定常性と自己相関｜時系列分析

🎓 レベル：基礎　|　重要度：A（必須）

📎 前提：時系列データと分解　|　数理：確率過程（マルコフ連鎖・ポアソン過程）（統計）

要点（BLUF）

定常性＝平均・分散・自己相関が時間によらず一定。多くの時系列モデル（ARIMA など）の前提です。非定常な系列は差分などで定常化してから扱います（ランダムウォークと単位根）。
自己相関 ACF はラグ $k$ だけ離れた値同士の相関、偏自己相関 PACF は途中のラグの影響を除いた直接の相関。
ACF/PACF のパターンがモデルの指紋：AR( $p$ ) は PACF がラグ $p$ で切れ、MA( $q$ ) は ACF がラグ $q$ で切れます。AR(1) は ACF が幾何減衰・PACF がラグ1で切れる（コードで実証）。

1. 定常性とは

弱定常（共分散定常）は次の3つを満たすことです。

\mathbb E[y_t]=\mu\ (\text{一定}),\qquad \mathrm{Var}[y_t]=\sigma^2\ (\text{一定}),\qquad \mathrm{Cov}[y_t,y_{t-k}]=\gamma_k\ (k\ \text{だけに依存})

つまり「いつ見ても同じ統計的性質」。トレンドがあれば平均が動くので非定常、分散が時間とともに膨らんでも非定常です。定常なら過去から学んだ関係が未来にも使える——だから多くのモデルは定常性を前提にし、非定常なら差分や対数変換で定常化します。

2. 自己相関 ACF と偏自己相関 PACF

**自己相関関数（ACF）**は、ラグ $k$ の自己共分散を分散で割ったもの：

\rho_k=\frac{\gamma_k}{\gamma_0}=\frac{\mathrm{Cov}[y_t,y_{t-k}]}{\mathrm{Var}[y_t]}

$\rho_1$ が大きければ「1時点前と強く連動」。ただし $y_t$ と $y_{t-2}$ の相関には「 $y_{t-1}$ を経由した間接的な相関」も混じります。これを取り除いた直接の相関が偏自己相関（PACF） $\phi_{kk}$ （ $y_{t-1},\dots,y_{t-k+1}$ を条件づけた $y_t$ と $y_{t-k}$ の相関）。ACF と PACF を併せて見ると、依存の「形」が読めます。

3. コード：AR(1) の指紋（ACF幾何減衰・PACFラグ1で切れる）

1次自己回帰 AR(1) $x_t=\phi x_{t-1}+\varepsilon_t$ （ $\phi=0.7$ ）を作り、ACF/PACF を見ます。理論では ACF $=\phi^k$ 、PACF はラグ1で $\phi$ ・以降 0 になります。

import numpy as np
from statsmodels.tsa.stattools import acf, pacf

# AR(1): x_t = φ x_{t-1} + ε（真の φ=0.7 を仕込む）
rng = np.random.default_rng(1)
phi, n = 0.7, 4000
x = np.zeros(n)
for t in range(1, n):
    x[t] = phi*x[t-1] + rng.normal(0, 1)

a = acf(x, nlags=5, fft=True)
p = pacf(x, nlags=5)
print(f"{'lag':>4}{'ACF推定':>10}{'理論φ^k':>10}{'PACF推定':>10}")
for k in range(6):
    print(f"{k:>4}{a[k]:>10.3f}{phi**k:>10.3f}{p[k]:>10.3f}")

出力：

 lag     ACF推定     理論φ^k    PACF推定
   0     1.000     1.000     1.000
   1     0.696     0.700     0.696
   2     0.484     0.490    -0.000
   3     0.339     0.343     0.004
   4     0.237     0.240    -0.001
   5     0.158     0.168    -0.016

