📊 対象級：2級　|　重要度：B（標準）

一様分布（連続一様分布）

要点（BLUF）

連続一様分布 $U(a,b)$ は、区間 $[a,b]$ の中ならどこでも同じ確率密度をとる最も単純な連続分布。確率は「密度 × 幅＝面積」で読む。

期待値は区間の中点 $\frac{a+b}{2}$ 、分散は区間幅の2乗に比例して $\frac{(b-a)^2}{12}$ 。

$0$ から $1$ までの一様乱数は、逆関数法によって他のあらゆる分布の乱数を作る「種」になる。

\boxed{\,f(x)=\dfrac{1}{b-a}\ \ (a\le x\le b),\qquad E[X]=\dfrac{a+b}{2},\qquad V[X]=\dfrac{(b-a)^2}{12}\,}

1. 概念：区間内なら「どこも同じ起こりやすさ」

連続一様分布とは、ある区間 $[a,b]$ の中であれば、どの値も同じ「起こりやすさ」を持つ連続型の確率分布です。確率変数 $X$ がこの分布に従うことを $X \sim U(a,b)$ と書きます。

イメージは「長さ $b-a$ の棒の上に、絵の具を一様にベタ塗りした」状態です。棒のどこを切り取っても、同じ厚さで絵の具が乗っています。この「厚さ」が確率密度であり、区間内でずっと一定の高さになります。

具体例：

バスが10分間隔で来るバス停に、時刻を気にせずランダムに着いたときの「待ち時間」は、おおよそ $U(0,10)$ （単位：分）。
時計の秒針が止まった瞬間の角度は、 $U(0,360)$ （単位：度）とみなせる。
コンピュータが生成する「乱数」の基本形は $U(0,1)$ 。

2. 定式化：PDFとCDF

確率密度関数（PDF）

連続一様分布の確率密度関数（PDF）は、区間内で一定値、区間外でゼロです。

f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & (a \le x \le b)\\[2mm] 0 & (\text{それ以外}) \end{cases}

高さが $\frac{1}{b-a}$ なのは偶然ではありません。確率密度関数は全区間で積分すると必ず $1$ になるという大原則（全確率＝1）から決まります。底辺 $b-a$ × 高さ $h$ の長方形の面積が $1$ になるには、 $h=\frac{1}{b-a}$ でなければならないからです。

要するに：高さ $\frac{1}{b-a}$ は「面積を1にするための辻褄合わせ」で自動的に決まる値であって、覚える前に作れる値です。

累積分布関数（CDF）

累積分布関数（CDF） $F(x)=P(X \le x)$ は、密度を $a$ から $x$ まで積分した「左からの面積」です。

F(x)= \begin{cases} 0 & (x < a)\\[1mm] \dfrac{x-a}{b-a} & (a \le x \le b)\\[1mm] 1 & (x > b) \end{cases}

区間内では $F(x)=\frac{x-a}{b-a}$ という**1次関数（直線）**になります。これは「左端 $a$ からどれだけ進んだか」を「区間全体の幅」で割った割合そのものです。

要するに：連続一様分布の確率は、面積を計算するまでもなく「区間に占める割合」で読める。 $P(X \le x)$ は単に「 $a$ から $x$ までが全体の何割か」。

PDFとCDFの形（イメージ）

一様分布U(2,8)のPDF（長方形）とCDF（直線ランプ）。確率は面積に対応

左：PDFは区間[2,8]で一定値1/(b-a)の長方形（塗った区間[4,6]の面積が確率）。右：CDFは区間内を一定の傾きで0→1へ。図は simulations/ichiyou_bunpu_keijou.py で生成。

PDFは「区間内で一定高さの長方形」、CDFは「区間内で一直線に立ち上がる傾斜」になります。

xychart-beta
    title "連続一様分布 U(2,6) の PDF（確率密度関数）"
    x-axis "x" 0 --> 8
    y-axis "密度 f(x)" 0 --> 0.4
    line [0, 0, 0.25, 0.25, 0.25, 0.25, 0.25, 0, 0]

xychart-beta
    title "連続一様分布 U(2,6) の CDF（累積分布関数）"
    x-axis "x" 0 --> 8
    y-axis "確率 F(x)" 0 --> 1
    line [0, 0, 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1, 1]

