残存効果（adstock）と飽和｜マーケティングサイエンス

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 関連：アトリビューション分析　|　前提：マーケティングミックスモデリング（MMM）

要点（BLUF）

広告効果には2つの非線形性があります。残存効果（adstock）＝時間的な繰越——今週の出稿は今週だけでなく翌週以降にも効きが残る。飽和（saturation）＝量的な頭打ち——出稿を増やすほど追加1単位の効きが鈍る（収穫逓減）。マーケティングミックスモデリング（MMM）の素の線形は、このどちらも無視していました。本ノートはこの2つを非線形変換として線形 MMM に組み込み、現実的にします。
幾何 adstock は $a_t = x_t + \lambda\,a_{t-1}$ （ $\lambda\in[0,1)$ ＝繰越率）。 $\lambda=0.5$ で、週2にだけ $100$ 出した単発パルス x=[0,0,100,0,0,0,0,0] は、adstock 系列 a=[0,0,100,50,25,12.5,6.25,3.125] という指数減衰の尾を引きます。出稿した週で効果が終わらず、後の週へ繰り越されるわけです。
飽和は Hill 関数 $f(x)=\dfrac{x^{\alpha}}{x^{\alpha}+\kappa^{\alpha}}$ （ $\alpha=2,\kappa=50$ ）。 $f(50)=0.5$ 、 $f(100)=0.8$ で、出稿を2倍（ $50\to100$ ）にしても応答は $1.6$ 倍（2倍未満）——収穫逓減です。実際に効果として使うのは合成 $f(\text{adstock}(x))$ 。これらを無視した線形 MMM は高出稿域を過大に外挿してしまい、予算配分は平均でなく**限界（追加1単位）**で考えるべきだ、というマーケティングミックスモデリング（MMM）の注意の数理的な裏付けになります。

1. 残存効果（adstock）と飽和：広告効果の時間と量の非線形性

マーケティングミックスモデリング（MMM）の線形 MMM は、売上を各チャネルの出稿額に比例させていました（係数 $\beta_k$ 倍）。これは2つの意味で単純すぎます。

第一に、広告は打った瞬間に効いて、その週で消えるわけではありません。今週見た CM は、来週・再来週の購買にも影を落とします。この時間的な繰越を**残存効果（adstock／carryover）**と呼びます。テレビやブランド広告は尾が長く（ゆっくり減衰）、検索広告は尾が短い（すぐ減衰）、というように繰越の強さはチャネルごとに違います。

第二に、出稿は増やすほど効きが鈍ります。視聴者の上限・広告疲れ・刈り取り尽くしで、 $2$ 倍出しても売上は $2$ 倍にならない。この量的な頭打ちが飽和（saturation）＝収穫逓減です。線形のまま「もっと出せば比例で伸びる」と外挿すると、過大な期待で予算を盛りすぎます。

flowchart LR
  X["出稿 x_t（毎週の額）"] --> AD["adstock：時間で繰り越す（尾を引く）"]
  AD --> SAT["飽和：量で頭打ち（収穫逓減）"]
  SAT --> EFF["広告の効果（売上への寄与）"]
  EFF --> MMM["線形MMMの回帰に入れる（04-02の拡張）"]

ポイントは、この2つは別方向の非線形性だということです。adstock は時間方向（いつ効くか）、飽和は量方向（どれだけ出すと頭打ちか）。順番に通すパイプライン——まず出稿を時間で繰り越し（adstock）、その繰越済みの量を飽和に通す——として MMM に入れます。

2. 数式：幾何 adstock と Hill 飽和、その合成

幾何 adstock は、今週の出稿に「先週までの繰越」を一定割合 $\lambda$ で足します。

a_t = x_t + \lambda\,a_{t-1}, \qquad \lambda \in [0,1)

$\lambda$ が繰越率で、 $\lambda=0$ なら繰越なし（ $a_t=x_t$ 、線形 MMM そのもの）、 $\lambda$ が $1$ に近いほど尾が長く残ります。この漸化式を展開すると、過去の出稿に幾何級数の重みがかかった形になります。

a_t = \sum_{k=0}^{\infty} \lambda^{k}\,x_{t-k}

つまり $k$ 週前の出稿は $\lambda^{k}$ 倍だけ今週に効く—— $\lambda=0.5$ なら $1,\,0.5,\,0.25,\dots$ と半減していく尾です。単発で $100$ を1回だけ出すと、その後の週に $50,25,12.5,\dots$ と繰り越されるのはこのためです。

