確率的在庫モデル（新聞売り子問題）｜オペレーションズマネジメント

🎓 レベル：応用　|　重要度：A（必須）

📎 前提：安全在庫と発注点（サービス水準 CSL を所与にした連続監視の発注点 ROP=μ+zσ。本稿はその対）・経済的発注量EOQ（多期・補充あり。本稿は単一期）　|　確率の土台：正規分布（標準正規・標準化）（z＝分位点 Φ^{-1}）　|　次：収益管理（レベニューマネジメント）

要点（BLUF）

新聞売り子問題は、需要が判明する前に発注量 $Q$ を1回だけ決める単一期間の確率的在庫です。季節品・生鮮・イベント物販・新聞や雑誌など、売れ残れば次に持ち越せない／不足しても追加できないモノが対象。経済的発注量EOQ の多期・補充ありとは別世界です。
トレードオフは2つのコスト。過小コスト $C_u$ （1個足りないと取り逃す粗利＝ $p-c$ ）と過剰コスト $C_o$ （1個余ると原価を残存価値でしか回収できない損＝ $c-s$ ）。
最適発注量 $Q^*$ は臨界比（critical ratio／critical fractile） $CR=\dfrac{C_u}{C_u+C_o}$ を満たす分位点 $F(Q^*)=CR$ で与えられます。正規需要なら $Q^*=\mu+z\sigma,\ z=\Phi^{-1}(CR)$ 。
安全在庫と発注点がサービス水準 CSL を所与にして $z=\Phi^{-1}(CSL)$ を引いたのに対し、新聞売り子はコスト比からサービス水準が出ます——達成される $P(D\le Q^*)=CR$ こそが「コストが含意するサービス水準」。同じ $Q=\mu+z\sigma$ でも $z$ の出どころが違う（所与の CSL か、コスト比 CR か）——これが両者の表裏の関係です。

1. 単一期間の在庫：補充できない一発勝負

EOQ（経済的発注量EOQ）や発注点（安全在庫と発注点）は、在庫が減ればまた発注して補充できる多期の世界でした。新聞売り子問題はそうではありません。シーズン前に1回だけ仕入れ量 $Q$ を決め、需要 $D$ が実現したら終わり。売れ残りは捨てる（か叩き売る）、不足は機会損失。クリスマスケーキ、夏物アパレル、当日の生鮮、限定グッズ、印刷部数——「作り直しが間に合わない／持ち越せない」モノはすべてこの型です。

決めるべきは $Q$ ただ一つ。多すぎれば売れ残り（過剰）、少なすぎれば品切れ（過小）。需要 $D$ は確率変数なので、 $Q$ をどちらに振ってもある確率で損が出ます。期待損失を最小にする $Q$ を選ぶのが目的です。

flowchart LR
  ORDER["需要が判明する前に<br/>発注量 Q を1回だけ決める"] --> REAL["需要 D が実現"]
  REAL -->|"D が Q 超過（品切れ）"| UNDER["不足 D-Q 個<br/>1個につき逸失利益 Cu=p-c"]
  REAL -->|"D が Q 以下（売れ残り）"| OVER["余り Q-D 個<br/>1個につき過剰損 Co=c-s"]

2つのコストを、売価 $p$ ・仕入原価 $c$ ・残存価値 $s$ （売れ残り1個の処分価値、 $p>c>s$ ）で定義します。

C_u=p-c\quad(\text{過小：1個足りないと粗利 }p-c\text{ を取り逃す}),\qquad C_o=c-s\quad(\text{過剰：1個余ると原価 }c\text{ を }s\text{ でしか回収できない})

2. 限界分析から臨界比を導く

最適 $Q$ を限界分析（1個増やす価値）で出します。発注量を $Q$ から $Q+1$ に増やすと、その** $(Q+1)$ 個目**の運命は需要次第です。

売れる（ $D\ge Q+1$ 、確率 $\approx 1-F(Q)$ ）：それまで取り逃していた1個の需要を拾えるので、 $C_u$ だけ得。
売れ残る（ $D\le Q$ 、確率 $F(Q)$ ）：余剰が1個増えるので、 $C_o$ だけ損。

