ランダムウォークと単位根

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：定常性と自己相関　|　数理：確率過程（マルコフ連鎖・ポアソン過程）（統計）

要点（BLUF）

ランダムウォーク $x_t=x_{t-1}+\varepsilon_t$ は単位根を持つ非定常過程。トレンドのように見えますが、実体は累積したノイズ。分散は時間とともに増大し、最良の予測は「前回値」。
単位根検定（ADF）：帰無仮説は「単位根あり（非定常）」。 $p<0.05$ で定常と判断します。
非定常は差分で定常化：ランダムウォークの1階差分はホワイトノイズ。これが ARIMA の「I（和分）」（ARMA・ARIMAモデル）。過剰差分に注意。

1. ランダムウォーク＝単位根過程

AR(1) $x_t=\phi x_{t-1}+\varepsilon_t$ で $\phi=1$ にしたのがランダムウォークです。

x_t=x_{t-1}+\varepsilon_t=\sum_{s=1}^{t}\varepsilon_s+x_0

「前回値にノイズを足すだけ」。係数 $\phi=1$ は特性方程式の根が1（単位根）であることを意味し、ここが非定常の境目です（ $|\phi|<1$ なら定常、 $\phi=1$ で単位根）。累積和なので分散が

\mathrm{Var}[x_t]=t\,\sigma^2

と時間とともに発散し、平均回帰しません。見た目は右肩上がり／下がりの「トレンド」に見えますが、それは偶然のノイズの積み重なりで、方向は毎回変わります。

2. なぜ厄介か

予測が難しい：最良予測は $\hat x_{t+h}=x_t$ （前回値そのまま）、予測区間は $h$ とともに $\sqrt{h}\,\sigma$ で広がる。
見せかけの回帰：独立な2本のランダムウォークを回帰すると、無関係なのに高い $R^2$ と「有意」な係数が出てしまう（共和分と誤差修正モデル（VECM）で対処）。
だから時系列分析では、まず定常かどうかを判定し、非定常なら定常化してからモデル化します。

3. 単位根検定（ADF）

ADF（拡張ディッキー–フラー）検定は単位根の有無を調べます。差分の式

\Delta x_t=(\phi-1)\,x_{t-1}+\sum_i \delta_i \Delta x_{t-i}+\varepsilon_t

で「 $\phi-1=0$ （＝単位根 $\phi=1$ ）」を帰無仮説に検定します。帰無仮説＝非定常なので、

$p<0.05$ ：帰無を棄却 → 定常
$p\ge0.05$ ：棄却できず → 非定常（単位根あり）の疑い

と読みます（「有意なら定常」で、ふつうの検定と帰無の向きが逆な点に注意）。

4. コード：ADF で判定する

ランダムウォーク・定常 AR(1)・差分後の3つを ADF にかけます。

import numpy as np
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

rng = np.random.default_rng(2)
n = 500
rw = np.cumsum(rng.normal(0, 1, n))                 # 非定常：ランダムウォーク
ar = np.zeros(n)
for t in range(1, n): ar[t] = 0.5*ar[t-1] + rng.normal(0, 1)   # 定常：AR(1)
rw_diff = np.diff(rw)                                # ランダムウォークの1階差分

def report(name, x):
    stat, p = adfuller(x)[:2]
    verdict = "定常（単位根を棄却）" if p < 0.05 else "非定常（単位根を棄却できず）"
    print(f"{name:<22} ADF統計量={stat:>7.3f}  p値={p:.3f}  → {verdict}")

print("ADF：帰無仮説=単位根あり（非定常）。p<0.05 で定常")
report("ランダムウォーク", rw)
report("AR(1) φ=0.5（定常）", ar)
report("ランダムウォークの差分", rw_diff)

出力：

ADF：帰無仮説=単位根あり（非定常）。p<0.05 で定常
ランダムウォーク               ADF統計量= -0.466  p値=0.898  → 非定常（単位根を棄却できず）
AR(1) φ=0.5（定常）        ADF統計量=-13.392  p値=0.000  → 定常（単位根を棄却）
ランダムウォークの差分            ADF統計量=-22.604  p値=0.000  → 定常（単位根を棄却）

出力の意味：ランダムウォークは $p=0.898$ で非定常と正しく判定（単位根を棄却できない）。定常 AR(1) は $p=0.000$ で定常。そしてランダムウォークを1階差分すると $p=0.000$ で定常に変わります——差分が単位根を取り除いたのです。

5. 差分による定常化（ARIMA の I）

ランダムウォークの差分は $\Delta x_t=x_t-x_{t-1}=\varepsilon_t$ 、つまりホワイトノイズ（定常）。一般に「 $d$ 回差分すれば定常になる」系列を $d$ 次和分 $I(d)$ と呼び、これが ARIMA( $p,d,q$ ) の中央の $d$ です（ARMA・ARIMAモデル）。

flowchart LR
  NS["非定常系列<br/>（ADF: p≥0.05・ACFが高止まり）"] --> D["1階差分 Δx_t = x_t − x_{t-1}"]
  D --> S["定常系列<br/>（ADF: p<0.05）→ ARMA でモデル化"]

季節性のある非定常なら季節差分 $x_t-x_{t-s}$ 、分散が時間で増えるなら対数変換、と原因に応じて使い分けます。

⚠️ よくある誤解

「ADF で有意＝非定常」ではない：帰無が非定常なので、有意（p小）なら定常。向きを逆に読むミスが頻出。
「とりあえず差分すればよい」ではない：定常な系列を差分すると（過剰差分）、不要な MA 構造が入り予測が悪化します。ADF で確認してから差分。
「トレンドがあれば必ず差分」ではない：決定的トレンド（直線＋定常誤差＝トレンド定常）は回帰でトレンド除去、確率的トレンド（単位根＝差分定常）は差分。ADF（トレンド項つき）で見分けます。
「ランダムウォークの上昇トレンドは続く」ではない：方向は偶然で、平均回帰も継続保証もありません。外挿は禁物。