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🎓 第4章：分散減少法

第4章 分散減少法

モンテカルロの誤差は $\sigma/\sqrt{n}$（収束率と誤差（√n則））。$n$ を増やすのは力技で、100倍にして精度は10倍止まり。そこで収束の指数 $1/2$ は動かさず、係数 $\sigma$ そのものを下げるのが分散減少法です。本章では5つの王道——対照変量・制御変量・層化・重点サンプリング・準モンテカルロ——を、それぞれ「同じ計算量で分散が何倍下がるか」を実測しながら学びます。重点サンプリングは稀少事象（信頼性・稀少事象シミュレーション）への、準モンテカルロは決定的な敷き詰めへの橋渡しです。

トピック一覧

1. 対照変量法（アンチセティック） — 標準
2. 制御変量法 — 標準
3. 層化サンプリング — 標準
4. 重点サンプリング — 発展
5. 準モンテカルロ法 — 発展
6. 共通乱数法（CRN） — 標準

この章の要点

• 対照変量：$U$ と $1-U$ の負の相関を使い、ペアの平均で分散を相殺。実測で約32倍減。
• 制御変量：期待値が既知の相関変数で推定を補正。最適係数で約55倍減。
• 層化：定義域を小区間に分け各区間から均等に引く。区間内の変動だけ残るので約94倍減。
• 重点サンプリング：確率の高い／重要な領域を厚く引き、尤度比で補正。稀少事象 $P(Z>4)$ で標準誤差80倍改善。
• 準モンテカルロ：乱数の代わりに低食い違い列（Sobol）で一様に敷き詰め、収束を $1/\sqrt{n}$ より速く。
• 共通乱数法（CRN）：複数構成の比較で同じ乱数を共有し、差の分散を相殺。2系比較で約10倍減。

関連章

• 第3章 収束率と誤差（√n則） — なぜ $\sigma$ を下げたいか
• 第9章 信頼性・稀少事象シミュレーション — 重点サンプリングの本領
• 第6章 第6章 マルコフ連鎖モンテカルロ 目次 — 直接引けない分布への別アプローチ

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