📊 対象級：準1級・ 1級　|　重要度：A（頻出）

確率変数の変換・モーメント母関数・積率 ── 変数変換公式／MGFで積率を生む／独立和はMGFの積

要点（BLUF）

連続の変数変換公式： $Z=g(X)$ （ $g$ が単調＝1対1）なら $\boxed{f_Z(z)=f_X\big(g^{-1}(z)\big)\left|\dfrac{d g^{-1}}{dz}\right|}$ 。CDF法（ $F_Z(z)=P(g(X)\le z)$ を $z$ で微分）から導出され、絶対値は「向き（増加/減少）によらず密度を正にする」ため。多変数では微分がヤコビアンになる。
積率（モーメント）：原点まわり $\mu_k'=E[X^k]$ 、平均まわり（中心積率） $\mu_k=E[(X-\mu)^k]$ 。1次＝平均、2次中心＝分散、3次（標準化）＝歪度、4次（標準化）＝尖度。
モーメント母関数 MGF（本トピックの主役） $\boxed{M_X(t)=E[e^{tX}]}$ 。性質①積率を生む $\boxed{M_X^{(k)}(0)=E[X^k]}$ （ $e^{tX}$ のテイラー展開を微分）。性質②独立和はMGFの積 $\boxed{M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)}$ （⑥ 期待値・分散の性質（線形性・和の分散・共分散）の独立和の母関数版）。性質③一意性（MGFが一致すれば分布が一致＝分布の「指紋」）。
正規のMGF $M(t)=e^{\mu t+\sigma^2 t^2/2}$ 。これを使うと「正規どうしの独立和が正規」が積で一発。標準化和のMGFが $e^{t^2/2}$ （標準正規のMGF）に収束するのが ⑩ 中心極限定理（CLT）の証明の核。
特性関数 $\varphi_X(t)=E[e^{itX}]$ は MGF が存在しない分布でも常に存在する1級の道具（深入り不要）。

本文

1. 確率変数の変換とは

確率変数 $X$ に関数 $g$ を施した $Z=g(X)$ も確率変数。その分布をどう求めるかが本節。離散と連続で作り方が違う。

離散： $Z=g(X)$ の分布の作り方

$Z=g(X)$ が値 $z$ を取る確率は、「 $g(x)=z$ となるすべての $x$ の確率を集める」だけ：

P(Z=z)=\sum_{x:\ g(x)=z} P(X=x).

要するに「同じ $z$ に飛んでくる $x$ の確率を全部足す」。例： $X$ がサイコロの目（ $1\sim6$ 各 $1/6$ ）で $Z=(X-3.5)^2$ なら、 $Z=6.25$ になるのは $X\in\{1,6\}$ だから $P(Z=6.25)=\frac16+\frac16=\frac13$ 。 $g$ が1対1でないと複数の $x$ がまとまる点が連続と違う。

連続：変数変換公式（本トピックの最重要公式の1つ）

$X$ の密度 $f_X$ が分かっていて、 $Z=g(X)$ の密度 $f_Z$ を知りたい。 $g$ が単調（1対1）で微分可能、逆関数 $x=g^{-1}(z)$ を持つとき：

\boxed{\,f_Z(z)=f_X\big(g^{-1}(z)\big)\left|\frac{d\,g^{-1}(z)}{dz}\right|\,}

要するに「元の密度の高さ $f_X(g^{-1}(z))$ に、変換による“横軸の伸び縮み”の補正 $|dg^{-1}/dz|$ を掛ける」。導出（CDF法）と絶対値の意味は「数式の直観的意味」で完全に示す。

なぜ補正項が要るか（直観）：密度は「単位幅あたりの確率」。変換で横軸が2倍に引き伸ばされる場所では、同じ確率が2倍の幅にばらまかれるので密度は $1/2$ に下がる。この伸縮率が $|dg^{-1}/dz|$ （＝ヤコビアン、1変数版）。

多変数への一般化（ヤコビアン）── 概要

$(X_1,X_2)\to(Z_1,Z_2)$ の変換では、1変数の $|dg^{-1}/dz|$ がヤコビアン行列式の絶対値に置き換わる：

f_{Z_1,Z_2}(z_1,z_2)=f_{X_1,X_2}\big(x_1,x_2\big)\,\big|\det J\big|,\qquad J=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial x_1}{\partial z_1}&\dfrac{\partial x_1}{\partial z_2}\\[6pt]\dfrac{\partial x_2}{\partial z_1}&\dfrac{\partial x_2}{\partial z_2}\end{pmatrix}.

