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🎓 レベル：基礎　|　重要度：A（必須）

📎 前提：相関と因果の違い　|　次に読む：バックドア基準と識別　|　数理：条件付き確率・独立性・全確率の定理（統計）・構造方程式モデル・パス解析（統計）

要点（BLUF）

• 因果ダイアグラム（DAG） は変数を矢印でつないだ非巡回有向グラフ。因果の仮定を絵にし、「どの変数を調整すべきか」を機械的に判断する道具です。
• 任意の経路は3部品の組み合わせ：鎖（chain） $X\to Z\to Y$、分岐（fork） $X\leftarrow Z\to Y$、合流点（collider） $X\to Z\leftarrow Y$。
• d分離（d-separation） は「どの経路が開/閉か」を与える規則。鎖・分岐は中継点 $Z$ を条件づけると閉じ、合流点は $Z$ を条件づけると開く。閉じた経路だけなら条件付き独立が成り立ちます。これを擬似データで数値で確認します。

1. DAG と経路

DAG（Directed Acyclic Graph） は、変数をノード、直接の因果を矢印（有向辺）で表し、サイクルを持たないグラフです。$A\to B$ は「$A$ が $B$ の直接の原因」を意味します。

経路（path） は、矢印の向きを無視してノードをたどった連なりです。経路には2種類あります。

• 因果的経路：すべての矢印が一方向（$X\to\cdots\to Y$）。本当に知りたい効果の通り道。
• バックドアパス：$X$ に向かう矢印で始まる経路（$X\leftarrow\cdots Y$）。交絡由来の見せかけの相関の通り道（バックドア基準と識別）。

経路が「相関を伝えるか（開）／伝えないか（閉）」を判定できれば、調整すべき変数が分かります。その判定規則が d 分離で、鍵は経路上の3部品です。

2. 3つの部品：鎖・分岐・合流点

どんな経路も、隣り合う3ノードの形が次の3つのいずれかです。中継点 $Z$ を**条件づける（観測して揃える＝統計的に固定する）**と、相関の伝わり方が部品ごとに変わります。

flowchart LR
  subgraph chain["鎖 chain"]
    X1["X"] --> Z1["Z"] --> Y1["Y"]
  end
  subgraph fork["分岐 fork"]
    Z2["Z"] --> X2["X"]
    Z2 --> Y2["Y"]
  end
  subgraph collider["合流点 collider"]
    X3["X"] --> Z3["Z"]
    Y3["Y"] --> Z3
  end

• 鎖 $X\to Z\to Y$（媒介）：$X$ の影響が $Z$ を経由して $Y$ に伝わる。$X$ と $Y$ は相関するが、$Z$ を条件づけると遮断され独立になる。
• 分岐 $X\leftarrow Z\to Y$（共通原因＝交絡）：$Z$ が両者を動かすので $X,Y$ は相関する（見せかけ）。$Z$ を条件づけると独立になる。
• 合流点 $X\to Z\leftarrow Y$（共通結果＝コライダー）：$X,Y$ は無条件では独立。ところが $Z$（やその子孫）を条件づけると相関が生まれる。ここが直感に反する最重要点です。

3. d分離の規則

経路上のある中継点を考えます。条件づける集合を $Z$ とします。

• 鎖・分岐の中継点が $Z$ に入っていれば、その経路は閉じる（遮断）。
• 合流点は、それ自身もその子孫も $Z$ に入っていなければ閉じている。逆に合流点（または子孫）を $Z$ に入れると開く。

経路は、上のいずれかで1か所でも閉じれば全体が閉。すべての経路が閉なら、$X$ と $Y$ は $Z$ によって d分離（d-separated） され、次の条件付き独立が DAG から導かれます。

つまり「グラフ上の d 分離」→「分布上の条件付き独立」。これでデータを見る前に独立関係を予言できます。

4. 擬似データで d分離の予言を確かめる

3構造それぞれからデータを生成し、無条件の相関 $r(X,Y)$ と $Z$ を条件づけた偏相関 $r(X,Y\mid Z)$ を測ります。偏相関は「$Z$ で回帰した残差同士の相関」で計算します。

import numpy as np
import pandas as pd

# === 鎖・分岐・合流点のデータを作り、d分離の予言（独立/従属）を数値で確かめる ===
rng = np.random.default_rng(1)
n = 50000


def partial_corr(a, b, given):
    # given で線形回帰した残差同士の相関 ＝ given を条件づけた偏相関
    design = np.column_stack([np.ones_like(given), given])
    coef_a, _, _, _ = np.linalg.lstsq(design, a, rcond=None)
    coef_b, _, _, _ = np.linalg.lstsq(design, b, rcond=None)
    resid_a = a - design @ coef_a
    resid_b = b - design @ coef_b
    return np.corrcoef(resid_a, resid_b)[0, 1]