ここで $F(Q)=\Pr(D\le Q)$ は需要の累積分布関数。 $(Q+1)$ 個目を仕入れる期待限界利得は

\Delta(Q)=C_u\bigl(1-F(Q)\bigr)-C_o\,F(Q)

これが非負である限り在庫を1個ずつ増やすべきです。 $\Delta(Q)\ge0$ を解くと

C_u\bigl(1-F(Q)\bigr)\ge C_o\,F(Q) \;\Longrightarrow\; C_u\ge (C_u+C_o)\,F(Q) \;\Longrightarrow\; F(Q)\le \frac{C_u}{C_u+C_o}

増やす価値がなくなる境目、すなわち $F(Q^*)$ が臨界比 $CR=\dfrac{C_u}{C_u+C_o}$ に達したところが最適です。

\boxed{\,F(Q^*)=\frac{C_u}{C_u+C_o}=CR\,}

コスト関数からの裏取り（同じ式が出る）

限界分析は直感的ですが、期待コストを微分しても同じ臨界比が出ます。完璧な予測（ $Q=D$ ちょうど）からの期待ミスマッチコストは、売れ残り分（ $C_o$ ）と不足分（ $C_u$ ）の和です。

C(Q)=C_o\int_0^{Q}(Q-x)f(x)\,dx+C_u\int_{Q}^{\infty}(x-Q)f(x)\,dx

ライプニッツの積分則で $Q$ について微分すると、被積分関数の $Q$ 依存だけが残り（境界項は被積分関数が0なので消える）、

C'(Q)=C_o\int_0^{Q}f(x)\,dx-C_u\int_{Q}^{\infty}f(x)\,dx=C_o\,F(Q)-C_u\bigl(1-F(Q)\bigr)

$C'(Q^*)=0$ とおけば $C_o\,F(Q^*)=C_u\bigl(1-F(Q^*)\bigr)$ 、整理して $F(Q^*)=\dfrac{C_u}{C_u+C_o}$ ——限界分析とまったく同じ。さらに2階微分は

C''(Q)=(C_o+C_u)\,f(Q)\ge 0

で凸なので、この停留点は最小だと確定します。なお、期待利益の最大化も同じ $Q^*$ を与えます。完璧予測時の利益 $(p-c)\mathbb{E}[D]$ は $Q$ に依らない定数で、期待利益 $=$ 定数 $-\,C(Q)$ だから、利益最大化はミスマッチコスト最小化と同値だからです（第4節のコードで利益を直接最大化して確かめます）。

3. 正規需要での Q*

需要が正規分布 $D\sim N(\mu,\sigma^2)$ なら、 $F(Q^*)=CR$ は標準化して

\Phi\!\left(\frac{Q^*-\mu}{\sigma}\right)=CR \;\Longrightarrow\; \frac{Q^*-\mu}{\sigma}=\Phi^{-1}(CR) \;\Longrightarrow\; \boxed{\,Q^*=\mu+z\,\sigma,\quad z=\Phi^{-1}(CR)\,}

形は安全在庫と発注点の $ROP=\mu+z\sigma$ とそっくりですが、 $z$ の出どころが違います。03-02 は「守りたいサービス水準 CSL」を人が決めて $z=\Phi^{-1}(CSL)$ を引きました。新聞売り子は「コスト比 $CR$ 」が** $z$ を決め**、結果として達成されるサービス水準 $P(D\le Q^*)=CR$ がコストから内生的に出てくる。 $\Phi^{-1}$ そのものの理論は正規分布（標準正規・標準化）に譲り、ここでは scipy.stats.norm.ppf で値を取ります。

4. Q* が期待利益を最大化することをモンテカルロで実証（コード）

$C_u=6,C_o=3$ （売価10・原価4・残存1）で $CR=2/3$ 。正規需要 $N(100,30^2)$ のもとで $Q^*=\mu+z\sigma$ を計算し、続けて** $Q$ のグリッド上で期待利益を200万サンプルでモンテカルロ**して、最大化点が $Q^*$ に一致するか・達成サービス水準が $CR$ になるかを確かめます。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

rng = np.random.default_rng(20260627)

