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🎓 第4章：状態空間とカルマン

第4章 状態空間とカルマンフィルタ

ARIMA（第2章 ARIMA系モデル 目次）や ETS（第3章 指数平滑と分解 目次）は、それぞれ自己相関や指数平滑として時系列を表しました。本章は、それらを一つの上位言語にまとめます——状態空間モデルです。「見えない状態 $\alpha_t$ が時間発展し、観測 $y_t$ はその状態にノイズが乗ったもの」を観測方程式＋状態方程式で書くと、ARIMA も ETS も AR も同じ箱に収まり、推定・予測・平滑化・欠測処理が全部同じアルゴリズムで回ります。その推定の心臓がカルマンフィルタ（予測→更新の逐次更新＝ガウス版のベイズ更新）。代表モデルのローカルレベル/ローカル線形トレンドで分散を復元して予測区間つき予測を行い、フィルタと平滑化の違い、欠測の不確実性つき補間までを、真の隠れ状態を仕込んだ擬似系列での復元・追跡・補間で確かめます。

トピック一覧

1. 状態空間モデルの枠組み — 標準
2. カルマンフィルタ — 標準
3. ローカルレベルとローカルトレンドモデル — 標準
4. 平滑化と欠測補間 — 標準

この章の要点

• 状態空間モデル：$y_t=Z\alpha_t+\varepsilon_t$（観測・$H$）と $\alpha_t=T\alpha_{t-1}+R\eta_t$（状態・$Q$）。行列 $Z,H,T,R,Q$ を差し替えれば ARIMA/ETS/AR が同じ形に。ETS の単一誤差源（SSOE）と違い観測ノイズ $\varepsilon$ と状態ノイズ $\eta$ を分けた複数誤差源。
• カルマンフィルタ：各時点で予測（事前 $a_{t|t-1},P_{t|t-1}$）→ 観測で更新（事後 $a_t,P_t$、ゲイン $K_t$）。これはベイズ逐次更新のガウス版で、$K_t$ は予測と観測の逆分散加重平均。観測ノイズが大きいほどゲインは小さい（観測を割り引く）。自前実装が真の隠れ水準を相関0.91で追え、statsmodels と一致。
• ローカルレベル/ローカル線形トレンド：信号対雑音比 $Q/H$ が滑らかさを決める。UnobservedComponents で分散を復元（$Q$ 0.5→0.465 等）、予測区間つき予測。ローカルレベル⟺ARIMA(0,1,1)、ローカル線形トレンド⟺ARIMA(0,2,2)。トレンド系列では傾きの外挿が素朴を圧倒（RMSE 1.85 vs 24.2）。
• 平滑化と欠測：フィルタ（過去のみ・オンライン）vs スムーザー（全データ・オフラインで分散小・RMSE小）。欠測は NaN のまま渡せばカルマンが不確実性つきで補間。予測は「未来が全部欠測」の特殊ケースとして統一的に理解。

関連章

• 第3章 指数平滑と分解 — ETS の状態空間表現（SSOE）の一般化（第3章 指数平滑と分解 目次、特に ETSモデルと状態空間表現）
• 第2章 ARIMA系モデル — ARIMA も状態空間に書ける／ローカルレベル⟺ARIMA(0,1,1)（第2章 ARIMA系モデル 目次）
• 第5章 多変量時系列 — 状態空間の多変量化・VAR（予定）

統計・ベイズサイトとの関係

• カルマンフィルタはベイズ逐次更新の連続版——事前×尤度→事後を時間方向に繰り返す（ベイズ統計テキスト ベイズ更新と逐次推論・正規共役 正規正規モデル）。
• 確率過程の土台は統計検定テキスト第8章 確率過程（マルコフ連鎖・ポアソン過程）（ランダムウォーク・状態のダイナミクス）。
• 状態空間のベイズ推定（分散にも事前を置き MCMC で推定）は第7章 ベイズ時系列で扱う予定。

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