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🎓 レベル：基礎　|　重要度：A（必須）

📎 前提：潜在結果モデル・バックドア基準と識別　|　次に読む：なぜRCTが黄金律か　|　数理：条件付き確率・独立性・全確率の定理（統計）

要点（BLUF）

• 観察データの調整を因果効果と読むには、4つの仮定が要ります：交換可能性・正値性・一致性・SUTVA。
• 調整公式 $\text{ATE}=E_Z[E[Y|X{=}1,Z]-E[Y|X{=}0,Z]]$ の各ステップが、この4つのどれかに支えられています。1つ欠けると因果として読めません。
• 正値性が破れる（ある層に処置群が居ない）と調整は推定不能になり、SUTVA が破れる（干渉がある）と素朴比較が政策効果を取り逃すことを、擬似データで数値で示します。

1. 識別を支える4つの仮定

バックドア基準と識別 で、ATE が調整集合 $Z$ で

と識別できることを見ました。この式の右辺が因果効果に等しくなるには、暗黙に次の4つが必要です。

2. 調整公式の導出：どこで各仮定を使うか

$E[Y(1)]$（全員を処置した世界の平均）を、観測量だけで表してみます。各等号の上に使う仮定を書きます。

これは全期待値の法則（条件付き確率・独立性・全確率の定理）。ここで $Y(1)$ が個体ごとに定義できることが前提で、それを保証するのが SUTVA（他者の処置で自分の $Y(1)$ が変わらず、処置に複数版がない）です。次に

1つ目の等号は 交換可能性：$Z$ を与えれば「誰が処置されたか」は潜在結果と無関係なので、$X=1$ に絞っても $Y(1)$ の平均は変わりません。2つ目は 一致性：$X=1$ の人では観測値 $Y$ がそのまま $Y(1)$ です。最後に、右辺 $E[Y\mid X{=}1,Z{=}z]$ がすべての層 $z$ で計算できるためには、各層に処置群が存在する必要があります——これが 正値性。同様に $E[Y(0)]$ も表せて、差を取れば前節の ATE 公式になります。4つすべてが揃って初めて「観測量＝因果効果」と書けるのです。

交換可能性は バックドア基準と識別 のバックドア基準で（観測交絡を正しく調整すれば）確保できます。残る正値性と SUTVA を、破ってみて何が起きるか見ます。

3. 正値性が破れると調整は推定不能になる

正値性は「どの層 $Z=z$ にも、処置群と対照群が両方いる」こと。ある層に片方しかいなければ、その層の効果 $E[Y|X{=}1,Z{=}z]-E[Y|X{=}0,Z{=}z]$ は比較相手がいないので計算できません。真の効果を $2.0$ と仕込み、正値性が成り立つ場合（A）と破れる場合（B）を比べます。

import numpy as np
import pandas as pd

# === 正値性(positivity)：ある層に処置群（or 対照群）が居ないと調整が破綻する ===
rng = np.random.default_rng(3)
n = 50000

C = rng.integers(0, 5, size=n)        # 交絡 C：5 水準 {0,1,2,3,4}
ATE_true = 2.0


def simulate(prop_by_level):
    propensity = np.array(prop_by_level)[C]         # 各個体の傾向スコア e(C)
    X = rng.binomial(1, propensity)
    Y = ATE_true * X + 1.0 * C + rng.normal(0, 1, n)  # 真の効果 2.0
    return X, Y


def stratified_table(X, Y):
    rows = []
    for c in range(5):
        in_c = C == c
        n_treat = int((X[in_c] == 1).sum())
        n_ctrl = int((X[in_c] == 0).sum())
        if n_treat > 0 and n_ctrl > 0:
            effect = Y[in_c & (X == 1)].mean() - Y[in_c & (X == 0)].mean()
        else:
            effect = np.nan
        rows.append([c, n_treat, n_ctrl, round(effect, 3)])
    return pd.DataFrame(rows, columns=["C", "処置群n", "対照群n", "層内効果"])