要するに「 $|\det J|$ は微小面積の変換前/変換後の比（面積のスケール因子）」。1変数の長さの伸縮が、多変数では面積（体積）の伸縮になっただけ。準1級・1級では「指数分布2つから比 $X/(X+Y)$ がベータ分布になる」「正規2つから極座標へ（ボックス・ミュラー）」のような問題でこれを使う。

和の分布（畳み込み convolution）

独立な $X,Y$ の和 $Z=X+Y$ の密度は、同時分布（⑦ 同時分布・周辺分布・条件付き分布）から導かれる畳み込み積分：

\boxed{\,f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,f_Y(z-x)\,dx\,}

要するに「和が $z$ になる組み合わせ $(x,\ z-x)$ を、 $x$ を動かしながら確率を掛けて全部足す」。離散版は $P(X+Y=z)=\sum_x P(X=x)P(Y=z-x)$ 。⑦の同時分布 $f_X(x)f_Y(z-x)$ （独立だから積）を「和が $z$ の直線」に沿って積分で集めたものが畳み込み。導出は「数式の直観的意味」へ。後で出てくるMGFを使うと、この重たい積分がただの掛け算に変わる（そこがMGFの嬉しさ）。

2. 積率（モーメント）

分布の形を数値で要約する量。 $k$ 次の原点まわり積率（モーメント）と $k$ 次の中心積率の2系統がある。

	定義	意味
原点まわり $k$ 次積率 $\mu_k'$	$E[X^k]$	$X^k$ の期待値（基準は0）
中心 $k$ 次積率 $\mu_k$	$E[(X-\mu)^k]$	平均 $\mu$ からのズレの $k$ 乗の期待値

主要な対応（準1級・2級で頻出の表）：

次数	量	式	表すもの
1次（原点）	平均	$\mu=E[X]$	中心位置
2次（中心）	分散	$\sigma^2=E[(X-\mu)^2]$	散らばり
3次（標準化）	歪度 skewness	$\dfrac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3}$	左右の非対称（正＝右に裾）
4次（標準化）	尖度 kurtosis	$\dfrac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}$ （ $-3$ する流儀も）	山の尖り・裾の重さ

要するに「1次で位置、2次で広がり、3次で左右の偏り、4次で尖り」を測る。標準化（ $\sigma^k$ で割る）で単位をなくし、分布間で比較できるようにする。正規分布は歪度0・尖度3（ $-3$ する流儀では超過尖度0）が基準。 $\mu_k'$ から $\mu_k$ は二項展開で相互変換でき、その変換を一気にやってくれるのが次のMGF。

3. モーメント母関数 MGF（本トピックの主役）

定義

\boxed{\,M_X(t)=E\big[e^{tX}\big]\,}\qquad \begin{cases}\displaystyle\sum_x e^{tx}p(x) & (\text{離散})\\[4pt]\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x)\,dx & (\text{連続})\end{cases}

$t=0$ のまわりで期待値が存在すれば定義される、 $t$ の関数。 $M_X(0)=E[e^0]=E[1]=1$ （必ず1から始まる）。要するに「分布の全情報を1つの関数 $M_X(t)$ に畳み込んだもの」。なぜ「母関数（生成関数）」かは次の性質①が答え。

モーメント母関数の2つの見方（指数分布の例）。左：M(t)はe^(tX)の重み付き平均（面積）。右：t=0での微分が積率（接線の傾き=平均μ）

左＝MGFの正体（e^(tx)で重み付けした密度の面積）、右＝t=0で微分すると積率が出る（M’(0)=μ、M”(0)=E[X²]、t=1で発散＝MGFはt<1のみ）。図は simulations/moment_bokansu_keijou.py で生成。

性質①：積率を生成する（MGFの名前の由来）

\boxed{\,M_X^{(k)}(0)=E[X^k]\,}\quad(\text{$k$ 回微分して $t=0$ を代入})

要するに「MGFを $k$ 回微分して $t=0$ を入れると、 $k$ 次の原点まわり積率 $E[X^k]$ がポロッと出てくる」。だから平均は $M'(0)$ 、分散は $M''(0)-\big(M'(0)\big)^2$ 。なぜ微分で積率が出るのかの導出は「数式の直観的意味」で完全に示す（テイラー展開が鍵）。