# 単一期の経済条件：売価 p・仕入原価 c・残存価値 s（売れ残りの処分価値, p>c>s）
p = 10.0   # 売価（円/個）
c = 4.0    # 仕入原価（円/個）
s = 1.0    # 残存価値（売れ残り1個の処分価値, 円/個）

# 過小コスト Cu（1個不足の逸失利益）と過剰コスト Co（1個売れ残りの損）
Cu = p - c   # = 6：1個足りないと粗利 p-c を取り逃す
Co = c - s   # = 3：1個余ると原価 c を s でしか回収できない
CR = Cu / (Cu + Co)   # 臨界比 critical ratio
print(f"Cu = p-c = {Cu:.1f},  Co = c-s = {Co:.1f}")
print(f"臨界比 CR = Cu/(Cu+Co) = {CR:.4f}")

# 正規需要 N(mu, sigma) のもとで最適発注量 Q* = mu + z*sigma, z = Phi^{-1}(CR)
mu, sigma = 100.0, 30.0
z = norm.ppf(CR)
Q_star = mu + z * sigma
print(f"需要 ~ N(mu={mu:.0f}, sigma={sigma:.0f})")
print(f"z = norm.ppf(CR) = {z:.4f}")
print(f"最適発注量 Q* = mu + z*sigma = {Q_star:.2f}")
print()

# --- モンテカルロ：Q のグリッドで期待利益を評価し、最大化点が Q* に一致するか ---
N = 2_000_000
D = rng.normal(mu, sigma, size=N)        # 需要サンプル（全 Q で共通＝CRN）

def expected_profit(Q):
    sold = np.minimum(D, Q)              # 売れた数
    profit = p * sold + s * np.maximum(Q - D, 0.0) - c * Q
    return profit.mean()

Q_grid = np.arange(80.0, 145.0 + 0.5, 0.5)
profits = np.array([expected_profit(Q) for Q in Q_grid])
Q_best = Q_grid[np.argmax(profits)]
print(f"MC 期待利益を最大化する Q (グリッド探索) = {Q_best:.2f}")
print(f"臨界比から求めた Q*                       = {Q_star:.2f}")
print(f"Q* での期待利益 = {expected_profit(Q_star):.4f} 円/期")
print()

# 達成サービス水準 P(D <= Q*) は臨界比 CR に一致するはず
service = np.mean(D <= Q_star)
print(f"達成サービス水準 P(D<=Q*) 実測 = {service:.4f}（理論 CR = {CR:.4f}）")

出力：

Cu = p-c = 6.0,  Co = c-s = 3.0
臨界比 CR = Cu/(Cu+Co) = 0.6667
需要 ~ N(mu=100, sigma=30)
z = norm.ppf(CR) = 0.4307
最適発注量 Q* = mu + z*sigma = 112.92

MC 期待利益を最大化する Q (グリッド探索) = 113.00
臨界比から求めた Q*                       = 112.92
Q* での期待利益 = 501.7746 円/期

達成サービス水準 P(D<=Q*) 実測 = 0.6668（理論 CR = 0.6667）

出力の意味：臨界比 $CR=6/9=0.6667$ 、その正規分位点 $z=\Phi^{-1}(0.6667)=0.4307$ 、最適発注量 $Q^*=100+0.4307\times30=112.92$ 個。コードはこの $Q^*$ を一切使わず、 $Q$ を80から145まで動かして期待利益をMCで評価しただけですが、最大化点 113.00 が臨界比から求めた 112.92 とぴたり一致しました（グリッド幅0.5の丸め差だけ）。限界分析・コスト微分・利益最大化の3つが同じ $Q^*$ を指す、という導出が数値で裏取りできています。最後の行が肝で、達成サービス水準 $P(D\le Q^*)=0.6668$ が臨界比 $CR=0.6667$ にそのまま一致——「過剰3:過小6」というコスト比が、67%という品切れ防止水準を勝手に決めているわけです。03-02 で人が「95%にしよう」と決めていたサービス水準が、ここではコストから自動的に出てくる。これが新聞売り子の本質です。