# シナリオA：すべての層で 0<e<1（正値性 OK）
X_a, Y_a = simulate([0.2, 0.35, 0.5, 0.65, 0.8])
print("シナリオA（正値性 OK）")
tab_a = stratified_table(X_a, Y_a)
print(tab_a.to_string(index=False))
weights = [(C == c).mean() for c in range(5)]
print("層別調整 ATE =", round(np.average(tab_a["層内効果"], weights=weights), 3))

# シナリオB：両端で e=0 / e=1（正値性が破れる）
X_b, Y_b = simulate([0.0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0])
print("\nシナリオB（正値性が破れる）")
tab_b = stratified_table(X_b, Y_b)
print(tab_b.to_string(index=False))
print("→ C=0 は処置群0・C=4 は対照群0 で層内効果が NaN（推定不能）")

出力：

シナリオA（正値性 OK）
 C  処置群n  対照群n  層内効果
 0  2037  8065 2.011
 1  3389  6532 2.015
 2  5056  4929 2.021
 3  6575  3405 2.002
 4  7981  2031 1.978
層別調整 ATE = 2.005

シナリオB（正値性が破れる）
 C  処置群n  対照群n  層内効果
 0     0 10102   NaN
 1  2506  7415 1.980
 2  5013  4972 1.994
 3  7466  2514 2.009
 4 10012     0   NaN
→ C=0 は処置群0・C=4 は対照群0 で層内効果が NaN（推定不能）

出力の意味：シナリオ A は全層に両群がそろい、層別調整 ATE は $2.005\approx2.0$ で真値を当てます。シナリオ B は $C=0$ で処置群が 0 人、$C=4$ で対照群が 0 人。これらの層では効果が NaN（推定不能） です。実務では正値性違反は「傾向スコアが $0$ や $1$ に張り付く」「ある属性の人は全員が処置を受けている」という形で現れ、IPW では重み $1/e(z)$ が発散します。対処は ① 共通サポート（両群が重なる範囲）に推定対象を限定する、② モデルで外挿する（ただし外挿は仮定であってデータではない）、のいずれかで、どちらも estimand が変わる/仮定が増えることを意識する必要があります（逆確率重み付けIPW）。

4. SUTVA が破れると素朴比較は政策効果を取り逃す

SUTVA（Stable Unit Treatment Value Assumption） は2つの中身を持ちます：(i) 相互干渉なし（自分の結果は他人の処置に依存しない）、(ii) 処置は単一バージョン（“処置する” の中身が一定）。(i) が破れる典型がワクチンの集団免疫です。自分が打たなくても周りが打てば感染が減る——他者の処置が自分の結果を変えます。すると「処置の効果」が一意に定まりません。

ここでは個人の直接効果を $\tau=1.0$、集団の処置割合によるスピルオーバーを $\text{spill}=2.0$ と仕込み、(i) 50%処置の RCT の素朴比較と、(ii) 全員処置 vs 誰も処置せずの政策効果を比べます。

import numpy as np

# === SUTVA(相互干渉なし)が破れると、RCTの素朴比較は政策効果を取り逃す ===
rng = np.random.default_rng(4)
n = 40000

# 真のモデル：個人の直接効果 tau=1.0、集団の処置割合によるスピルオーバー spill=2.0
tau, spill, base = 1.0, 2.0, 5.0

# (1) 50%処置のRCT（各人を独立にコイン投げ）
X = rng.binomial(1, 0.5, size=n)
frac_treated = X.mean()                 # 集団の処置割合（干渉＝SUTVA違反の源）
Y = base + tau * X + spill * frac_treated + rng.normal(0, 1, n)
rct_naive = Y[X == 1].mean() - Y[X == 0].mean()