出力の意味：ACF は $0.70,0.48,0.34,\dots$ と幾何級数的に減衰し、理論値 $\phi^k$ とぴたり一致。一方 PACF はラグ1で $0.696$ 、ラグ2以降はほぼ $0$ 。これが AR(1) の「指紋」です——「1時点前との直接の相関だけがあり、それ以降の相関は $y_{t-1}$ 経由の間接効果にすぎない」ことを PACF が見抜いています。次章の ARIMA では、この ACF/PACF の形から次数 $(p,q)$ を当てます（ARMA・ARIMAモデル）。

4. ACF/PACF でモデルを見分ける

ACF と PACF の「どこで切れるか／減衰するか」で、AR か MA かを見当づけます。

モデル	ACF	PACF
AR( $p$ )	緩やかに減衰	ラグ $p$ で切れる
MA( $q$ )	ラグ $q$ で切れる	緩やかに減衰
ARMA( $p,q$ )	減衰	減衰

「切れる方（cut off）が次数を教える」と覚えます。AR は PACF、MA は ACF が次数で切れる。

ACF/PACF を棒グラフ（相関と信頼帯）で描くと判断しやすくなります。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib  # 日本語ラベル用
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

rng = np.random.default_rng(1)
phi, n = 0.7, 4000
x = np.zeros(n)
for t in range(1, n):
    x[t] = phi*x[t-1] + rng.normal(0, 1)

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4))
plot_acf(x, lags=15, ax=ax[0]); ax[0].set_title("ACF（幾何減衰＝AR的）")
plot_pacf(x, lags=15, ax=ax[1], method="ywm"); ax[1].set_title("PACF（ラグ1で切れる＝AR(1)）")
plt.tight_layout(); plt.show()

グラフの意味：左の ACF は棒が徐々に短くなり（減衰）、右の PACF はラグ1だけ高く、ラグ2以降は信頼帯（青い影）の中＝ほぼ0。この「ACF減衰・PACFラグ1で切れる」を見たら AR(1) を疑う、という読み方の練習になります。

5. 定常 vs 非定常：ACF の減衰速度

非定常な系列（ランダムウォークなど）は、ACF がいつまでも 1 に近いままゆっくりしか減衰しません。

import numpy as np
from statsmodels.tsa.stattools import acf

rng = np.random.default_rng(1)
n = 4000
ar1 = np.zeros(n)
for t in range(1, n): ar1[t] = 0.7*ar1[t-1] + rng.normal(0, 1)   # 定常
rw = np.cumsum(rng.normal(0, 1, n))                               # 非定常（ランダムウォーク）
print(f"AR(1)定常    : ACF lag1={acf(ar1,nlags=10,fft=True)[1]:.3f}, lag10={acf(ar1,nlags=10,fft=True)[10]:.3f}")
print(f"ランダムウォーク: ACF lag1={acf(rw,nlags=10,fft=True)[1]:.3f}, lag10={acf(rw,nlags=10,fft=True)[10]:.3f}")

出力：

AR(1)定常    : ACF lag1=0.696, lag10=0.037
ランダムウォーク: ACF lag1=0.998, lag10=0.985

出力の意味：定常な AR(1) は ACF がラグ10で $0.04$ までストンと落ちるのに、ランダムウォークはラグ10でも $0.985$ ——ほとんど減衰しない。「ACF が長く高止まりしていたら非定常を疑い、差分を検討する」という実務の合図です（単位根の正式な検定はランダムウォークと単位根）。

⚠️ よくある誤解

「ACF が高い＝因果」ではない：自己相関は系列内の連動の記述で、因果ではありません（グレンジャー因果で別途扱う）。
「ACF と PACF は同じ」ではない：ACF は間接相関込み、PACF は直接相関のみ。AR/MA の判別には両方見ます。
「定常化は差分だけ」ではない：トレンドは差分、分散の増大は対数変換、季節は季節差分、と原因に応じて使い分けます。
「ACF の山が信頼帯を超えたら必ず有意」ではない：多数のラグを見れば偶然超えるものも出ます。全体のパターンで判断します。