性質②：独立和はMGFの積（⑥の母関数版・最重要の実用性）

$X,Y$ が独立なら

\boxed{\,M_{X+Y}(t)=M_X(t)\,M_Y(t)\,}

要するに「独立な確率変数を足すと、MGFは掛け算になる」。畳み込み積分（和の分布）は計算が重いが、MGFの世界ではただの掛け算に変わる。これが ⑥ 期待値・分散の性質（線形性・和の分散・共分散）の「独立和の分散＝分散の和」を、分布まるごと扱えるよう一般化した母関数版。導出は「数式の直観的意味」へ。

性質③：一意性（分布の「指紋」）

MGFが（ $t=0$ の近傍で）存在して2つの分布で一致すれば、その2つの分布は同一。要するに「MGFは分布を一意に決める指紋」。だから「和のMGFを計算したら、それが正規のMGFの形だった→和は正規分布だ」と逆向きに分布を同定できる（性質②と組み合わせて使うのが定番）。

MGFと積率・独立和の関係（図）

ここだけ図にすると流れが見える。

flowchart LR
    X["確率変数 X"] --> M["MGF M(t)=E(e^tX)"]
    M -->|"k回微分してt=0"| MOM["積率 E(X^k)<br/>1次=平均 2次=分散"]
    M -->|"独立な和 X+Y"| PROD["MGFの積<br/>M_X(t)·M_Y(t)"]
    PROD -->|"一意性で分布を同定"| DIST["和の分布が決まる"]

「 $X$ をMGFに上げる → 微分で積率、掛け算で和の分布」という二刀流が見て取れる。

主要分布のMGF一覧（準1級は導出練習が要る）

分布	パラメータ	MGF $M_X(t)$	平均（ $M'(0)$ ）	分散
ベルヌーイ	$p$	$1-p+pe^{t}$	$p$	$p(1-p)$
二項 $\mathrm{Bin}(n,p)$	$n,p$	$(1-p+pe^{t})^{n}$	$np$	$np(1-p)$
ポアソン $\mathrm{Po}(\lambda)$	$\lambda$	$e^{\lambda(e^{t}-1)}$	$\lambda$	$\lambda$
指数 $\mathrm{Exp}(\lambda)$	$\lambda$	$\dfrac{\lambda}{\lambda-t}\ (t<\lambda)$	$1/\lambda$	$1/\lambda^2$
正規 $N(\mu,\sigma^2)$	$\mu,\sigma^2$	$\exp\!\Big(\mu t+\dfrac{\sigma^2 t^2}{2}\Big)$	$\mu$	$\sigma^2$

二項のMGFがベルヌーイのMGFの $n$ 乗になっているのは、独立ベルヌーイ和＝二項（性質②）そのもの。正規のMGFだけ「数式の直観的意味」で導出する。

MGFと関係の深い母関数：確率母関数 $G_X(s)=E[s^X]$ （非負整数値の分布で便利、 $s=e^t$ とすればMGFと対応）、キュムラント母関数 $K_X(t)=\log M_X(t)$ （微分するとキュムラント＝平均・分散・歪度…が直接出る。正規は $K(t)=\mu t+\sigma^2 t^2/2$ で2次までで止まるのが特徴）。準1級では確率母関数も範囲。

4. 中心極限定理への布石（MGFが効く最大の場面）

標準化した独立同分布和

Z_n=\frac{1}{\sqrt n}\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i-\mu}{\sigma}

のMGFが、 $n\to\infty$ で $e^{t^2/2}$ （標準正規のMGF）に収束する。一意性（性質③）から $Z_n$ は標準正規に近づく ── これが ⑩ 中心極限定理（CLT）の証明の核。要するに「MGFの積（性質②）とテイラー展開で、和の分布が正規になることを示せる」。深入りは ⑩ で行う。

5. 特性関数（1級の道具・簡潔に）

\varphi_X(t)=E\big[e^{itX}\big]\quad(i=\sqrt{-1})