飽和は Hill 関数で表します。

f(x) = \frac{x^{\alpha}}{x^{\alpha} + \kappa^{\alpha}}

$\kappa$ （カッパ）は半飽和点： $f(\kappa)=\dfrac{\kappa^\alpha}{2\kappa^\alpha}=0.5$ 。応答が上限の半分に達する出稿量です。
$\alpha$ （アルファ）は形状（急峻さ）。 $\alpha>1$ だと S 字——出稿が小さいうちは立ち上がりが鈍く（変曲点 $x=\kappa\sqrt[\alpha]{(\alpha-1)/(\alpha+1)}$ まで増加的）、中盤で急、高出稿で寝る、の3局面になります。 $\alpha\le1$ なら原点から純粋に逓減する凹型です。応答は必ず $0$ から $1$ の間に収まり、いくら出しても $1$ を超えない——この上限が「頭打ち」を表現します。（飽和は指数型 $1-e^{-x/\theta}$ で表すこともあります。）

実際に MMM で使う広告効果は、この2つを順に通した合成です。出稿を時間で繰り越してから、その量を飽和に通します。

\text{効果}_t = f\big(a_t\big) = f\big(\text{adstock}(x)_t\big)

マーケティングミックスモデリング（MMM）の線形 $\beta_k X_{kt}$ を、この $\beta_k\, f_k(\text{adstock}_k(X_{kt}))$ に置き換えるのが、現実的な MMM への拡張です。係数 $\beta_k$ に加え、繰越率 $\lambda_k$ と飽和の $\alpha_k,\kappa_k$ もデータから推定するパラメータが増えます（推定の方法論は統計・ベイズの領域）。

3. adstock・飽和・合成を実装する（コード）

3つを順に確かめます。(a) 幾何 adstock を単発パルスに適用して尾を見る、(b) Hill 飽和で出稿を増やしたときの限界応答が寝ることを表で見る、(c) 合成 $f(\text{adstock}(x))$ を計算する、の順です。

import numpy as np

# (a) 幾何 adstock：a_t = x_t + λ a_{t-1}。λ=0.5、週2に100の単発出稿（パルス）。
def adstock(x, lam):
    a = np.zeros_like(x, dtype=float)
    prev = 0.0
    for t in range(len(x)):
        a[t] = x[t] + lam * prev
        prev = a[t]
    return a

x = np.array([0, 0, 100, 0, 0, 0, 0, 0], dtype=float)
a = adstock(x, lam=0.5)

print("=== (a) adstock：単発出稿の効果が指数減衰の尾を引く（λ=0.5）===")
print("出稿   x =", x.tolist())
print("adstock a =", a.tolist())
print("→ 週2に出した100が、翌週50・25・12.5…と繰り越して効き続ける")

# (b) Hill 飽和：f(x) = x^α / (x^α + κ^α)。α=2, κ=50。
def hill(x, alpha, kappa):
    x = np.asarray(x, dtype=float)
    return x**alpha / (x**alpha + kappa**alpha)

alpha, kappa = 2.0, 50.0
spend = np.array([0, 25, 50, 100, 200], dtype=float)
resp = hill(spend, alpha, kappa)

dresp = np.diff(resp, prepend=0.0)            # 限界（前ステップとの差）
dspend = np.diff(spend, prepend=0.0)
per_unit = np.divide(dresp, dspend, out=np.zeros_like(dresp), where=dspend > 0)

print("\n=== (b) Hill 飽和：出稿を増やすほど限界が寝る（α=2, κ=50）===")
print(f"{'出稿':>6}{'飽和応答f':>12}{'限界Δf':>12}{'1単位あたり':>14}")
for s, r, d, pu in zip(spend, resp, dresp, per_unit):
    print(f"{s:6.0f}{r:12.4f}{d:12.4f}{pu:14.5f}")
print(f"変曲点 x = κ√((α-1)/(α+1)) = {kappa*np.sqrt((alpha-1)/(alpha+1)):.2f}")
print(f"f(50)={hill(50,alpha,kappa):.2f}, f(100)={hill(100,alpha,kappa):.2f}"
      f" → 出稿を2倍(50→100)にしても応答は {hill(100,alpha,kappa)/hill(50,alpha,kappa):.2f} 倍（2倍未満）")

