リテンションとチャーン｜マーケティングサイエンス

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 関連：コホート分析　|　前提：顧客生涯価値（LTV）

要点（BLUF）

リテンション率（継続率） $r$ は「次の期も取引を続ける確率」、チャーン率（解約率） $c$ は「抜ける確率」で、同じ期間なら $c = 1 - r$ 。期間を揃えないと取り違えます。
生存関数 $S(t)=\prod_{k=1}^{t} r_k$ （獲得時 $S(0)=1$ ）から、期待生涯は $\sum_{t=0}^{\infty} S(t)$ 。継続率一定なら $1/(1-r)$ で、顧客生涯価値（LTV）の前提そのものです。
現実の継続率は一定ではなく、集団で観測すると時間とともに上昇します。個々の churn が一定でも、高 churn 層が先に抜けて生き残りが低 churn 層に偏る（生存者バイアス）ためです。一定 churn とみなすと生涯を大きく誤ります。

1. リテンションとチャーン：定義を揃える

リテンション率（継続率） $r$ は、ある期に取引していた顧客が次の期も続ける確率です。チャーン率（解約率） $c$ はその逆で、抜ける確率。同じ期間で定義すれば、両者は表裏一体です。

c = 1 - r

ここで肝心なのは「同じ期間」で揃えること。月次の継続率と年次のチャーン率を引き算しても意味がありません（月次 churn 5% は年次では $1-0.95^{12}\approx 46\%$ ）。

獲得直後を第0期として、顧客が第 $t$ 期まで生き残っている確率を生存関数 $S(t)$ と呼びます。各期の継続率 $r_k$ を掛け合わせたものです。

S(t) = \prod_{k=1}^{t} r_k, \qquad S(0) = 1

顧客生涯価値（LTV）で使った「期待継続期間」は、この生存関数を足し上げたものでした（獲得した第0期から数えます）。

\text{期待生涯} = \sum_{t=0}^{\infty} S(t)

継続率が一定 $r_k = r$ なら $S(t) = r^t$ となり、 $\sum_{t=0}^{\infty} r^t = 1/(1-r)$ 。これが 02-01 の $1/(1-r)$ の正体です。問題は「継続率一定」が現実には成り立たないこと——次節でその理由を見ます。

2. なぜ継続率は一定でないのか：顧客の異質性

実データのリテンション率は、たいてい時間とともに上昇します（リテンション曲線が寝てくる、逓減がゆるくなる）。これは「だんだん顧客が定着した」とは限りません。顧客の異質性（heterogeneity）＝ churn の高い人と低い人が混在しているだけで、自然に起きます。

直感はこうです。獲得した集団に、すぐ離れる気まぐれ層（高 churn）と、長く続く忠実層（低 churn）が混ざっているとします。時間が経つと、高 churn の気まぐれ層は先にごっそり抜け、残るのは低 churn の忠実層に偏っていきます。すると、生き残った集団で測ったリテンション率は、忠実層の高い継続率へと近づいていく——これが生存者バイアスです。個々人の churn は一定でも、集団の観測値は上昇します。

flowchart TD
  Start["獲得時：忠実層60% ＋ 気まぐれ層40%"] --> T1["時間が経つ"]
  T1 --> Leave["気まぐれ層（高churn）が先に抜ける"]
  T1 --> Stay["忠実層（低churn）が生き残る"]
  Leave --> Mix["生存者は低churn層に偏る"]
  Stay --> Mix
  Mix --> Rise["集団の観測リテンション率は上昇（曲線が寝る）"]

これは顧客生涯価値（LTV）の「継続率一定」仮定の限界そのものです。観測された初期リテンションをそのまま一定とみなすと、生涯を大きく見誤ります。次節で数値にして確かめます。

3. 2セグメント混合で確かめる（コード）

概念：忠実層 A と気まぐれ層 B の2セグメント混合を考えます。各セグメントの churn は一定ですが、混ざると集団リテンションは一定になりません。

数式：重み $w_A, w_B$ （ $w_A+w_B=1$ ）、各セグメントの継続率 $r_A, r_B$ とすると、集団の生存関数は2つの幾何級数の重み付き和です。