MGF の $t$ を $it$ に置き換えたもの。 $|e^{itX}|=1$ なので期待値が必ず収束し、どんな分布でも常に存在する（MGFはコーシー分布など裾の重い分布では存在しないことがある）。性質はMGFとほぼ並行（一意性・独立和は積・微分で積率）。要するに「MGFが存在しない分布でも使える、より頑健な指紋」。1級の数理で道具として出るが、過去問で前面に出た実績は限定的（要最新確認）。本ノートでは存在のみ押さえる。

具体例

例1（変数変換）： $X\sim U(0,1)$ （一様）、 $Z=-\ln X$ の分布。 $g(x)=-\ln x$ は単調減少、逆関数 $x=g^{-1}(z)=e^{-z}$ 、 $dg^{-1}/dz=-e^{-z}$ 。 $f_X=1$ （ $0<x<1$ ）だから

f_Z(z)=f_X(e^{-z})\,|-e^{-z}|=1\cdot e^{-z}=e^{-z}\quad(z>0).

レート1の指数分布。これが逆関数法（一様乱数から指数乱数を作る）の原理＝シミュ①。

例2（MGFで積率）：指数 $\mathrm{Exp}(\lambda)$ の $M(t)=\dfrac{\lambda}{\lambda-t}=\lambda(\lambda-t)^{-1}$ 。 $M'(t)=\lambda(\lambda-t)^{-2}$ 、 $M'(0)=\lambda\cdot\lambda^{-2}=1/\lambda=E[X]$ 。 $M''(t)=2\lambda(\lambda-t)^{-3}$ 、 $M''(0)=2\lambda\cdot\lambda^{-3}=2/\lambda^2=E[X^2]$ 。よって $V[X]=E[X^2]-(E[X])^2=\dfrac{2}{\lambda^2}-\dfrac{1}{\lambda^2}=\dfrac{1}{\lambda^2}$ 。微分2回で平均も分散も出る＝シミュ②。

例3（独立和のMGFの積→分布同定）：独立 $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),\ Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 。

M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)=e^{\mu_1 t+\sigma_1^2 t^2/2}\cdot e^{\mu_2 t+\sigma_2^2 t^2/2}=e^{(\mu_1+\mu_2)t+(\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2/2}.

これは $N(\mu_1+\mu_2,\ \sigma_1^2+\sigma_2^2)$ のMGFそのもの。一意性より $X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$ 。畳み込み積分を解かずに、正規の再生性が積で一発。

試験での問われ方（級ごとの差）

2級：積率の素朴な扱いまで。平均（1次）・分散（2次中心）・歪度（3次標準化）・尖度（4次標準化）の定義と計算は範囲（標本歪度・標本尖度の計算も出る）。MGF・確率母関数・変数変換公式・畳み込み・特性関数は2級範囲外（モーメントという語と歪度/尖度どまり）。
準1級（主）：モーメント母関数（第2章「確率分布と母関数」）＝定義・ $M^{(k)}(0)=E[X^k]$ ・独立和の積・主要分布のMGF導出、確率母関数、分布の特性値（第3章）＝歪度・尖度、変数変換（第4章）＝単調変換の公式・ヤコビアン（指数→指数、一様→指数、正規の2乗→カイ二乗など）。畳み込みで和の分布。公式ワークブック2〜4章が直撃。
1級（統計数理）：上記をすべて記述式で。変数変換・ヤコビアンで多変数の分布を導く（ベータ・ガンマ・ $t$ ・ $F$ の構成）、畳み込みで和の分布、MGFの性質（ $aX+b$ のMGF $=e^{bt}M_X(at)$ 、独立性）を使った分布同定、特性関数（白本＝現代数理統計学では前面に出るが、本試験で前面に出た実績は乏しいとの指摘あり）、漸近理論（CLT）でMGF/特性関数。
※出題範囲は改訂されうる。受験前に公式最新の出題範囲表で要最新確認（準1級は公式ワークブック準拠が直近で確認した版、1級数理範囲表も要確認）。

数式の直観的意味

変数変換公式の完全導出（CDF法・なぜ絶対値が付くか）

連続変数の分布を直接いじるのは難しいので、いったんCDF（累積分布関数）に上げてから微分で密度に戻すのがCDF法。 $Z=g(X)$ のCDF $F_Z(z)=P(Z\le z)=P(g(X)\le z)$ を、 $g$ の単調性で場合分けして $X$ のCDFに翻訳する。

(a) $g$ が単調増加のとき： $g(X)\le z \iff X\le g^{-1}(z)$ （不等号の向きそのまま）。よって

F_Z(z)=P\big(X\le g^{-1}(z)\big)=F_X\big(g^{-1}(z)\big).