5. 臨界比の含意：粗利が高いほど多めに、腐りやすいほど少なめに（コード）

臨界比 $CR=\dfrac{C_u}{C_u+C_o}$ は、粗利が高い（ $C_u$ 大）と1に近づき多めに持て、腐りやすい／値引きが効かない（ $C_o$ 大）と0に近づき絞れ、と言っています。同じ需要 $N(100,30^2)$ でも商品の経済性で $Q^*$ がどう動くかを、3つの商品で見ます。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
from scipy.stats import norm

# 同じ需要 N(mu, sigma) でも、粗利と廃棄リスクで臨界比＝最適発注量が変わる
mu, sigma = 100.0, 30.0

# 3つの商品（売価 p・原価 c・残存価値 s）。Cu=p-c, Co=c-s, CR=Cu/(Cu+Co)
products = [
    ("高粗利・低廃棄（雑誌）", 500.0, 300.0, 250.0),
    ("バランス型",            300.0, 200.0, 100.0),
    ("腐りやすい・薄利（生鮮）", 300.0, 200.0,   0.0),
]
rows = []
for name, p, c, s in products:
    Cu, Co = p - c, c - s
    CR = Cu / (Cu + Co)
    z = norm.ppf(CR)
    Q_star = mu + z * sigma
    rows.append({"商品": name, "Cu": Cu, "Co": Co, "CR": CR,
                 "z": z, "Q*": Q_star, "対平均": Q_star - mu})
df = pd.DataFrame(rows)
print(df.to_string(index=False, float_format=lambda x: f"{x:.3f}"))
print()
print("CR が高い（粗利大・廃棄損小）ほど多めに持ち、低いほど絞る。")
print("達成サービス水準 P(D<=Q*) は CR にそのまま等しい（03-02 はこれを所与にした）。")

# --- 図：臨界比 CR と最適発注量 Q* の関係（CR が上がるほど Q* が増える） ---
CR_grid = np.linspace(0.02, 0.98, 400)
Q_curve = mu + norm.ppf(CR_grid) * sigma

plt.figure(figsize=(10, 5.5))
plt.plot(CR_grid, Q_curve, color="#1f77b4", lw=2,
         label=r"$Q^*=\mu+\Phi^{-1}(CR)\,\sigma$")
plt.axhline(mu, color="gray", ls="--", lw=1, label=f"平均需要 μ={mu:.0f}")
colors = ["#2ca02c", "#ff7f0e", "#d62728"]
offsets = [(12, -34), (12, 12), (-150, -30)]   # ラベルの位置（重なり回避）
for (name, p, c, s), col, off in zip(products, colors, offsets):
    Cu, Co = p - c, c - s
    CR = Cu / (Cu + Co)
    Q_star = mu + norm.ppf(CR) * sigma
    plt.scatter([CR], [Q_star], color=col, zorder=5, s=60)
    plt.annotate(f"{name}\nCR={CR:.2f}, Q*={Q_star:.0f}",
                 (CR, Q_star), textcoords="offset points",
                 xytext=off, fontsize=9, color=col)
plt.axvline(0.5, color="purple", ls=":", lw=1, label="CR=0.5（過小=過剰）")
plt.xlabel("臨界比 CR = Cu/(Cu+Co)  ＝ 達成サービス水準 P(D≦Q*)")
plt.ylabel("最適発注量 Q*")
plt.title("新聞売り子：粗利が高い（CR→1）ほど多めに、腐りやすい（CR→0）ほど少なめに持つ")
plt.legend(loc="upper left"); plt.tight_layout(); plt.show()

出力：

          商品      Cu      Co    CR      z      Q*     対平均
 高粗利・低廃棄（雑誌） 200.000  50.000 0.800  0.842 125.249  25.249
       バランス型 100.000 100.000 0.500  0.000 100.000   0.000
腐りやすい・薄利（生鮮） 100.000 200.000 0.333 -0.431  87.078 -12.922