上の2図は $a=2,\ b=6$ （幅 $4$ ）の場合です。PDFは区間 $[2,6]$ で高さ $\frac{1}{6-2}=0.25$ の平らな台、CDFは $x=2$ から $x=6$ にかけて $0$ から $1$ へまっすぐ登る直線になります。

3. 確率の計算：確率＝面積（＝幅の割合）

連続一様分布で「 $X$ がある区間 $[c,d]$ に入る確率」は、その区間の長方形の面積です。高さが一定 $\frac{1}{b-a}$ なので、面積は単純に「幅 × 高さ」になります。

P(c \le X \le d) = (d-c)\cdot \dfrac{1}{b-a} = \dfrac{d-c}{b-a}\qquad (a\le c \le d \le b)

要するに：確率は「知りたい区間の幅 ÷ 全体の幅」だけ。積分記号に身構える必要はありません。

具体例： $X \sim U(0,10)$ （待ち時間が0〜10分の一様）のとき、

P(3 \le X \le 7) = \dfrac{7-3}{10-0} = \dfrac{4}{10} = 0.4

「3分以上7分以下待つ確率は40%」。区間幅4分が全体10分の40%を占めるからです。

なお連続分布では、ある1点ぴったりの確率は0です。

P(X = c) = \dfrac{c-c}{b-a} = 0

幅ゼロの長方形は面積ゼロだからです。このため連続一様分布では $\le$ と $<$ を区別する必要がありません（ $P(X \le c)=P(X<c)$ ）。

4. 期待値の完全導出： $E[X]=\dfrac{a+b}{2}$

期待値は定義どおり「 $x$ × 密度」を全区間で積分します。

E[X]=\int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx=\int_{a}^{b} x\cdot \dfrac{1}{b-a}\,dx

定数 $\frac{1}{b-a}$ を積分の外に出します。

=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} x\,dx =\dfrac{1}{b-a}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{a}^{b} =\dfrac{1}{b-a}\cdot\dfrac{b^2-a^2}{2}

ここで $b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ と因数分解すると、 $b-a$ が約分されます。

=\dfrac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}=\dfrac{a+b}{2}

要するに：期待値は区間のちょうど真ん中。左右対称な分布なので、重心が中点に来るのは図形的にも当然です。積分しなくても対称性から $\frac{a+b}{2}$ と即答できます。

5. 分散の完全導出： $V[X]=\dfrac{(b-a)^2}{12}$

分散は $V[X]=E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2$ で求めます。まず $E[X^2]$ を積分します。

E[X^2]=\int_{a}^{b} x^2\cdot\dfrac{1}{b-a}\,dx =\dfrac{1}{b-a}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_{a}^{b} =\dfrac{1}{b-a}\cdot\dfrac{b^3-a^3}{3}

$b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)$ と因数分解すると、 $b-a$ が約分されます。

E[X^2]=\dfrac{(b-a)(b^2+ab+a^2)}{3(b-a)}=\dfrac{a^2+ab+b^2}{3}

次に $\bigl(E[X]\bigr)^2=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}$ を引きます。通分のため両者を $12$ 分母にそろえます。

V[X]=\dfrac{a^2+ab+b^2}{3}-\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4} =\dfrac{4(a^2+ab+b^2)-3(a^2+2ab+b^2)}{12}

分子を展開して整理します。

4(a^2+ab+b^2)=4a^2+4ab+4b^2,\qquad 3(a^2+2ab+b^2)=3a^2+6ab+3b^2

V[X]=\dfrac{(4a^2-3a^2)+(4ab-6ab)+(4b^2-3b^2)}{12} =\dfrac{a^2-2ab+b^2}{12}=\dfrac{(a-b)^2}{12}=\dfrac{(b-a)^2}{12}