両辺を $z$ で微分。右辺は合成関数の微分（連鎖律）で

f_Z(z)=\frac{d}{dz}F_X\big(g^{-1}(z)\big)=f_X\big(g^{-1}(z)\big)\cdot\frac{d\,g^{-1}(z)}{dz}.

増加なら $g^{-1}$ も増加だから $\dfrac{dg^{-1}}{dz}>0$ 、つまり $\dfrac{dg^{-1}}{dz}=\left|\dfrac{dg^{-1}}{dz}\right|$ 。

(b) $g$ が単調減少のとき： $g(X)\le z \iff X\ge g^{-1}(z)$ （不等号が逆転）。よって

F_Z(z)=P\big(X\ge g^{-1}(z)\big)=1-F_X\big(g^{-1}(z)\big).

微分すると先頭の $1$ が消え、マイナスが付く：

f_Z(z)=-f_X\big(g^{-1}(z)\big)\cdot\frac{d\,g^{-1}(z)}{dz}.

減少なら $g^{-1}$ も減少で $\dfrac{dg^{-1}}{dz}<0$ だから、頭の $-$ と合わさって全体は正。これは $-\dfrac{dg^{-1}}{dz}=\left|\dfrac{dg^{-1}}{dz}\right|$ に等しい。

(a)(b)を1本にまとめる：どちらの場合も右辺は「 $f_X(g^{-1}(z))$ × $\left|\dfrac{dg^{-1}}{dz}\right|$ 」。だから

\boxed{\,f_Z(z)=f_X\big(g^{-1}(z)\big)\left|\frac{d\,g^{-1}(z)}{dz}\right|\,}.\qquad\blacksquare

なぜ絶対値か（要点）：密度は必ず非負。増加変換ならそのまま正、減少変換だと微分が負になるが、CDFの引き算（ $1-F_X$ ）から出るマイナスがそれを打ち消し、結局向きによらず “伸縮率の大きさ” だけが効く。それを一手で書いたのが絶対値。 $|dg^{-1}/dz|$ は「 $z$ 軸の単位幅が、 $x$ 軸では何倍の幅に対応するか」という伸縮率＝1変数版ヤコビアン。

畳み込み公式の導出（同時分布→和が $z$ の直線で集める）

独立な $X,Y$ の和 $Z=X+Y$ のCDFを、同時分布（⑦ 同時分布・周辺分布・条件付き分布）から書く。独立なので同時密度は積 $f_X(x)f_Y(y)$ ：

F_Z(z)=P(X+Y\le z)=\iint_{x+y\le z} f_X(x)f_Y(y)\,dx\,dy.

内側を $y$ について先に積分する。 $x$ を固定すると $y\le z-x$ だから

F_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\left(\int_{-\infty}^{z-x} f_Y(y)\,dy\right)dx=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,F_Y(z-x)\,dx.

$z$ で微分すると、内側の $F_Y(z-x)$ の微分が $f_Y(z-x)$ （連鎖律、 $z$ の係数は1）：

f_Z(z)=\frac{d}{dz}F_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,f_Y(z-x)\,dx.\qquad\blacksquare

要するに「 $X=x$ と決めたら相手は $Y=z-x$ に決まる。その確率 $f_X(x)f_Y(z-x)$ を、 $x$ をあらゆる値に動かして集めた」。これが和の分布の正体で、⑦の同時分布（独立→積）を和の制約 $x+y=z$ に沿って周辺化したもの。

なぜ $M^{(k)}(0)=E[X^k]$ か（テイラー展開が鍵・完全導出）

指数関数のテイラー展開 $e^{u}=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{u^k}{k!}$ に $u=tX$ を入れる：

e^{tX}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(tX)^k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}X^k.

