リスクを織り込む最適化（CVaR最小化）

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🎓 レベル：発展　|　重要度：B（標準）

📎 前提：確率計画法・サンプル平均近似（SAA）　|　関連：ポートフォリオ最適化のモデル化

要点（BLUF）

期待値最適化は リスク中立。テール（最悪側）の損失を無視するので、リスク回避には不十分。
VaR＝ある確率水準での損失の閾値、CVaR＝その閾値を超える損失の 条件付き期待値（テール平均）。
CVaR は Rockafellar–Uryasev の定式化で線形化でき、CVaR 最小化が 凸最適化（LP） になる。

概念 ── 平均だけ見ると危ない

確率計画（確率計画法）は期待値を最適化する。だが「平均は良いが、たまに破滅的損失」という解は、現実には受け入れがたい。リスク回避の意思決定には、テール（最悪側）のリスクを目的に織り込む必要がある。

VaR と CVaR

損失 $L(x,\xi)$ の分布を考える。信頼水準 $\alpha$ （例 $0.95$ ）について：

VaR（Value at Risk）： $\text{VaR}_\alpha = \min\{\,t : P(L \le t) \ge \alpha\,\}$ 。損失が $\alpha$ の確率で収まる閾値（ $\alpha$ 分位点）。
CVaR（Conditional VaR）： $\text{CVaR}_\alpha = \mathbb{E}[\,L \mid L \ge \text{VaR}_\alpha\,]$ 。VaR を超える テール部分の平均損失。

graph LR
  A["損失分布"] --> B["VaR_α: α分位点(閾値)"]
  B --> C["CVaR_α: VaRを超える部分の平均"]
  C --> D["テールの重さを測る -> 最小化対象に"]

VaR は「どこまでで収まるか」だが、それを超えたときどれだけ酷いかは教えない。さらに VaR は 劣加法性を満たさない（分散投資でリスクが増えて見える）ので一貫したリスク尺度でない。CVaR はテールの平均を見るので、超過時の酷さを捉え、かつ 凸で一貫性のある（coherent）リスク尺度。

Rockafellar–Uryasev の線形化

CVaR の定義は分位点を含み一見扱いにくいが、補助変数 $\tau$ （VaR に対応）を導入すると 凸関数の最小化になる：

\text{CVaR}_\alpha = \min_{\tau}\ \left\{\, \tau + \frac{1}{1-\alpha}\,\mathbb{E}\bigl[(L-\tau)^+\bigr] \,\right\}

$(L-\tau)^+=\max(0,L-\tau)$ 。シナリオ標本（サンプル平均近似（SAA））で期待値を置き換え、 $(L-\tau)^+$ を補助変数 $z_i\ge0,\ z_i\ge L_i-\tau$ で線形化すると、LP（または凸計画）になる：

\min_{x,\tau,z}\ \tau + \frac{1}{(1-\alpha)N}\sum_{i=1}^N z_i \quad \text{s.t.}\quad z_i \ge L_i(x)-\tau,\ z_i \ge 0

CVaR 最小化が凸問題に落ちる ── これが Rockafellar–Uryasev の貢献で、リスク管理を実用的にした。

Pythonで CVaR 最小ポートフォリオ

3資産、各リターンをシナリオでサンプリングし、損失（＝負のリターン）の $\text{CVaR}_{0.95}$ を最小化する配分を求める。

import numpy as np
import cvxpy as cp

rng = np.random.default_rng(1)
n_assets, n_scen, alpha = 3, 2000, 0.95
# 各資産の平均リターンと分散(資産0が低リスク, 資産2が高リスク高リターン)
returns = rng.multivariate_normal([0.08, 0.10, 0.12],
                                  np.diag([0.02, 0.05, 0.09]), n_scen)
losses = -returns                                  # 損失 = -リターン

w   = cp.Variable(n_assets, nonneg=True)           # 資産配分
tau = cp.Variable()                                # VaR(閾値)に対応
z   = cp.Variable(n_scen, nonneg=True)             # 超過損失 (L - tau)^+

portfolio_loss = losses @ w
cvar = tau + (1/((1-alpha)*n_scen)) * cp.sum(z)    # Rockafellar-Uryasev
prob = cp.Problem(cp.Minimize(cvar),
                  [cp.sum(w) == 1, z >= portfolio_loss - tau])
prob.solve()

print(f"最小 CVaR_0.95 = {prob.value:.4f}")
print(f"最適配分 w = {np.round(w.value, 3)}  (資産0=低リスク, 資産2=高リスク)")

実行結果：

最小 CVaR_0.95 = 0.1387
最適配分 w = [0.6   0.274 0.126]

CVaR 最小化は、テールリスクを抑えるため 低リスク資産（資産0、分散0.02）に最も多く（60%）配分し、高リスク資産（資産2、分散0.09）は12.6%に抑えた。期待リターン最大化なら高リスク資産に全振りするところを、テールの平均損失を見ることで保守的な分散配分になる。リターンとのトレードオフを取るなら、期待リターン制約を加える（ポートフォリオ最適化のモデル化）。

数式の直観的意味

Rockafellar–Uryasev の式の美しさは、分位点（VaR）という 非凸・不連続な量を、補助変数 $\tau$ の最小化を通じて 凸関数に変換した点。内側の $\tau+\frac1{1-\alpha}\mathbb{E}[(L-\tau)^+]$ は $\tau$ について凸（区分線形の期待値）で、最小を取る $\tau^\star$ がちょうど VaR に一致し、最小値が CVaR になる。 $(L-\tau)^+$ は「閾値超過分だけ罰する」ヒンジ損失で、機械学習の SVM やペナルティ法（ペナルティ法・障壁法）と同じ構造。CVaR が凸で一貫性のあるリスク尺度であることが、 $x$ （配分）について凸最適化を保証し、大域最適が得られる（凸集合と凸関数）。期待値最適化が分布の中心を見るのに対し、CVaR はテールの重さを見る ── 「平均的な良さ」と「最悪時の痛み」のどちらを最適化するかという、リスク態度の数理的表現。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

VaR ≠ CVaR：VaR は閾値、CVaR はテール平均。VaR 最小化は非凸で危険、CVaR 最小化は凸で扱いやすい。
VaR は一貫性がない：劣加法性を満たさず、分散投資効果を正しく評価できない。CVaR を使う。
信頼水準 $\alpha$ で保守性が変わる： $\alpha$ を1に近づけるほど極端なテールだけを見る（保守的）。
標本依存：テールは標本数が要る（サンプル平均近似（SAA））。少標本だと CVaR 推定が不安定。