モデリングの作法｜数理最適化

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🎓 レベル：基礎　|　重要度：A（必須）

📎 前提：最適化問題とは　|　関連：定式化の技法

要点（BLUF）

モデリングとは現実を 「決定変数 → 目的関数 → 制約」 の順に数式へ翻訳する作業。
手順は固定：何を決める？（変数）→ 何を最良にする？（目的）→ 何を守る？（制約）。
良いモデルの分かれ目は「変数の定義が一意か」「できるだけ線形に保てるか」。

概念 ── 翻訳の3ステップ

最適化を解く前に、問題を数式にしなければならない。ここで失敗すると、どんな高性能ソルバーも無意味。翻訳は必ず次の順序で行う。

決定変数：こちらが「決められる量」は何か。単位・範囲・連続/整数を明示する。
目的関数：その変数の関数として「最良の物差し」を1つ書く。
制約：守るべき条件をすべて不等式・等式で書く（資源・需要・論理・非負）。

具体例 ── 2製品の生産計画

ある工場が製品 A・B を作る。利益は A が1個 40、B が1個 30。各製品は機械時間と材料を消費する。資源は限られている。利益最大の生産量は？

ステップ1：決定変数

x_A \ge 0,\quad x_B \ge 0 \quad (\text{製品 A・B の生産量、連続とする})

ステップ2：目的関数（利益最大化）

\max\ 40 x_A + 30 x_B

ステップ3：制約（機械時間 ≤ 120、材料 ≤ 100）

\begin{aligned} 2 x_A + 1 x_B &\le 120 \quad (\text{機械時間}) \\ 1 x_A + 1 x_B &\le 100 \quad (\text{材料}) \\ x_A,\, x_B &\ge 0 \end{aligned}

これで現実の言葉が完全に線形計画になった。実体は第2章線形計画の標準形と幾何で解く。

Pythonで解いて翻訳を確認

翻訳が正しいか、scipy.optimize.linprog で解いて確かめる。linprog は 最小化なので、利益最大化は符号反転して与える（最適化問題とはの変換）。

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

# linprog は最小化なので、利益最大化 max 40xA+30xB は -利益を最小化する
c = [-40, -30]            # 目的（符号反転）
A_ub = [[2, 1],           # 機械時間 2xA + 1xB <= 120
        [1, 1]]           # 材料     1xA + 1xB <= 100
b_ub = [120, 100]
bounds = [(0, None), (0, None)]  # xA, xB >= 0

res = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=bounds, method="highs")
xA, xB = res.x
print(f"最適生産量: xA={xA:.1f}, xB={xB:.1f}")
print(f"最大利益: {-res.fun:.1f}")  # 符号を戻す

実行結果：

最適生産量: xA=20.0, xB=80.0
最大利益: 3200.0

A を 20、B を 80 作ると利益 3200 が最大。検算：機械時間 $2\cdot20+80=120$ （ぴったり使い切り）、材料 $20+80=100$ （使い切り）。**両資源が制約として「効いている」**から、ここが頂点最適になっている（線形計画の標準形と幾何）。

良いモデルの作法

変数は一意に定義する：「 $x$ ＝生産量」では曖昧。「 $x_A$ ＝1日あたり製品 A の生産個数（連続）」のように単位・期間・型まで決める。
できるだけ線形に保つ：線形なら凸で扱いやすい（最適化問題の分類）。非線形項は線形化を検討（定式化の技法）。
スケールを揃える：係数が桁違いだと数値的に不安定。単位を調整する。
論理条件は変数で表す：「もし作るなら最低ロット」などは 0/1 変数とビッグM で（定式化の技法）。

数式の直観的意味

なぜ「変数 → 目的 → 制約」の順なのか。変数が決まらないと目的も制約も書けない（すべて変数の関数だから）。変数の 定義域（連続か整数か、範囲）が、そのまま問題クラス（最適化問題の分類）を決める。つまりモデリングの最初の一手（変数の選び方）が、解きやすさをほぼ決めてしまう。同じ現実でも、変数の取り方次第で線形にも非線形にもなる ── ここがモデラーの腕の見せ所。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

目的関数を2つ書かない。多目的なら重み付き和にするか、片方を制約に回す。素朴に「両方最大化」とは書けない。
非負制約を忘れない：生産量・在庫は $\ge 0$ 。これを落とすと負の生産という無意味解が出る。
暗黙の制約を見落とさない：整数性（人数は整数）、容量上限、需要下限など、現実の「当たり前」を式にする。
過剰に詳細化しない：解ければよい粒度に留める。変数が増えるほど解きにくくなる。