顧客生涯価値（LTV）｜マーケティングサイエンス

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 関連：顧客獲得コスト（CAC）とLTV/CAC　|　前提：マーケティングデータとKPIの体系

要点（BLUF）

LTV（顧客生涯価値、CLV とも）は、1顧客が取引を続ける間にもたらす粗利（貢献利益）の総和です。売上ではなく粗利で測ります。
継続率 $r$ が一定、期間割引率を $d$ とすると、毎期の粗利 $m$ の現在価値合計は幾何級数で閉じ、 $\text{LTV} = \dfrac{m(1+d)}{1+d-r}$ 。無割引（ $d=0$ ）なら $\dfrac{m}{1-r}$ です。
継続率 $r$ が 1 に近づくと LTV は凸的に急増します。継続率を数ポイント上げる施策は、価値を跳ね上げる強いレバーです。

1. LTV とは：粗利の生涯総和

**LTV（Lifetime Value）は、1人の顧客が「取引を続けてくれる間に、自社にもたらす粗利の合計」です。ポイントは、売上ではなく粗利（貢献利益＝売上 − 変動費・原価）**で測ること。割引や送料・原価で利益が薄い顧客は、売上が大きくても LTV は小さくなります。

いちばん素朴な形は、こうです。

\text{LTV（素朴版）} = \text{1期あたり粗利} \times \text{期待継続期間}

「期待継続期間」は、継続率 $r$ （次の期も取引を続ける確率）が一定なら計算できます。獲得直後を第0期として、顧客が第 $t$ 期まで生き残っている確率は $r^t$ 。アクティブな期数の期待値は、生存確率を足し上げた幾何級数です。

\text{期待継続期間} = \sum_{t=0}^{\infty} r^{t} = \frac{1}{1-r}

たとえば毎期の粗利 $m=3000$ 円、継続率 $r=0.8$ なら、期待継続期間は $1/(1-0.8)=5$ 期、素朴版 LTV は $3000 \times 5 = 15000$ 円です。

2. 割引を入れた LTV（数式）

将来の粗利は、いま手にする粗利より価値が低い（お金の時間価値）。そこで期間割引率 $d$ で現在価値に割り引きます。前提（規約）を明示します。

各期の期首に粗利 $m$ が入る。
第0期（獲得直後）は生存確率 1、第 $t$ 期は生存確率 $r^t$ 。
第 $t$ 期の粗利は $1/(1+d)^t$ で現在価値に割り引く。

すると第 $t$ 期がもたらす「割引後・期待粗利」は $m \cdot r^t / (1+d)^t = m\,(r/(1+d))^t$ 。これを全期間で足すと、公比 $q = r/(1+d)$ の幾何級数になります。 $0 \le r < 1,\ d \ge 0$ なら $0 \le q < 1$ で収束し、 $\sum_{t=0}^{\infty} q^t = 1/(1-q)$ なので、

\text{LTV} = \sum_{t=0}^{\infty} m\left(\frac{r}{1+d}\right)^t = \frac{m}{1 - \dfrac{r}{1+d}} = \frac{m(1+d)}{1+d-r}

割引を無視（ $d=0$ ）すると $\text{LTV} = m/(1-r)$ となり、§1 の素朴版と一致します。

flowchart LR
  P0["第0期：粗利 m（生存確率 1）"] --> P1["第1期：m × r /(1+d)"]
  P1 --> P2["第2期：m × r^2 /(1+d)^2"]
  P2 --> Pn["… → 幾何級数で総和 = LTV"]

規約の明記：この定義は獲得直後（第0期）の初回粗利も LTV に含めます。つまり LTV は「獲得した瞬間からの粗利の現在価値合計」です。次ノートで CAC（獲得コスト）と比べるとき、この起点を揃えておくことが重要です。

3. 級数和と閉形式は一致する（コード）

幾何級数を直接 $t=0$ から大きな $T$ まで足した値と、閉形式 $m(1+d)/(1+d-r)$ が一致するかを確かめます。さらに継続率 $r$ を動かし、LTV が $r$ について凸（1 に近づくほど急増）であることを表で見ます。