両辺の期待値を取る。期待値は線形（⑥ 期待値・分散の性質（線形性・和の分散・共分散））なので和と $t^k/k!$ （ $X$ に無関係な係数）の外へ出せる：

M_X(t)=E\big[e^{tX}\big]=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}E[X^k]=1+E[X]\,t+\frac{E[X^2]}{2!}t^2+\frac{E[X^3]}{3!}t^3+\cdots

ここがMGFの本質： $M_X(t)$ をテイラー展開すると、 $t^k$ の係数がちょうど $\dfrac{E[X^k]}{k!}$ になる。つまりMGFは積率を係数として畳み込んだ母関数。テイラー展開の一般項の係数は「 $k$ 回微分して $t=0$ 、を $k!$ で割ったもの」だから、 $k$ 回微分して $t=0$ を代入すれば $\dfrac{E[X^k]}{k!}\cdot k!=E[X^k]$ が取り出される：

M_X^{(k)}(0)=E[X^k].\qquad\blacksquare

具体的に1回・2回やると： $M'(t)=E[X]+E[X^2]t+\cdots$ で $M'(0)=E[X]$ 、 $M''(t)=E[X^2]+E[X^3]t+\cdots$ で $M''(0)=E[X^2]$ 。微分のたびに展開が1つずつ繰り上がり、 $t=0$ で定数項だけが生き残るから積率が順に出る。

なぜ独立和のMGFは積か（独立がここで効く・完全導出）

定義に和を入れ、指数法則 $e^{a+b}=e^a e^b$ で分ける：

M_{X+Y}(t)=E\big[e^{t(X+Y)}\big]=E\big[e^{tX}\,e^{tY}\big].

$X,Y$ が独立なら $e^{tX}$ と $e^{tY}$ も独立な確率変数。独立なら「積の期待値＝期待値の積」（⑥ 期待値・分散の性質（線形性・和の分散・共分散）の $E[XY]=E[X]E[Y]$ と同じ理由、同時密度が積に分かれるから）：

M_{X+Y}(t)=E\big[e^{tX}\big]\,E\big[e^{tY}\big]=M_X(t)\,M_Y(t).\qquad\blacksquare

要するに「独立だから指数の積の期待値を分離できる」。畳み込み積分の代わりに掛け算で和の分布を扱える理由がこれ。一般化すると独立和 $\sum X_i$ のMGFは $\prod M_{X_i}(t)$ 。同分布なら $\big(M_X(t)\big)^n$ （二項がベルヌーイMGFの $n$ 乗になるのはこれ）。

正規分布のMGF $e^{\mu t+\sigma^2 t^2/2}$ の導出

まず標準正規 $Z\sim N(0,1)$ 、 $f(z)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}$ で：

M_Z(t)=E[e^{tZ}]=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{tz}e^{-z^2/2}\,dz=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(z^2-2tz)}\,dz.

指数の中を平方完成： $z^2-2tz=(z-t)^2-t^2$ 。 $-t^2$ は $z$ に無関係なので積分の外へ：

M_Z(t)=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(z-t)^2}\,dz.

残った積分は「平均 $t$ ・分散1の正規分布の全積分」＝1（正規密度の全積分は中心がどこでも1）。よって

\boxed{\,M_Z(t)=e^{t^2/2}\,}.

一般の $X=\mu+\sigma Z\sim N(\mu,\sigma^2)$ には変換のMGF規則 $M_{aX+b}(t)=E[e^{t(aX+b)}]=e^{bt}E[e^{(at)X}]=e^{bt}M_X(at)$ を使う。 $X=\sigma Z+\mu$ なら $a=\sigma,\ b=\mu$ ：

M_X(t)=e^{\mu t}M_Z(\sigma t)=e^{\mu t}e^{(\sigma t)^2/2}=\exp\!\Big(\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\Big).\qquad\blacksquare

要するに「平方完成で指数を正規密度の形に戻すと、余った $e^{t^2/2}$ がMGFになる」。標準化和のMGFがこの $e^{t^2/2}$ に収束するのがCLTの核（⑩）。