要するに：分散は区間幅 $b-a$ の2乗に比例する。幅が2倍になればばらつき（分散）は4倍、標準偏差は2倍。位置 $a,b$ そのものではなく「区間の広さだけ」でばらつきが決まるのが一様分布の特徴です。標準偏差は $\dfrac{b-a}{\sqrt{12}}=\dfrac{b-a}{2\sqrt{3}}$ 。

6. 離散一様分布との区別（混同注意）

「一様分布」には離散と連続の2種類があり、公式が違います。2級では主に連続一様分布が問われますが、離散版と取り違えると公式を間違えます。

	連続一様分布 $U(a,b)$	離散一様分布（ $1,2,\dots,n$ を等確率）
値のとり方	区間 $[a,b]$ の実数すべて	$1,2,\dots,n$ の飛び飛びの整数
表す関数	確率密度関数 $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$	確率質量関数 $P(X=k)=\dfrac{1}{n}$
期待値	$\dfrac{a+b}{2}$	$\dfrac{n+1}{2}$
分散	$\dfrac{(b-a)^2}{12}$	$\dfrac{n^2-1}{12}$
例	待ち時間、乱数 $U(0,1)$	サイコロの目

サイコロ（ $n=6$ ）は離散一様分布で、期待値 $\frac{6+1}{2}=3.5$ 、分散 $\frac{6^2-1}{12}=\frac{35}{12}\approx2.92$ です。これに連続版の公式 $\frac{(b-a)^2}{12}$ を当てはめてはいけません（区間幅で計算する連続版とは別物）。どちらも分母に $12$ が出るため、形が似ていて混同を誘います。

7. 応用：逆関数法（一様乱数がすべての種になる）

$U(0,1)$ の一様乱数が重要なのは、これさえあれば**逆関数法（逆変換サンプリング）**で他の任意の連続分布の乱数を作れるからです。2級では深い計算までは問われませんが、「一様分布が乱数生成の出発点である」という位置づけは押さえておく価値があります。

仕組み：作りたい分布の累積分布関数を $F$ とします。 $U \sim U(0,1)$ を1つ引き、その逆関数に通した

X = F^{-1}(U)

は、ちょうど分布 $F$ に従います。

なぜ成り立つか： $X=F^{-1}(U)$ の累積分布を計算すると、 $F$ が単調増加なので

P(X \le x)=P\bigl(F^{-1}(U)\le x\bigr)=P\bigl(U \le F(x)\bigr)=F(x)

最後の等号は「 $U(0,1)$ では $P(U \le u)=u$ 」（ $U(0,1)$ のCDFが $u$ そのもの）という一様分布の性質から来ます。結果 $P(X\le x)=F(x)$ となり、 $X$ が望みの分布 $F$ に従うことが示せました。

指数分布の例：パラメータ $\lambda$ の指数分布は $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ 。これを $u$ について解くと逆関数は

x=F^{-1}(u)=-\dfrac{1}{\lambda}\ln(1-u)

なので、 $U(0,1)$ の乱数 $u$ を $-\frac{1}{\lambda}\ln(1-u)$ に変換すれば、指数分布の乱数が得られます。

要するに：一様分布は「面白みのない平らな分布」ではなく、CDFの逆関数を通すことであらゆる分布へ変身できる原材料。変数変換の詳細は確率変数の変換・モーメント母関数・積率を参照。

8. 試験での問われ方（2級）

2級では計算と性質の確認が中心で、難所はありません。典型は次の4タイプです。

期待値・分散の値を答える： $U(a,b)$ の数値を与え、 $\frac{a+b}{2}$ 、 $\frac{(b-a)^2}{12}$ に代入させる。標準偏差まで聞かれることも。
区間に入る確率： $P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a}$ の「幅の割合」計算。
PDF/CDFの形の理解：密度が一定（長方形）、CDFが直線、といったグラフ選択や記述。
離散一様との区別：サイコロ（離散）に連続の公式を当てない、など概念の取り違えを問う。