# --- 鎖 X→Z→Y ---
X_chain = rng.normal(0, 1, n)
Z_chain = 1.0 * X_chain + rng.normal(0, 1, n)
Y_chain = 1.0 * Z_chain + rng.normal(0, 1, n)

# --- 分岐 X←Z→Y（Z は共通原因） ---
Z_fork = rng.normal(0, 1, n)
X_fork = 1.0 * Z_fork + rng.normal(0, 1, n)
Y_fork = 1.0 * Z_fork + rng.normal(0, 1, n)

# --- 合流点 X→Z←Y（Z は共通結果） ---
X_coll = rng.normal(0, 1, n)
Y_coll = rng.normal(0, 1, n)
Z_coll = 1.0 * X_coll + 1.0 * Y_coll + rng.normal(0, 1, n)

rows = [
    ["鎖 X→Z→Y",   np.corrcoef(X_chain, Y_chain)[0, 1], partial_corr(X_chain, Y_chain, Z_chain)],
    ["分岐 X←Z→Y", np.corrcoef(X_fork,  Y_fork)[0, 1],  partial_corr(X_fork,  Y_fork,  Z_fork)],
    ["合流 X→Z←Y", np.corrcoef(X_coll,  Y_coll)[0, 1],  partial_corr(X_coll,  Y_coll,  Z_coll)],
]
result = pd.DataFrame(rows, columns=["構造", "相関 r(X,Y)", "偏相関 r(X,Y | Z)"])
print(result.round(3).to_string(index=False))

出力：

      構造  相関 r(X,Y)  偏相関 r(X,Y | Z)
 鎖 X→Z→Y      0.580          -0.001
分岐 X←Z→Y      0.498          -0.000
合流 X→Z←Y     -0.001          -0.498

出力の意味：d分離の予言と完全に一致します。

• 鎖：無条件では相関 $0.580$（$X$ の影響が $Z$ 経由で $Y$ に届く）。$Z$ を条件づけると偏相関 $\approx 0$ で独立——経路が遮断された。
• 分岐：無条件では相関 $0.498$（共通原因 $Z$ による見せかけ）。$Z$ を条件づけると $\approx 0$ で独立——交絡を揃えると相関が消える。これが 相関と因果の違い の層別が効いた理由です。
• 合流点：無条件では相関 $\approx 0$（$X,Y$ は独立に生成）。ところが $Z$ を条件づけると偏相関 $-0.498$ と、条件づけたことで相関が生まれた。しかも符号は負。これがコライダー・バイアスです。

なぜコライダーで相関が生まれるのか。$Z=X+Y+\text{noise}$ なので、$Z$ をある値に固定すると「$X$ が大きければ $Y$ は小さいはず（足して $Z$ になるから）」という負の関係が強制されます。共通結果を観測して揃えると、無関係だった原因同士が結びつく——選択バイアスやサンプリングの落とし穴の正体です（第7章「感度分析と落とし穴」で深掘り）。

5. 仮定の直観的意味：なぜグラフが独立を予言できるのか

DAG は「各変数は親で決まる」という因果マルコフ条件を仮定します。これにより同時分布が

と親 $\text{pa}(V_i)$ への条件付き分布の積に分解されます。d分離は、この分解から導かれるすべての条件付き独立を、矢印の形だけから読み取るアルゴリズムです。だから「データを見る前に」独立関係が分かり、逆に「どの変数を条件づければ余計な経路を閉じられるか」が決まります。次ノートのバックドア基準は、この d分離を「交絡を消す調整集合の選び方」に翻訳したものです（バックドア基準と識別）。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

• 「条件づければ常に相関が減る」ではない。合流点（やその子孫）を条件づけると相関は増える（生まれる）。調整は万能ではなく、合流点を調整すると害になります（バックドア基準と識別 の過剰調整）。
• 媒介変数（鎖の中継点）を調整すると効果が消える。$X\to Z\to Y$ の $Z$ を条件づけると、$X$ から $Y$ への本当の効果まで遮断してしまいます。交絡（分岐）は調整すべきですが、媒介（鎖）は総合効果を見たいなら調整してはいけません。
• コライダーは「子孫」を条件づけても開く。合流点そのものでなくても、その下流の変数（例：合流点を使った選抜・欠測の有無）で条件づけると同じ相関が生まれます。サンプル選択そのものが条件づけになっている点に注意（第7章「感度分析と落とし穴」）。
• DAG は仮定であってデータから自動で出てこない。矢印の向きは分野知識で入れます。観測データだけからは向きを完全に決められない構造もあります（第8章「因果探索」）。

関連ノート

• 第1章 因果推論の枠組み 目次
• 相関と因果の違い（前提・交絡＝分岐の具体例）
• バックドア基準と識別（次のトピック・d分離を調整集合に翻訳）
• 潜在結果モデル（潜在結果とDAGの対応）
• 条件付き確率・独立性・全確率の定理（統計・条件付き独立の定義）
• 構造方程式モデル・パス解析（統計・パス図と構造方程式）
• 因果推論テキスト 全体目次