グリークス｜金融工学

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：ブラックショールズ公式と解釈　|　関連：BS方程式の導出（デルタヘッジ）

要点（BLUF）

グリークスはオプション価格の感応度（偏微分）です。デルタ $\partial C/\partial S$ 、ガンマ $\partial^2 C/\partial S^2$ 、ベガ $\partial C/\partial\sigma$ 、セータ $\partial C/\partial t$ 、ロー $\partial C/\partial r$ 。
使い分け：デルタ＝ヘッジに必要な株数、ガンマ＝デルタの動きやすさ（再ヘッジ頻度）、ベガ＝ボラ感応、セータ＝時間減衰、ロー＝金利感応。
解析式は数値微分（差分）と一致します。デルタは ATM 付近で急に立ち上がり、ガンマは ATM で最大——ここがヘッジが最も難しい場所です。

1. グリークスとは

オプション価格は $S, \sigma, t, r$ など複数の入力で動きます。それぞれに対する感応度（偏微分）がグリークスで、リスク管理の言語です。「いま株が動いたら／ボラが動いたら／1日経ったら、ポジションの価値はどう変わるか」を1つずつ数値化します。

2. 各グリークスの式と意味（コール）

$N(\cdot)$ を標準正規 CDF、 $N'(\cdot)$ をその密度として、

\Delta = N(d_1), \qquad \Gamma = \frac{N'(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}}, \qquad \mathcal{V} = S\,N'(d_1)\sqrt{T}

\Theta = -\frac{S\,N'(d_1)\,\sigma}{2\sqrt{T}} - rK e^{-rT}N(d_2), \qquad \rho = K T e^{-rT} N(d_2)

意味は次のとおり。

デルタ $\Delta$ ：株価が1動くと価格がいくら動くか。 $0\sim1$ （コール）。BS方程式の導出のヘッジ株数そのもの。
ガンマ $\Gamma$ ：デルタの変化率。大きいほど株価が動くたびにデルタが変わり、頻繁な再ヘッジが要ります。ATM・満期近くで最大。
ベガ $\mathcal{V}$ ：ボラが1（＝100%）動くと価格がいくら動くか。実務では1%あたりに直して $\mathcal{V}/100$ を使います。
セータ $\Theta$ ：時間が経つと価格がいくら減るか（時間減衰）。ふつう負。年あたりなので、1日あたりは $\Theta/365$ 。
ロー $\rho$ ：金利が1動くと価格がいくら動くか。1%あたりは $\rho/100$ 。

3. 解析式と数値微分の一致

解析式が正しいか、価格関数を直接差分して検算します（偏微分の定義に戻る）。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def bs_price(S, K, r, sigma, T, kind="call"):
    d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5*sigma**2)*T)/(sigma*np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
    if kind == "call":
        return S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)
    return K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S*norm.cdf(-d1)

def bs_greeks_call(S, K, r, sigma, T):
    d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5*sigma**2)*T)/(sigma*np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
    delta = norm.cdf(d1)
    gamma = norm.pdf(d1)/(S*sigma*np.sqrt(T))
    vega = S*norm.pdf(d1)*np.sqrt(T)
    theta = -(S*norm.pdf(d1)*sigma)/(2*np.sqrt(T)) - r*K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)
    rho = K*T*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)
    return delta, gamma, vega, theta, rho

S, K, r, sigma, T = 100.0, 100.0, 0.05, 0.2, 1.0
delta, gamma, vega, theta, rho = bs_greeks_call(S, K, r, sigma, T)

h = 1e-4   # 数値微分（中心差分）で検算
delta_fd = (bs_price(S+h, K, r, sigma, T) - bs_price(S-h, K, r, sigma, T))/(2*h)
gamma_fd = (bs_price(S+h, K, r, sigma, T) - 2*bs_price(S, K, r, sigma, T)
            + bs_price(S-h, K, r, sigma, T))/h**2
vega_fd = (bs_price(S, K, r, sigma+h, T) - bs_price(S, K, r, sigma-h, T))/(2*h)
theta_fd = -(bs_price(S, K, r, sigma, T) - bs_price(S, K, r, sigma, T-h))/h
rho_fd = (bs_price(S, K, r+h, sigma, T) - bs_price(S, K, r-h, sigma, T))/(2*h)