CR が高い（粗利大・廃棄損小）ほど多めに持ち、低いほど絞る。
達成サービス水準 P(D<=Q*) は CR にそのまま等しい（03-02 はこれを所与にした）。

出力の意味：同じ需要分布でも、最適発注量が商品で大きく変わります。粗利が大きく売れ残りロスが小さい雑誌（ $C_u=200,C_o=50,CR=0.80$ ）は $Q^*=125$ と平均より25個多く持つ。過小と過剰が拮抗するバランス型（ $CR=0.50$ ）は $z=0$ ぴったりで $Q^*=\mu=100$ （中央値発注）。腐りやすく薄利の生鮮（ $C_u=100,C_o=200,CR=0.33$ ）は $z<0$ で $Q^*=87$ と平均より13個少なく絞る。図は $CR$ を横軸に取った $Q^*=\mu+\Phi^{-1}(CR)\sigma$ の曲線で、3商品がその上に乗っています。 $CR\to1$ （粗利が圧倒的）で青曲線が跳ね上がり、 $CR\to0$ （捨てるしかない）で沈む——「足りない痛み $C_u$ と余る痛み $C_o$ のどちらが大きいか」で発注量が決まる。横軸が「達成サービス水準 $P(D\le Q^*)$ 」でもあることに注意：03-02 で人が選んでいたサービス水準が、ここではコスト比そのものだという対応関係が、1本の曲線に集約されています。

⚠️ よくある誤解

「新聞売り子＝多期の在庫管理」ではない：新聞売り子は単一期間・補充なし・持ち越せないモノ（季節品・生鮮・印刷部数）の問題です。減ったら補充できる多期の世界は EOQ＋発注点（経済的発注量EOQ・安全在庫と発注点）。多期でも「期末の余剰を捨てる」構造があれば各期が新聞売り子になりますが、繰り越せる在庫がある一般の多期問題は基在庫（base-stock）方策で、 $(s,S)$ などに発展します（離散事象シミュレーション最適化）。
「臨界比＝任意に決めるサービス水準」ではない：臨界比 $CR=\dfrac{C_u}{C_u+C_o}$ はコストが含意するサービス水準で、人が決めるものではありません。逆に安全在庫と発注点はサービス水準 CSL を所与にしました。両者は表裏——「サービス水準を約束する」のか「コストを最小化する」のかで、 $z$ の出どころが CSL か CR かに分かれます。コスト $C_u,C_o$ を正直に見積もれるなら、サービス水準を勘で決めるより新聞売り子のほうが筋が通ります。
「過剰と過少は対称」ではない： $C_u\ne C_o$ なら最適は非対称で、 $Q^*$ は平均からずれます。 $C_u>C_o$ （品切れのほうが痛い）なら平均より多め（ $CR>0.5,z>0$ ）、逆なら少なめ。 $CR=0.5$ のときだけ $Q^*=$ 中央値（正規なら平均）。「とりあえず平均ぶん仕入れる」は $C_u=C_o$ の特殊ケースを暗黙に仮定しています。
「需要分布は何でも正規でいい」ではない： $F(Q^*)=CR$ は任意の分布で成立しますが、 $Q^*=\mu+z\sigma$ の形は正規（や対称分布）の近似です。需要が右に歪む（在庫品・低頻度大口）なら正規は危険で、ポアソン・負の二項・対数正規などで $F^{-1}(CR)$ を直接取るべき。とくに $CR$ が1に近い高粗利品は裾の形が効くので、分布の選択が在庫量を左右します（要最新確認）。
「残存価値や品切れペナルティは無視できる」ではない： $C_o=c-s$ の $s$ （値引き処分・転用価値）と、 $C_u=p-c$ に上乗せされるのれん損・代替購買による将来損を入れ忘れると、臨界比がずれて系統的に過少／過剰発注になります。実務では $C_u$ に「失客の長期損」を、 $C_o$ に「在庫処分・廃棄・保管」を丁寧に積むのが勘所です（要最新確認）。