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🎓 第6章：マルコフ連鎖モンテカルロ

第6章 マルコフ連鎖モンテカルロ

逆関数法・棄却法（第2章 乱数生成 目次）は「直接サンプルできる分布」が前提でした。しかし高次元・規格化定数が未知の分布（ベイズの事後分布が典型）からは直接引けません。そこで目的分布を定常分布に持つマルコフ連鎖を設計し、その連鎖を歩かせて得た状態列をサンプルとみなすのが MCMC です。本章では、なぜ連鎖が目的分布に収束するのか（定常分布・詳細釣り合い）、どう連鎖を作るか（メトロポリス・ギブス）、収束したとどう判断するか（診断）を扱います。MCMC の推論応用（事後分布の要約・予測）はベイズ統計の本拠なので、ここはサンプリング技法そのものと数値挙動に集中し、ベイズへ wikilink します。

トピック一覧

1. マルコフ連鎖と定常分布 — 標準
2. メトロポリス・ヘイスティングス法 — 発展
3. ギブスサンプリング — 発展
4. 収束診断と実装の注意 — 標準

この章の要点

• 定常分布：遷移を繰り返しても変わらない分布。既約・非周期な連鎖は唯一の定常分布へ収束する。
• メトロポリス・ヘイスティングス：提案と受理確率 $\min(1, \pi(x')q(x|x')/(\pi(x)q(x'|x)))$ で詳細釣り合いを満たし、$\pi$ を定常分布にする。規格化定数が不要。
• ギブス：各変数を条件付き分布から順に更新。受理率100%の特殊ケース。
• 収束診断：trace・自己相関・R-hat（Gelman–Rubin）・有効標本サイズ（ESS）。バーンイン除去と複数連鎖が基本。

関連章

• ベイズ：なぜサンプリングか・メトロポリスヘイスティングス・ギブスサンプリング・収束診断（推論応用の本拠）
• 第2章 棄却法（受理・棄却サンプリング） — 直接サンプリングの限界（MCMC の動機）
• 統計：確率過程・マルコフ連鎖の理論

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