有限差分法｜金融工学

🎓 レベル：発展　|　重要度：B（標準）

📎 前提：BS方程式の導出　|　関連：二項木の実装

要点（BLUF）

有限差分法は、ブラック–ショールズ偏微分方程式を株価×時間の格子で離散化し、満期（境界条件）から後ろ向きに解きます。
陽解法は、各格子点の値を隣接3点の重み付き和で更新するだけ。実装は簡単ですが、安定条件（時間刻みを十分小さく）を満たさないと発散します。
厳密解とよく一致し、格子からデルタ・ガンマも直接読めます。複雑な境界条件（バリア・アメリカン）にも組み込みやすいのが長所。

1. ブラック–ショールズ方程式を格子で解く

\frac{\partial V}{\partial t} + \tfrac12\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0

を、 $S$ 方向に $S_i = i\,\Delta S$ （ $i=0,\dots,N_S$ ）、時間方向に刻んで離散化します。満期 $t=T$ ではペイオフが分かっている（ $V(S,T)=\max(S-K,0)$ ）ので、そこを出発点に時間をさかのぼって現在 $t=0$ の価格を求めます。これは熱伝導方程式と同じ後ろ向き拡散の構造です。

2. 陽解法の更新式

微分を差分に置き換えます。 $\partial V/\partial t$ を前進差分、 $\partial V/\partial S$ を中心差分、 $\partial^2 V/\partial S^2$ を2次中心差分にすると、各点の現在値が「1つ未来の時間ステップの隣接3点」で書けます。 $S_i=i\Delta S$ を使うと $\Delta S$ が消え、係数は格子番号 $i$ だけで決まります。

V_i^{m} = a_i\,V_{i-1}^{m+1} + b_i\,V_i^{m+1} + c_i\,V_{i+1}^{m+1}

a_i = \tfrac12\Delta t\,(\sigma^2 i^2 - r i),\quad b_i = 1 - \Delta t\,(\sigma^2 i^2 + r),\quad c_i = \tfrac12\Delta t\,(\sigma^2 i^2 + r i)

境界は、コールなら下端 $V(0,t)=0$ 、上端 $V(S_{\max},t)=S_{\max}-Ke^{-r(T-t)}$ 。安定条件として $b_i\ge0$ 、つまり $\Delta t \le 1/(\sigma^2 N_S^2)$ 程度に時間刻みを小さく取る必要があります（これを破ると数値が爆発します）。

3. 実装と検証

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def bs_call(S, K, r, sigma, T):
    d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5*sigma**2)*T)/(sigma*np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
    return S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)

def fd_explicit_call(S0, K, r, sigma, T, Smax, NS, NT):
    dS = Smax/NS; dt = T/NT
    i = np.arange(NS+1)
    V = np.maximum(i*dS - K, 0.0)                # 満期ペイオフ（出発点）
    a = 0.5*dt*(sigma**2*i**2 - r*i)
    b = 1 - dt*(sigma**2*i**2 + r)
    c = 0.5*dt*(sigma**2*i**2 + r*i)
    for m in range(NT):                          # 時間を後ろ向きに進める
        Vnew = V.copy()
        Vnew[1:NS] = a[1:NS]*V[0:NS-1] + b[1:NS]*V[1:NS] + c[1:NS]*V[2:NS+1]
        tau = (m+1)*dt
        Vnew[0] = 0.0                            # 下端境界
        Vnew[NS] = Smax - K*np.exp(-r*tau)       # 上端境界
        V = Vnew
    return np.interp(S0, i*dS, V)                # S0 での価格を補間

S0, K, r, sigma, T = 100.0, 100.0, 0.05, 0.2, 1.0
# 安定条件：dt <= 1/(σ²·NS²)。NS=300 なら NT を大きく取る
price_fd = fd_explicit_call(S0, K, r, sigma, T, Smax=300, NS=300, NT=20000)
print(f"有限差分（陽解法）コール = {price_fd:.4f}")
print(f"BS厳密値                = {bs_call(S0, K, r, sigma, T):.4f}")

出力：

有限差分（陽解法）コール = 10.4482
BS厳密値                = 10.4506

出力の意味：格子で偏微分方程式を解いた価格 10.4482 は、BS 厳密値 10.4506 と小数2桁で一致します（差は格子の離散化誤差）。モンテカルロ（モンテカルロ法によるオプション価格）が乱数で期待値を近似したのに対し、有限差分は方程式そのものを解いています——確率的な誤差はなく、格子を細かくすれば決定論的に精度が上がります。おまけに、最終格子 V の隣接差分からデルタ（ $\partial V/\partial S$ ）やガンマ（ $\partial^2 V/\partial S^2$ ）も同時に読み取れます。

4. 長所・短所と陰解法

長所：方程式を直接解くので低次元（1〜2資産）では高精度・高速。境界条件が柔軟で、アメリカン型（各ステップで即時行使と比較）・バリアオプションを自然に扱えます。グリークスが格子から直接得られます。
短所：資産数が増えると格子の点数が指数的に増える（次元の呪い）。高次元ではモンテカルロに劣ります。陽解法は安定条件のため時間刻みを細かく取らねばならず、計算が増えます。
陰解法・クランク–ニコルソン：未来と現在を連立で解く陰解法は無条件安定で、大きな時間刻みが使えます。実装は連立一次方程式（三重対角）を各ステップで解くぶん複雑ですが、実務ではこちらが標準です（要最新確認）。

⚠️ よくある誤解

陽解法は安定条件を破ると爆発する： $\Delta t$ が大きすぎると $b_i<0$ となり、数値が振動して発散します。「細かくしたのに変な値」が出たら、まず時間刻みを疑います。
格子の上端 $S_{\max}$ は十分大きく：上端境界が現在価格 $S_0$ に近すぎると、境界の影響で価格が歪みます。 $S_{\max}$ は $S_0$ の3倍程度以上が目安です。
有限差分は高次元で破綻する：1〜2資産では強力ですが、5資産・10資産では格子が爆発します。そこはモンテカルロの独壇場——手法は問題の次元で使い分けます。