ポートフォリオ最適化のモデル化

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：二次計画（QP）　|　関連：リスクを織り込む最適化（CVaR最小化）

要点（BLUF）

マーコウィッツの 平均分散モデル：リスク（分散）を最小化しつつ目標リターンを満たす配分を選ぶ。
分散は共分散行列による 二次形式なので、これは凸 二次計画（QP）（二次計画（QP））。
目標リターンを動かすと、リスクとリターンの最良トレードオフ曲線 有効フロンティアが描ける。
数理（QP）はここ、深い適用（実際の資産運用）は 金融工学（finance） へ wikilink。

概念 ── リスクとリターンのトレードオフ

資産を配分するとき、期待リターンは高いほど良いが、リスク（ばらつき）は低いほど良い。両者は普通トレードオフ。マーコウィッツ（1952）は、リスクを 収益率の分散で測り、最適化問題として定式化した ── 現代ポートフォリオ理論の出発点。

平均分散モデル（QP）

資産 $n$ 個、期待リターン $\mu$ 、共分散行列 $\Sigma$ （半正定値）。配分 $w$ （合計1、空売りなしなら $w\ge0$ ）。目標リターン $r$ 以上でリスク最小：

\min_w\ w^\top \Sigma w \quad \text{s.t.}\quad \mu^\top w \ge r,\ \ \mathbf{1}^\top w = 1,\ \ w \ge 0

目的 $w^\top\Sigma w$ がポートフォリオの分散（リスク）。 $\Sigma\succeq0$ なので 凸 QP（二次計画（QP））── 大域最適が効率的に解ける。分散投資の効果（相関の低い資産を混ぜるとリスクが下がる）が、共分散の非対角項を通じて自然に表れる。

有効フロンティア

目標リターン $r$ を変えて解くと、各 $r$ に対し最小リスクが定まる。 $(\text{リスク}, \text{リターン})$ 平面にプロットした 有効フロンティアは、「そのリターンで取り得る最小リスク」の境界。フロンティア上の点は パレート最適（どちらも改善できない）で、投資家はリスク選好に応じてこの曲線上から選ぶ。

graph LR
  A["各目標リターン r で 分散最小QPを解く"] --> B["(リスク, リターン)の点が定まる"]
  B --> C["rを動かして点を集める"]
  C --> D["有効フロンティア(最良トレードオフ曲線)"]

Pythonで分散最小ポートフォリオ

3資産、期待リターン $\mu=[0.08,0.10,0.12]$ 、共分散 $\Sigma$ 、目標リターン 0.10 以上で分散最小化。

import numpy as np
import cvxpy as cp

mu = np.array([0.08, 0.10, 0.12])              # 期待リターン
Sigma = np.array([[0.02, 0.005, 0.01],         # 共分散行列(半正定値)
                  [0.005, 0.04, 0.02],
                  [0.01, 0.02, 0.09]])
target = 0.10

w = cp.Variable(3, nonneg=True)                # 配分(空売りなし)
prob = cp.Problem(cp.Minimize(cp.quad_form(w, Sigma)),
                  [cp.sum(w) == 1, mu @ w >= target])
prob.solve()

print(f"最適配分 w = {np.round(w.value, 3)}")
print(f"ポートフォリオ分散(リスク) = {prob.value:.5f}")
print(f"実現リターン = {mu @ w.value:.4f}")

実行結果：

最適配分 w = [0.289 0.421 0.289]
ポートフォリオ分散(リスク) = 0.02408
実現リターン = 0.1000

目標リターン 0.10 をちょうど満たしつつ、分散 0.0241 を最小化する配分は $[0.289, 0.421, 0.289]$ 。3資産に分散することで、単一資産より低リスクで目標リターンを達成している（分散投資効果）。目標リターンを上げると高リターン資産（資産2）の比率が増え、リスクも上がる ── これを連ねたのが有効フロンティア。リスク尺度を分散でなくテール（CVaR）にするとリスクを織り込む最適化（CVaR最小化）の定式化になる。

数理はここ、適用は finance へ

ポートフォリオ最適化の数理（QP としての定式化・凸性・解法）はここで扱う。だが実際の資産運用 ── リターン推定の難しさ、取引コスト、レバレッジ、ファクターモデル、動的リバランス ── の深い議論は 金融工学（finance） の領域。共分散行列の推定誤差に対する頑健化はロバスト最適化（ロバスト最適化）、テールリスク管理は CVaR（リスクを織り込む最適化（CVaR最小化））へ繋がる。

数式の直観的意味

平均分散モデルが凸 QP になる鍵は、リスクを 分散（二次形式 $w^\top\Sigma w$ ） で測ったこと。共分散行列 $\Sigma$ は必ず半正定値（二次計画（QP））なので目的が凸で、線形制約（予算・目標リターン）の凸領域と合わせて、大域最適が保証される。非対角項（資産間の共分散）が分散投資効果を担う：相関の低い（または負の）資産を混ぜると $w^\top\Sigma w$ が個別分散の加重和より小さくなる ── 「卵を1つの籠に盛るな」の数理的表現。最適性条件（最適性条件の地図）を書くと、最適ポートフォリオでは各資産の 限界リスク寄与がリターン寄与に比例する（ラグランジュ乗数が価格）。有効フロンティアは、目標リターン制約のラグランジュ乗数（影の価格、感度分析）を動かして得られるパレート最適曲線で、リスクとリターンの交換レートを表す。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

共分散行列の推定誤差： $\Sigma$ ・ $\mu$ の推定が不正確だと最適解が過敏に動く。ロバスト化・縮小推定が要る。
空売り可否で解が変わる： $w\ge0$ （空売りなし）か自由か。制約次第で配分が大きく変わる。
分散はリスクの一面：左右対称な分散は、下方リスク（損失側）だけを嫌う投資家には不十分。CVaR や半分散を使う。
取引コスト・整数株数を入れると MILP になり、QP の素直さが失われる（定式化の技法）。