# (c) 合成効果：飽和(adstock(x))。adstock の尾の各点をさらに Hill で飽和させる。
combined = hill(a, alpha, kappa)
print("\n=== (c) 合成効果 f(adstock(x))：繰越（時間）と飽和（量）を重ねる ===")
print("adstock a   =", np.round(a, 3).tolist())
print("合成 f(a)   =", np.round(combined, 4).tolist())
print("→ 出稿が当たる週2で応答0.8、以降は繰越の尾が飽和でさらに縮みながら減衰")

出力：

=== (a) adstock：単発出稿の効果が指数減衰の尾を引く（λ=0.5）===
出稿   x = [0.0, 0.0, 100.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0]
adstock a = [0.0, 0.0, 100.0, 50.0, 25.0, 12.5, 6.25, 3.125]
→ 週2に出した100が、翌週50・25・12.5…と繰り越して効き続ける

=== (b) Hill 飽和：出稿を増やすほど限界が寝る（α=2, κ=50）===
    出稿       飽和応答f        限界Δf        1単位あたり
     0      0.0000      0.0000       0.00000
    25      0.2000      0.2000       0.00800
    50      0.5000      0.3000       0.01200
   100      0.8000      0.3000       0.00600
   200      0.9412      0.1412       0.00141
変曲点 x = κ√((α-1)/(α+1)) = 28.87
f(50)=0.50, f(100)=0.80 → 出稿を2倍(50→100)にしても応答は 1.60 倍（2倍未満）

=== (c) 合成効果 f(adstock(x))：繰越（時間）と飽和（量）を重ねる ===
adstock a   = [0.0, 0.0, 100.0, 50.0, 25.0, 12.5, 6.25, 3.125]
合成 f(a)   = [0.0, 0.0, 0.8, 0.5, 0.2, 0.0588, 0.0154, 0.0039]
→ 出稿が当たる週2で応答0.8、以降は繰越の尾が飽和でさらに縮みながら減衰

出力の意味：(a) adstock は数式どおりの尾を作ります。週2に出した $100$ が、 $\lambda=0.5$ で翌週 $50$ 、その次 $25$ 、 $12.5$ 、 $6.25$ 、 $3.125$ と半減しながら繰り越されます——出稿はその週で終わらない。テレビ広告の「あとからじわじわ効く」を、たった1行 $a_t=x_t+\lambda a_{t-1}$ で表現できているわけです。

(b) 飽和は限界（追加1単位の効き）が寝ていくことを示します。注目は右端の「1単位あたり」列です。 $\alpha=2$ の Hill は S 字なので、出稿が小さい立ち上がり区間（変曲点 $28.87$ より下）では限界がむしろ増え（ $0\to25$ の $0.008$ より $25\to50$ の $0.012$ が大きい）、変曲点を越えると収穫逓減に入ります。実務で効くのはこの逓減で、 $25\to50\to100\to200$ と進むほど1単位あたりの効きは $0.012\to0.006\to0.0014$ と急速に寝ます。集約すると $f(50)=0.5,\ f(100)=0.8$ ——出稿を2倍にしても応答は $1.6$ 倍にしかなりません。線形ならここで $2.0$ 倍を期待してしまう。この差が、高出稿域での過大外挿の正体です。

(c) 合成 $f(\text{adstock}(x))$ は2つを重ねます。adstock の尾 [0,0,100,50,25,12.5,6.25,3.125] を Hill に通すと、効果は [0,0,0.8,0.5,0.2,0.0588,0.0154,0.0039]。出稿が当たる週2で応答 $0.8$ とピークを打ち、以降は繰越の尾が、飽和でさらに縮みながら減衰します。時間方向（adstock）と量方向（飽和）の非線形性が1本の効果系列に同居しているのが見て取れます。

左に adstock の減衰、右に飽和カーブを並べて、2つの非線形性を図にします。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib

def adstock(x, lam):
    a = np.zeros_like(x, dtype=float); prev = 0.0
    for t in range(len(x)):
        a[t] = x[t] + lam * prev; prev = a[t]
    return a
def hill(x, alpha, kappa):
    x = np.asarray(x, dtype=float)
    return x**alpha / (x**alpha + kappa**alpha)

x = np.array([0, 0, 100, 0, 0, 0, 0, 0], dtype=float)
a = adstock(x, 0.5)
alpha, kappa = 2.0, 50.0
weeks = np.arange(len(x))

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4.3))