数式の対応：公比 $q = r/(1+d)$ 、 $\text{LTV} = m/(1-q) = m(1+d)/(1+d-r)$ 。

import numpy as np
import pandas as pd

# 1顧客の前提：各期首にもたらす粗利 m、期間継続率 r、期間割引率 d
m = 3000.0   # 1期あたりの粗利（貢献利益、円）
r = 0.80     # 継続率（次の期も継続する確率）
d = 0.10     # 期間割引率

# (a) 級数を t=0..T で数値合計：第t期の割引後・期待粗利 = m * (r/(1+d))**t
T = 1000
t = np.arange(T + 1)
series_ltv = np.sum(m * (r / (1 + d)) ** t)

# (b) 閉形式 LTV = m(1+d)/(1+d-r)
closed_ltv = m * (1 + d) / (1 + d - r)

print(f"級数和(t=0..{T})      = {series_ltv:,.2f} 円")
print(f"閉形式 m(1+d)/(1+d-r) = {closed_ltv:,.2f} 円")
print(f"無割引 d=0 の m/(1-r) = {m / (1 - r):,.2f} 円")

# 継続率 r を動かして LTV の凸性を見る（m, d は固定）
rows = []
for rr in [0.6, 0.7, 0.8, 0.9]:
    rows.append({
        "継続率r": rr,
        "期待継続期間": 1 / (1 - rr),   # 無割引の素朴な期待継続期間 1/(1-r)
        "LTV": m * (1 + d) / (1 + d - rr),
    })
tbl = pd.DataFrame(rows)

print("\n=== 継続率 r と LTV（m=3000, d=0.10 固定）===")
print(tbl.to_string(index=False, formatters={
    "継続率r": "{:.2f}".format,
    "期待継続期間": "{:.2f}".format,
    "LTV": "{:,.0f}".format}))

出力：

級数和(t=0..1000)      = 11,000.00 円
閉形式 m(1+d)/(1+d-r) = 11,000.00 円
無割引 d=0 の m/(1-r) = 15,000.00 円

=== 継続率 r と LTV（m=3000, d=0.10 固定）===
継続率r 期待継続期間    LTV
0.60   2.50  6,600
0.70   3.33  8,250
0.80   5.00 11,000
0.90  10.00 16,500

出力の意味：まず級数和と閉形式がともに 11,000 円で一致しました（公比 $q<1$ なので $T=1000$ で完全に収束）。一方、割引を無視した $m/(1-r)=15{,}000$ 円より、割引後の 11,000 円は小さい——将来の粗利を割り引くぶん LTV は控えめになります。下の表が肝心です。 $r$ を 0.6 → 0.9 と上げると、LTV は 6,600 → 8,250 → 11,000 → 16,500 と増えますが、増分が 1,650 → 2,750 → 5,500 と加速しています。これは期待継続期間 $1/(1-r)$ が 2.5 → 10 へ非線形に伸びるためで、LTV は $r$ について凸。継続率を「あと数ポイント」上げる施策が、なぜ価値に大きく効くのかが数字で見えます。

⚠️ よくある誤解

LTV は売上ではなく粗利で測る：売上で測ると、原価・変動費を賄えない薄利の顧客まで過大評価します。分子は必ず貢献利益（粗利）に。
継続率一定は近似：現実の継続曲線は逓減します（初期に解約が多く、生き残った顧客ほど続く）。一定 $r$ は単純化で、より精緻にはリテンション曲線（本章後半 02-03 で扱う）や確率的購買モデル BG/NBD（第9章）を使います。
割引を無視すると長期で過大評価： $d=0$ の $m/(1-r)$ は将来粗利を額面のまま足すため、現在価値（ $d>0$ ）より大きく出ます（15,000 対 11,000）。長期・低継続率ほど差が開きます。
LTV は予測であって保証ではない：継続率・粗利・割引率という前提が外れれば値も動きます。点推定の一発値だけでなく、前提を振った感度（ $r$ や $d$ のレンジ）で幅を見ましょう。

要点（BLUF）

1. LTV とは：粗利の生涯総和

2. 割引を入れた LTV（数式）

3. 級数和と閉形式は一致する（コード）

⚠️ よくある誤解

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