⚠️ 引っかけポイント・頻出論点・級ごとの差

変数変換で絶対値を落とす：減少変換だと微分が負になる。 $|dg^{-1}/dz|$ の絶対値を忘れると密度が負になり破綻。密度は必ず非負を最後の検算に。
ヤコビアンは「逆向き $\partial x/\partial z$ 」：公式の補正項は $\dfrac{dg^{-1}}{dz}=\dfrac{dx}{dz}$ （元の変数を新しい変数で微分）。 $\dfrac{dz}{dx}$ と取り違えると逆数になる（ $\big|\frac{dx}{dz}\big|=1/\big|\frac{dz}{dx}\big|$ の関係なので、どちらで書くか流儀に注意）。
変換後の定義域（サポート）を必ず書く：例1で $z>0$ を落とすと不正解。 $x$ の動く範囲を $z$ の範囲に翻訳する作業が採点ポイント（記述式の1級で減点されやすい）。
MGFの一意性は「存在するとき」だけ：MGFが存在しない分布（コーシーなど裾が重い）では一意性の議論に使えない。そこは特性関数の出番。「MGFはどんな分布でも存在」は誤り。
独立和の積は“独立”が前提： $M_{X+Y}=M_XM_Y$ は独立のときだけ。従属だと一般に成り立たない（⑥の和の分散に $2\mathrm{Cov}$ が付くのと同じ事情の母関数版）。
$M^{(k)}(0)=E[X^k]$ は“原点まわり”積率：MGFの微分で出るのは $E[X^k]$ （原点基準）。分散は $M''(0)-(M'(0))^2$ と組み立てる。 $M''(0)$ をそのまま分散としない。歪度・尖度も原点まわりから中心まわりへ二項展開で直す（または $\log M$ ＝キュムラント母関数の微分が中心まわり量を直接出す）。
歪度/尖度の符号と基準：歪度正＝右に裾が長い（平均>中央値の傾向）。尖度は流儀が2つ（ $E[(X-\mu)^4]/\sigma^4$ そのまま＝正規で3／ $-3$ した超過尖度＝正規で0）。問題文がどちらの定義かを確認。
MGFと確率母関数・特性関数の関係：確率母関数 $G(s)=E[s^X]$ は $s=e^t$ でMGF、特性関数は $t\to it$ 。同じ「指紋」族で、使える範囲（存在条件）と便利な場面が違うだけ。
級差：2級＝積率・歪度・尖度の定義と計算どまり（MGFは範囲外）。準1級＝MGFの定義・微分で積率・独立和の積・主要分布のMGF導出・変数変換とヤコビアン・畳み込み。1級＝多変数のヤコビアンで分布構成（ベータ/ガンマ/t/F）・特性関数・CLTの母関数証明。同じ「積率」でも、2級は数値計算、準1級以上は母関数で生成・操作するところまで深さが上がる。

よくある疑問

Q. 変数変換公式の絶対値はどこから来るのですか？なぜ密度が負にならないのですか？

A. CDF（累積分布関数）から導くと自然に出ます。 $Z=g(X)$ のCDFを $g$ の単調性で場合分けします。

$g$ が増加なら $g(X)\le z \iff X\le g^{-1}(z)$ なので $F_Z(z)=F_X(g^{-1}(z))$ 。微分すると $f_Z(z)=f_X(g^{-1}(z))\cdot\frac{dg^{-1}}{dz}$ 。増加なので微分は正です。
$g$ が減少なら $g(X)\le z \iff X\ge g^{-1}(z)$ と不等号が逆転するので $F_Z(z)=1-F_X(g^{-1}(z))$ 。微分すると先頭の1が消えてマイナスが付き、 $f_Z(z)=-f_X(g^{-1}(z))\cdot\frac{dg^{-1}}{dz}$ 。減少なので微分は負で、頭のマイナスと合わさって全体は正になります。

どちらの場合も結局「 $f_X(g^{-1}(z))$ × 微分の絶対値」になります。だから絶対値でまとめれば、向き（増加・減少）を気にせず1本の式で書けて、密度は必ず非負になります。（同じ導出を「数式の直観的意味」で式つきで詳述しています。）

Q. MGFを2回微分した $M''(0)$ は分散ですか？

A. 違います。 $M''(0)=E[X^2]$ （原点まわりの2次積率）です。分散は $V[X]=E[X^2]-(E[X])^2=M''(0)-(M'(0))^2$ と組み立ててください。MGFの微分で直接出るのはいつも「原点まわりの積率 $E[X^k]$ 」で、分散や歪度・尖度はそこから計算します。

Q. 「独立和はMGFの積」は、従属でも成り立ちますか？

A. 成り立ちません。 $M_{X+Y}=M_XM_Y$ は独立のときだけです。途中で「 $E[e^{tX}e^{tY}]=E[e^{tX}]E[e^{tY}]$ 」という分離をしますが、これは独立だからできることです。従属だと一般に成り立ちません（独立和の分散に共分散の項が付くのと同じ事情です）。

