時間発展ネットワーク（temporal）

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：次数・道・連結成分・拡散と感染症モデル（SI・SIS・SIR）　|　関連：ランダムウォークと拡散の数理

要点（BLUF）

時間発展ネットワーク：各エッジに「いつ接触したか」の時刻が付く。接触は瞬間的・断続的。
時間尊重パス（temporal path）：時刻が単調増加する経路だけが有効。過去には戻れない。
静的グラフで繋がっていても、時間順序のせいで到達できないことがある。感染経路や情報伝播の因果を正しく扱える。

概念：いつ繋がったかが効く

これまでのグラフはエッジが「常時存在する」前提でした。でも現実の接触 — 会話、メール、対面 — は特定の時刻に瞬間的に起きる断続的なものです。感染症（拡散と感染症モデル（SI・SIS・SIR））で「AがBに会い、後でBがCに会った」なら病気はA→Cへ伝わりうるが、順序が逆なら伝わらない。この時間順序の因果を捉えるのが時間発展ネットワークです。

数式：時間尊重パス

時間発展ネットワークは、時刻つきエッジの列 $(u, v, t)$ の集合で表します。時間尊重パスとは、ノード列 $v_0, v_1, \dots, v_k$ と時刻列 $t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_k$ で、各 $(v_{i-1}, v_i)$ が時刻 $t_i$ に接触しているもの。

t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_k

この単調性の制約が決定的です。静的グラフの道（次数・道・連結成分）と違い：

非対称： $u$ から $v$ へ時間尊重パスがあっても、逆は成り立たないことがある。
非推移的： $u \to v$ と $v \to w$ があっても、時刻が逆順なら $u \to w$ は成り立たない。

コードで確認

import networkx as nx

# (u, v, t): 時刻tに接触したエッジ
edges = [(0, 1, 3), (1, 2, 1), (2, 3, 2)]

def temporal_reachable(edges, src):
    """時間尊重パス：エッジは時刻の昇順にしか使えない（過去には戻れない）"""
    arrive = {src: 0}  # ノード -> そこに到達した時刻
    for (u, v, t) in sorted(edges, key=lambda e: e[2]):  # 時刻順に処理
        if u in arrive and arrive[u] <= t and (v not in arrive or t < arrive[v]):
            arrive[v] = t
        if v in arrive and arrive[v] <= t and (u not in arrive or t < arrive[u]):
            arrive[u] = t
    return arrive

print("時刻つきエッジ:", edges)
print("0から時間尊重で到達可能:", temporal_reachable(edges, 0))

Gs = nx.Graph([(u, v) for u, v, t in edges])   # 時刻を無視した静的グラフ
print("0から静的に到達可能    :", sorted(nx.node_connected_component(Gs, 0)))

実行結果：

時刻つきエッジ: [(0, 1, 3), (1, 2, 1), (2, 3, 2)]
0から時間尊重で到達可能: {0: 0, 1: 3}
0から静的に到達可能    : [0, 1, 2, 3]

静的に見れば 0-1-2-3 は一本道で全員つながっています。しかし時間順では、0が1に出会うのは時刻3。その時にはもう 1-2（時刻1）も 2-3（時刻2）も過去に起きてしまっているので、0から2や3へは決して到達できません。時刻を考えると到達範囲が劇的に狭まる — これが時間発展ネットワークの核心です。

時間順序が因果を決める

graph LR
    A["0 →(t=3) 1"] -.->|"1→2 は t=1<br/>もう過去"| X["2へ行けない"]
    B["静的には<br/>0-1-2-3 全連結"] --> C["時間順では<br/>0→1 まで"]

数式の直観的意味

時間尊重パスの単調性 $t_1 \leq t_2 \leq \cdots$ は、「情報や病気は過去にさかのぼれない」という当たり前の因果を数式にしたものです。静的グラフの分析（中心性・連結成分）をそのまま時間発展ネットワークに当てると、実際には起こりえない経路を数えてしまう。たとえば媒介中心性（近接中心性・媒介中心性）を静的グラフで計算すると、時間的にありえない仲介を過大評価します。だから temporal では「到達可能性」「最短時間経路」「バースト性（接触が時間的に固まる性質）」といった時間固有の量を測り直す必要があります。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

静的グラフに潰すと因果が壊れる：時刻を捨てて集約すると、ありえない経路を生む。感染・情報伝播では致命的です。
到達性が非対称・非推移的：静的グラフの直観（道があれば双方向・推移的）が通用しない。
「いつ・どれだけの間」も重要：接触のタイミングだけでなく持続時間やバースト性（拡散と感染症モデル（SI・SIS・SIR）の流行速度に影響）も効きます。

対応シミュレーション

本文のコードがそのまま検証用です。拡散ダイナミクスとの接続は拡散と感染症モデル（SI・SIS・SIR）。