print(f"デルタ Δ : 解析 {delta:.5f} / 数値 {delta_fd:.5f}")
print(f"ガンマ Γ : 解析 {gamma:.5f} / 数値 {gamma_fd:.5f}")
print(f"ベガ  ν : 解析 {vega:.5f} / 数値 {vega_fd:.5f}")
print(f"セータθ : 解析 {theta:.5f} / 数値 {theta_fd:.5f}")
print(f"ロー  ρ : 解析 {rho:.5f} / 数値 {rho_fd:.5f}")

出力：

デルタ Δ : 解析 0.63683 / 数値 0.63683
ガンマ Γ : 解析 0.01876 / 数値 0.01876
ベガ  ν : 解析 37.52403 / 数値 37.52403
セータθ : 解析 -6.41403 / 数値 -6.41413
ロー  ρ : 解析 53.23248 / 数値 53.23248

出力の意味：解析式と数値微分が小数4桁まで一致し、グリークスの式が正しいことを確認できました（セータの僅差は片側差分の誤差）。読み方の例：デルタ 0.637 は「株が1上がるとコールは約 0.64 上がる」。ベガ 37.52 は「ボラが100%上がると37.52上がる」＝1%あたり 0.375。セータ $-6.41$ /年は「1日あたり約 $-0.018$ の時間減衰」。ロー 53.23 は「金利が1%上がると約 0.53 上がる」。価格1つでは見えないリスクを、グリークスは方向ごとに分解します。

4. デルタとガンマの形

デルタとガンマが株価とともにどう変わるかを見ると、ヘッジの難所が分かります。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
from scipy.stats import norm

K, r, sigma, T = 100.0, 0.05, 0.2, 1.0
S = np.linspace(60, 140, 200)
d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5*sigma**2)*T)/(sigma*np.sqrt(T))
delta = norm.cdf(d1)
gamma = norm.pdf(d1)/(S*sigma*np.sqrt(T))

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4))
ax[0].plot(S, delta); ax[0].axvline(K, color="gray", ls=":")
ax[0].set_title("デルタ（株価感応度）"); ax[0].set_xlabel("株価 S"); ax[0].set_ylabel("Δ")
ax[1].plot(S, gamma, color="crimson"); ax[1].axvline(K, color="gray", ls=":")
ax[1].set_title("ガンマ（デルタの変化率）"); ax[1].set_xlabel("株価 S"); ax[1].set_ylabel("Γ")
plt.tight_layout(); plt.show()

出力の意味：デルタは深い OTM で0、深い ITM で1に近づき、ATM（ $S=K=100$ ）付近で急に立ち上がる S 字。ガンマはその傾きなので、ATM で鋭いピークを持ちます。ガンマが大きいほどデルタが激しく動くので、ATM・満期間際のオプションは再ヘッジが頻繁に必要で、取引コストもかさみます。BS方程式の導出でデルタヘッジ後にわずかに残ったリスクは、このガンマが正体——1日の株価変動でデルタがずれるぶんです。オプションの売り手は「セータで稼ぎ、ガンマで損する」構図になります。

⚠️ よくある誤解

グリークスの単位に注意：ベガ・ローは「1.0（＝100%）変化あたり」、セータは「1年あたり」が素の定義です。実務では1%あたり・1日あたりに直して使うので、桁を取り違えないこと。
デルタは「行使確率」ではない：デルタ $N(d_1)$ と行使確率 $N(d_2)$ は別物（ $d_1>d_2$ なのでデルタの方が大きい）。近い値ですが意味が違います。
ガンマとセータは表裏：BS 方程式 $\Theta + \tfrac12\sigma^2 S^2\Gamma + rS\Delta - rV = 0$ が示すように、大きな正のガンマは大きな負のセータと釣り合います。「変動から得る利益（ガンマ）」と「時間で失う価値（セータ）」は同じコインの裏表です。