S(t) = w_A\, r_A^{\,t} + w_B\, r_B^{\,t}

年齢 $t$ の集団で観測されるリテンション率は、隣り合う生存確率の比です。

\hat r(t) = \frac{S(t+1)}{S(t)}

$t\to\infty$ では高 churn 層 B が消え、 $\hat r(t)$ は忠実層の $r_A$ へ近づきます。一方、真の期待生涯はセグメントごとの $1/(1-r)$ を重みで足したものです。

\sum_{t=0}^{\infty} S(t) = \frac{w_A}{1-r_A} + \frac{w_B}{1-r_B}

次のコードで、 $w_A=0.6,\ r_A=0.95$ 、 $w_B=0.4,\ r_B=0.60$ として、観測リテンション率の表・真の期待生涯・素朴推定を出します。

import numpy as np
import pandas as pd

# 2セグメント混合：忠実層A（継続率0.95）と気まぐれ層B（継続率0.60）
w_A, r_A = 0.6, 0.95   # 忠実層：重み0.6、継続率0.95（churn 0.05）
w_B, r_B = 0.4, 0.60   # 気まぐれ層：重み0.4、継続率0.60（churn 0.40）

def S(t):
    """獲得時を母数とした年齢tの集団生存率 S(t)=w_A r_A^t + w_B r_B^t、S(0)=1"""
    return w_A * r_A**t + w_B * r_B**t

# age=0..9 で観測される集団リテンション率 = S(t+1)/S(t)
ages = np.arange(0, 10)
rows = []
for t in ages:
    rows.append({"年齢age": int(t),
                 "生存率S(t)": S(t),
                 "観測リテンション率": S(t + 1) / S(t)})
tbl = pd.DataFrame(rows)

print("=== 集団で観測されるリテンション率（年齢ageごと）===")
print(tbl.to_string(index=False, formatters={
    "生存率S(t)": "{:.4f}".format,
    "観測リテンション率": "{:.4f}".format}))

# 真の期待生涯 = Σ S(t) = w_A/(1-r_A) + w_B/(1-r_B)
true_life = w_A / (1 - r_A) + w_B / (1 - r_B)
T = 2000
life_num = np.sum(S(np.arange(T + 1)))   # 数値和でも確認

# 素朴推定：初期(age=0)の観測リテンション r0=0.81 を一定とみなす → 1/(1-r0)
r0 = S(1) / S(0)
naive_life = 1 / (1 - r0)

print(f"\n初期age=0の観測リテンション率 r0 = {r0:.4f}")
print(f"真の期待生涯 Σ S(t)（閉形式）  = {true_life:.4f} 期")
print(f"真の期待生涯 Σ S(t)（数値和）  = {life_num:.4f} 期")
print(f"素朴推定 1/(1-r0)（churn一定） = {naive_life:.4f} 期")
print(f"→ 一定churn仮定は期待生涯を {true_life - naive_life:.2f} 期ぶん過小評価")

出力：

=== 集団で観測されるリテンション率（年齢ageごと）===
 年齢age 生存率S(t) 観測リテンション率
     0  1.0000    0.8100
     1  0.8100    0.8463
     2  0.6855    0.8765
     3  0.6008    0.8997
     4  0.5405    0.9164
     5  0.4954    0.9280
     6  0.4597    0.9358
     7  0.4302    0.9409
     8  0.4048    0.9442
     9  0.3822    0.9463

初期age=0の観測リテンション率 r0 = 0.8100
真の期待生涯 Σ S(t)（閉形式）  = 13.0000 期
真の期待生涯 Σ S(t)（数値和）  = 13.0000 期
素朴推定 1/(1-r0)（churn一定） = 5.2632 期
→ 一定churn仮定は期待生涯を 7.74 期ぶん過小評価