⚠️ 引っかけポイント・頻出論点

離散と連続の公式を取り違える：サイコロは離散（ $\frac{n^2-1}{12}$ ）。区間 $[a,b]$ の連続には $\frac{(b-a)^2}{12}$ 。分母が同じ $12$ なので「12を見たから連続」と早合点しない。
確率を「面積」で読むのを忘れる：連続分布では密度の値そのものは確率ではない。 $f(x)=\frac{1}{b-a}$ は確率ではなく高さ。確率は必ず幅をかけた面積。
1点の確率を0でないと思う：連続なので $P(X=c)=0$ 。よって $\le$ と $<$ は区別不要。離散の感覚を持ち込むと間違える。
分散は位置で変わらないと意識する： $U(0,4)$ も $U(100,104)$ も幅は同じ $4$ なので分散は等しい（ $\frac{16}{12}$ ）。中心位置は分散に無関係。

9. よくある疑問（Q&A）

Q1. 連続一様分布で、密度 $f(x)=\frac{1}{b-a}$ が1を超えることはありますか？それは確率なのに変では？ あります。たとえば $U(0,0.5)$ なら $f(x)=\frac{1}{0.5}=2$ 。これは矛盾ではありません。連続分布では $f(x)$ は**確率ではなく確率密度（高さ）**で、1を超えてかまいません。確率になるのは「密度 × 幅＝面積」のときだけで、面積（確率）は決して1を超えません（区間 $[0,0.5]$ 全体でも $2\times0.5=1$ ）。

Q2. なぜ分散の分母が $12$ なのですか？覚えるしかない？ 覚える必要はありません。導出の通り、 $E[X^2]$ の通分（ $3$ 分母）と $(E[X])^2$ の通分（ $4$ 分母）をそろえる最小公倍数が $12$ です。 $3$ と $4$ の最小公倍数が $12$ だから、という機械的な結果です。導出を一度自分でたどれば、 $12$ は自然に出てきます。

Q3. サイコロも「すべて同じ確率」だから連続一様分布の公式 $\frac{(b-a)^2}{12}$ で計算していいですか？ いけません。サイコロは離散一様分布（目は飛び飛びの $1\sim6$ ）なので、分散は $\frac{n^2-1}{12}=\frac{35}{12}$ です。連続の $\frac{(b-a)^2}{12}$ に $b=6,a=1$ を入れると $\frac{25}{12}$ となり誤り。連続版は「区間に実数が詰まっている」前提の公式で、6個の点しかないサイコロには使えません。

Q4. $P(X=c)=0$ なら、その値は絶対に起きないということですか？ いいえ。「確率が0」と「起こりえない」は連続分布では別物です。 $X$ は区間内のどこかの実数を必ずとるので、ある特定の値も「起こりうる」が、無限個の候補に対する1点の確率は0になります。連続分布では「点」ではなく「区間（幅のある範囲）」で確率を考えるのが約束事です。

Q5. $U(0,1)$ だけ特別に重要なのはなぜですか？ 逆関数法の原材料だからです（§7）。 $U(0,1)$ の乱数 $u$ を作りたい分布のCDFの逆関数 $F^{-1}$ に通せば、その分布の乱数 $F^{-1}(u)$ が得られます。コンピュータの乱数生成は「まず $U(0,1)$ を作り、そこから変換する」のが基本戦略なので、 $U(0,1)$ はすべての分布の出発点になります。

10. まとめ

連続一様分布 $U(a,b)$ は、区間 $[a,b]$ で密度が一定 $\frac{1}{b-a}$ の最も単純な連続分布。高さは「面積を1にする辻褄合わせ」で自動的に決まる。
確率は「密度 × 幅＝面積」で読む。 $P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a}$ は「知りたい幅 ÷ 全体の幅」。
期待値は中点 $\frac{a+b}{2}$ （対称性から即答可）、分散は幅の2乗に比例して $\frac{(b-a)^2}{12}$ （積分から導ける）。
離散一様（ $\frac{n+1}{2},\ \frac{n^2-1}{12}$ ）と公式を取り違えないこと。分母 $12$ が共通なのが混同の元。
$U(0,1)$ は逆関数法 $X=F^{-1}(U)$ によって、あらゆる分布の乱数を生む種になる。