Q. MGFと特性関数、確率母関数はどう違うのですか？

A. どれも「分布の指紋」で、 $E[\text{指数っぽいもの}]$ という同じ仲間です。MGF $E[e^{tX}]$ はわかりやすいですが裾の重い分布で存在しないことがあります。特性関数 $E[e^{itX}]$ は虚数を使う代わりに必ず存在します。確率母関数 $E[s^X]$ は0,1,2,…の値を取る分布（二項・ポアソンなど）で便利で、 $s=e^t$ とすればMGFと対応します。使える範囲と便利な場面が違うだけです。

Q. 結局どの級で何を覚えればいいですか？

A. 2級は積率・歪度・尖度の計算まで（MGFは出ません）。準1級はMGFの定義・微分で積率・独立和の積・主要分布のMGF導出・変数変換とヤコビアン・畳み込み。1級はさらに多変数のヤコビアンで分布を作る・特性関数・中心極限定理のMGF証明、まで深掘りします。同じ「積率」でも級が上がると、数値計算から母関数での生成・操作へと深さが増します。

まとめ

変数変換公式 $f_Z(z)=f_X(g^{-1}(z))|dg^{-1}/dz|$ ：元の密度に横軸の伸縮率を掛ける。絶対値はCDF法から自然に出て、密度を非負に保つ。多変数ではヤコビアン、独立和では畳み込み。
積率：1次＝平均、2次＝分散、3次＝歪度、4次＝尖度。
MGF $M_X(t)=E[e^{tX}]$ ：①微分で積率 $M^{(k)}(0)=E[X^k]$ 、②独立和は積 $M_{X+Y}=M_XM_Y$ 、③一意性で分布を同定。重たい畳み込みを掛け算に変える道具で、正規の再生性や中心極限定理の証明の核になる。
特性関数はMGFが存在しないときの頑健な代役（1級）。

対応するシミュレーション

simulations/henkan_gyakukansuuhou_shisuu.py
- 何を示すか：一様乱数 $U\sim U(0,1)$ を変換 $X=-\ln(U)/\lambda$ にかけ、できた $X$ のヒストグラムが指数分布の理論PDF $\lambda e^{-\lambda x}$ に一致することを確認。変数変換公式 $f_Z(z)=f_X(g^{-1}(z))|dg^{-1}/dz|$ の実証であり、逆関数法（一様乱数から任意分布を生成）の原理そのもの。
- 結論（seed=0, λ=1.5, n=20万）：ヒストグラム（青）が理論PDF $\lambda e^{-\lambda x}$ （赤曲線）にぴったり重なる。平均実測=0.6652（理論 $1/\lambda$ =0.6667）、分散実測=0.4436（理論 $1/\lambda^2$ =0.4444）。変換 $g(u)=-\ln u/\lambda$ は単調減少・逆関数 $e^{-\lambda x}$ ・その微分の絶対値 $\lambda e^{-\lambda x}$ を $f_U=1$ に掛けると指数PDFになる、という公式どおりの結果。

逆関数法で一様乱数を指数分布に変換

simulations/moment_bokansuu_seishitsu.py
- 何を示すか：(1) MGF $M(t)=\mathrm{mean}(e^{tX})$ を作り、 $t=0$ での数値微分で $M'(0)\approx E[X]$ ・ $M''(0)\approx E[X^2]$ を確認（ $M^{(k)}(0)=E[X^k]$ の実証）。(2) 独立和のMGFが積 $M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)$ になることを複数の $t$ で確認。題材は指数分布。
- 結論（seed=0, λ=2.0, n=50万）：(1) $M(0)=$ 1.0000（定義どおり）、 $M'(0)=$ 0.4997（理論 $1/\lambda$ =0.5000＝ $E[X]$ ）、 $M''(0)=$ 0.5000（理論 $2/\lambda^2$ =0.5000＝ $E[X^2]$ ）。左図でMGF曲線の $t=0$ の接線の傾きが $E[X]$ に一致。(2) 全ての $t$ で左辺（和のMGF）＝右辺（積）が一致（例 $t=-0.5$ ：0.6397=0.6397、 $t=0.5$ ：1.7793=1.7793）。独立和→MGFの積、微分→積率、の2性質を数値で裏づけ。

MGFの微分で積率が出る・独立和は積