出力の意味：観測リテンション率は、年齢0の 0.8100 から、年齢9で 0.9463 へと単調に上昇しています。施策で定着率が上がったわけではありません——コードの churn はセグメントごとに一定です。高 churn の気まぐれ層が先に抜け、生存者が忠実層（ $r_A=0.95$ ）へ偏るので、観測値が $r_A$ へ近づくだけ（生存者バイアス）。一方、真の期待生涯は 13.00 期（閉形式・数値和とも一致）。ところが、観測された初期リテンション 0.81 を「ずっと一定」とみなして $1/(1-0.81)$ で見積もると、わずか 5.26 期——真値を 7.74 期も過小評価します。02-01 の LTV はこの期待生涯に粗利 $m$ を掛けて出すので、生涯を半分以下に見誤れば LTV も半分以下に潰れる。「観測した1点のリテンションを一定とみなす」のは危険だと数字が示しています。

リテンション曲線が寝ていく様子と、生存が2層の和であることを図にすると、生存者バイアスの直感がつかめます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib  # noqa: F401  日本語ラベル

w_A, r_A = 0.6, 0.95
w_B, r_B = 0.4, 0.60

def S(t):
    return w_A * r_A**t + w_B * r_B**t

ages = np.arange(0, 13)
surv = S(ages)
comp_A = w_A * r_A**ages   # 忠実層の寄与
comp_B = w_B * r_B**ages   # 気まぐれ層の寄与
obs_ret = S(ages + 1) / S(ages)   # 各ageで観測される集団リテンション率

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4.2))

# 左：集団生存 S(t) を2セグメントに分解
ax1.plot(ages, surv, "o-", color="black", label="集団生存 S(t)")
ax1.plot(ages, comp_A, "s--", color="tab:blue", label="忠実層の寄与 0.6·0.95^t")
ax1.plot(ages, comp_B, "^--", color="tab:red", label="気まぐれ層の寄与 0.4·0.60^t")
ax1.set_xlabel("年齢 age（経過期間）")
ax1.set_ylabel("生存率")
ax1.set_title("生存は2層の和：気まぐれ層が先に消える")
ax1.legend()
ax1.grid(alpha=0.3)

# 右：観測される集団リテンション率は上昇していく
ax2.plot(ages, obs_ret, "o-", color="tab:green", label="観測リテンション率 S(t+1)/S(t)")
ax2.axhline(r_A, ls=":", color="tab:blue", label=f"忠実層の継続率 {r_A}")
ax2.axhline(obs_ret[0], ls=":", color="gray", label=f"初期リテンション {obs_ret[0]:.2f}（素朴に一定とみなす）")
ax2.set_xlabel("年齢 age（経過期間）")
ax2.set_ylabel("観測リテンション率")
ax2.set_title("生存者バイアスでリテンション率は上昇")
ax2.set_ylim(0.5, 1.0)
ax2.legend()
ax2.grid(alpha=0.3)

fig.tight_layout()
plt.show()

左図は、集団生存 $S(t)$ が忠実層（青）と気まぐれ層（赤）の和であること、そして気まぐれ層が早々にゼロへ消えることを示します。右図は、観測リテンション率が初期 0.81 から忠実層の 0.95 へ向かって寝ていく様子。初期リテンション 0.81 を水平に伸ばす素朴な見方（灰点線）が、いかに集団の実態とズレるかが一目で分かります。

⚠️ よくある誤解

リテンションとチャーンの取り違え： $c = 1 - r$ は同じ期間で揃えたときだけ成り立ちます。月次継続率と年次チャーンを混ぜない。期間を変換するなら $S(t)=\prod r_k$ を経由します。
リテンション率の上昇＝施策の成功、とは限らない：本ノートのとおり、churn が一定でも**生存者バイアス（顧客の異質性）**だけで集団リテンションは上昇します。改善を主張するなら、同一コホートで時系列を追う（コホート分析）か、実験で因果を切り分けます。
一定 churn 仮定は LTV を誤る：初期リテンションを一定とみなすと、期待生涯（13 対 5.26）を通じて LTV を大きく外します。継続率は age とともに動くものとして、リテンション曲線で見ましょう。
churn 率は分母の取り方で変わる：期初顧客数を分母にするか、期中平均を分母にするか、新規を含めるか除くかで、同じ事象でもチャーン率の数字は動きます。社内・社外で比べるときは定義を明示すること。

要点（BLUF）

1. リテンションとチャーン：定義を揃える

2. なぜ継続率は一定でないのか：顧客の異質性

3. 2セグメント混合で確かめる（コード）

⚠️ よくある誤解

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