE とずれる。
3. 共通サポート（正値性）：処置群と対照群の $C$ 分布が重なっていること。重ならない領域では回帰が外挿で値を埋め、データではなくモデルの形が結論を決める。

線形回帰が「ダメ」なのではない。真の関数形を知っていれば（あるいは2次・交互作用・スプラインで十分柔軟に近似すれば）回帰調整は一致推定量になる。問題は、現実には真の関数形を知らないこと。だからこそ「処置の確率」だけをモデル化すればよい傾向スコアや、関数形を機械学習に委ねるMLをそのまま使うと因果を誤る理由・二重頑健推定AIPWが必要になる。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

• 「共変量を入れた＝調整できた」ではない。変数を投入することと、その変数の効き方（関数形）を正しく表現することは別物。上の例では $C$ を入れても素朴比較と同じ 7.13 のままだった。
• $R^2$ が高い ≠ 因果効果が正しい。当てはまりの良さと、$X$ の係数が因果効果かどうかは無関係。
• 過剰調整（over-adjustment）：交絡だからと何でも入れてはいけない。$X$ の子孫（媒介変数・バックドア基準と識別の衝突点）を入れるとかえってバイアスが生じる。入れてよいのはバックドア基準を満たす集合だけ。
• 外挿の危険：共通サポートが薄い領域では、回帰は観測のない値を予測で補う。傾向スコアの重なり（overlap）診断で確認すべき。

関連ノート

• 因果：バックドア基準と識別（どの集合を調整すべきか）／識別の仮定（交換可能性・正値性・SUTVA）／傾向スコア（関数形ではなく処置確率をモデル化）／二重頑健推定AIPW（関数形の誤りに頑健にする）／MLをそのまま使うと因果を誤る理由（柔軟なモデルの落とし穴）
• 統計：重回帰分析（回帰の最小二乗の基礎）／一般化線形モデル（ロジスティック・ポアソン回帰）（非線形リンクへの拡張）