# (2) 政策効果：全員処置(frac=1) vs 誰も処置せず(frac=0) の真の対比
Y_all = base + tau * 1 + spill * 1.0
Y_none = base + tau * 0 + spill * 0.0
policy_effect = Y_all - Y_none

print(f"直接効果 tau (SUTVA下の個人効果) = {tau:.3f}")
print(f"RCTの素朴比較                    = {rct_naive:.3f}  ← 直接効果しか測れない")
print(f"政策効果 全員 vs 誰も (真値)      = {policy_effect:.3f}  ← 直接＋スピルオーバー")
print(f"スピルオーバーによるギャップ      = {policy_effect - rct_naive:.3f}")

出力：

直接効果 tau (SUTVA下の個人効果) = 1.000
RCTの素朴比較                    = 0.991  ← 直接効果しか測れない
政策効果 全員 vs 誰も (真値)      = 3.000  ← 直接＋スピルオーバー
スピルオーバーによるギャップ      = 2.009

出力の意味：RCT の素朴比較は $0.991$。処置群と対照群が同じ集団の処置割合を共有するので、スピルオーバー項が引き算で消え、直接効果 $\tau=1.0$ しか測れません。しかし「全員に配る」政策の真の効果は $\tau+\text{spill}=3.0$。差の $2.0$（$\approx2.009$）がスピルオーバーで、SUTVA を素朴に仮定するとこの $2.0$ を見落とします。干渉があるときは「処置の効果」が一意でなく、直接効果・スピルオーバー効果・全体効果を別々の estimand として定義し直す必要があります（部分干渉・クラスター設計など）。

5. 仮定の直観的意味と確認可能性

• 交換可能性は検証できない仮定です（反事実が見えないため）。観測交絡を調整して近似し、未観測交絡が残るリスクは感度分析（第7章）で評価します。RCT は割り当てをランダムにすることで、$Z$ なしの無条件交換可能性を設計で保証します（なぜRCTが黄金律か・フィッシャーの3原則）。
• 正値性はデータから確認できます：各層の処置・対照の人数や傾向スコアの分布を見ればよい（第3節）。違反は「推定できないものを推定しようとしている」サインです。
• 一致性・SUTVAは処置の定義の問題。「処置」が曖昧（用量がバラバラ、版が複数）だと一致性が崩れ、干渉があると SUTVA が崩れます。デザイン段階で処置を明確に定義し、干渉の構造を見極めることが対処になります。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

• 「交絡を調整したから因果だ」と言い切れない。交換可能性は未観測交絡がないことまで要求します。観測した分を調整しても、見落とした交絡が残れば因果ではありません。「調整した」≠「交換可能」。
• 正値性違反を見落とす。回帰モデルは比較相手のいない層でも平気で数値を返します（外挿）。一見もっともらしい推定値が、実はデータの裏付けのない外挿、ということが起きます。重なり（overlap）の確認は必須です。
• SUTVA は暗黙に仮定されがち。ネットワーク・市場・感染症・教室など、単位が影響し合う場面では常に疑うべきです。「個人の効果」と「全員に展開したときの効果」は別物です。
• 一致性は自明でない。「禁煙の効果」のように処置が複数の実現方法を持つ（断つ/減らす/薬で）と、$Y(1)$ がどの版を指すか曖昧になり、推定値の意味が定まりません。

関連ノート

• 第1章 因果推論の枠組み 目次
• 潜在結果モデル（前提・反事実と ATE/ATT）
• バックドア基準と識別（前提・交換可能性を満たす調整集合）
• 相関と因果の違い（交絡と素朴比較の失敗）
• なぜRCTが黄金律か（次のトピック・設計で交換可能性を保証）
• 逆確率重み付けIPW（正値性違反と重みの発散）
• 条件付き確率・独立性・全確率の定理（統計・条件付き独立と全期待値の法則）
• フィッシャーの3原則（統計・ランダム化の土台）
• 統計的因果推論・傾向スコア（統計・識別と傾向スコア）
• 因果推論テキスト 全体目次