# 左：adstock の減衰（出稿パルスと繰越の尾）
ax[0].bar(weeks, x, width=0.5, color="#cccccc", label="出稿 x（単発パルス）")
ax[0].plot(weeks, a, color="C3", marker="o", lw=1.8, label="adstock a（繰越）")
for t in range(2, len(x)):
    ax[0].annotate(f"{a[t]:g}", (weeks[t], a[t]), textcoords="offset points",
                   xytext=(0, 6), ha="center", fontsize=8, color="C3")
ax[0].set_xlabel("週"); ax[0].set_ylabel("出稿・adstock")
ax[0].set_title("adstock：単発出稿が繰り越して減衰（λ=0.5）")
ax[0].legend(loc="upper right", fontsize=9)

# 右：Hill 飽和カーブ（限界が寝る）
g = np.linspace(0, 250, 400)
ax[1].plot(g, hill(g, alpha, kappa), color="C0", lw=2, label="飽和応答 f（Hill）")
pts = np.array([0, 25, 50, 100, 200], dtype=float)
ax[1].plot(pts, hill(pts, alpha, kappa), "o", color="C1", ms=7, label="出稿点")
ax[1].axvline(kappa, color="gray", ls=":", lw=1)
ax[1].text(kappa + 3, 0.06, "κ=50で f=0.5", color="gray", fontsize=9)
ax[1].annotate("ここで限界が寝る\n（追加1単位の効きが逓減）",
               xy=(200, hill(200, alpha, kappa)), xytext=(120, 0.55),
               arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="C3"), fontsize=9, color="C3")
ax[1].set_xlabel("出稿（量）"); ax[1].set_ylabel("飽和応答 f（0〜1）")
ax[1].set_title("飽和（Hill, α=2）：収穫逓減で頭打ち")
ax[1].legend(loc="lower right", fontsize=9)

fig.tight_layout()
plt.show()

左の図は、灰色の単発パルス（週2の $100$ ）に対し、赤い線が $100\to50\to25\to12.5\dots$ と尾を引く——adstock が時間方向に効果を広げるさまです。右の図は Hill 飽和カーブで、出稿点（オレンジ）が右に行くほど曲線が寝て、追加出稿の見返り（傾き＝限界）が小さくなるのが分かります。 $\kappa=50$ で応答がちょうど半分（ $0.5$ ）に達する点も目印になります。

⚠️ よくある誤解

adstock・飽和を無視した線形 MMM は高出稿域を過大に外挿する：マーケティングミックスモデリング（MMM）の素の線形は「出稿1単位あたり $\beta_k$ 」が一定だと仮定します。しかし飽和があるなら、高出稿域では限界が寝る（本ノートで $50\to100\to200$ の1単位あたりが $0.012\to0.006\to0.0014$ ）。線形のまま予算を増やすと、実際には得られない比例の伸びを期待して盛りすぎます。04-02 で触れた「線形は過大外挿しうる」という注意の、これが数理的な裏付けです。
$\lambda,\alpha,\kappa$ はデータから推定すべきで、決め打ちではない：本ノートは説明のため $\lambda=0.5,\alpha=2,\kappa=50$ と固定しましたが、繰越率も飽和の形もチャネルごとに違い、本来はデータに当てて推定します（テレビは $\lambda$ 大・検索は小、など）。係数 $\beta$ に加えてこれらの非線形パラメータが増えるため、推定は素の線形回帰より難しく、事前情報を入れるベイズ MMM がよく使われます（推定論は統計・ベイズの教材へ）。
飽和があるので予算配分は「限界」で考える：チャネルの貢献額（平均）が大きくても、すでに飽和域に入っていれば追加1単位の見返りは小さいかもしれません。逆に出稿の薄いチャネルは限界がまだ高い余地があります。最適配分は平均貢献ではなく各チャネルの限界応答が揃うところ——つまり「次の1円をどこに置くと最も効くか」で決めます。予算最適化の定式化は第9章発展トピックで扱います。
繰越（adstock）と飽和は別物——混同しない：adstock は時間方向（今週の出稿が後の週にも効く）、飽和は量方向（同じ週に出しすぎると頭打ち）。片方だけ入れても不十分で、両方を順に通して初めて現実に近づきます。なお量方向の収穫逓減という意味では、飽和は需要曲線と価格弾力性の「価格を下げても需要の伸びが鈍る」逓減と同じ発想——反応が比例しないという市場反応の一般的な性質です。

要点（BLUF）

1. 残存効果（adstock）と飽和：広告効果の時間と量の非線形性

2. 数式：幾何 adstock と Hill 飽和、その合成

3. adstock・飽和・合成を実装する（コード）

⚠️ よくある誤解

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