📊 対象級：2級・準1級　|　重要度：A（頻出）

期待値・分散の性質（線形性・和の分散・共分散）

要点（BLUF）

期待値の加法性 $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ は独立性を一切仮定せず常に成立（同時分布の和から導出、 $p(x,y)=p_Xp_Y$ を使わない）。線形性 $E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$ 。分散は $V[aX+b]=a^2V[X]$ （ $b$ は消える＝平行移動で散らばり不変、 $a$ は2乗で出る）。
共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=E[XY]-E[X]E[Y]$ （標本共分散 $s_{xy}$ の母集団版・2変数の記述（散布図・共分散・相関係数）── 相関≠因果／rは直線関係しか測れない／外れ値1点で激変）。和の分散 $V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2\mathrm{Cov}(X,Y)$ 、差でも $+V[Y]$ で引かれるのは共分散だけ。母相関 $\rho=\mathrm{Cov}/(\sigma_X\sigma_Y)\in[-1,1]$ 。
核心の非対称性：期待値の加法性は独立不要／分散の加法性は無相関（独立）が必要。独立 ⟹ 無相関 ⟹ $V[X+Y]=V[X]+V[Y]$ 。逆は不成立（ $Y=X^2$ は無相関だが従属）。応用：二項分布 $V=np(1-p)$ 、標本平均 $V[\bar X]=\sigma^2/n$ は独立和の分散。

このトピックで一番大事なのは、たった1つの非対称性です。「期待値の足し算は独立を仮定せずいつでも成り立つ／分散の足し算は無相関（独立）のときだけ成り立つ」── 期待値には余計な項が出ませんが、分散には $2\,\mathrm{Cov}(X,Y)$ （2変数が一緒に動く度合い）の項が出ます。これが本トピックの山です。

本文

1. 期待値の線形性

定数倍・定数足し（1変数）

\boxed{\,E[aX+b]=a\,E[X]+b\,}\qquad(a,b \text{ は定数})

要するに**「定数倍は外に出せて、足した定数はそのまま足される」**。これは $X$ がどんな分布でも成り立つ（導出は「数式の直観的意味」）。

和の期待値（2変数）── 独立を仮定しないのが最重要

\boxed{\,E[X+Y]=E[X]+E[Y]\,}\qquad(\text{独立でなくてもつねに成立})

要するに**「和の期待値＝期待値の和。2変数が絡んでいても無条件でOK」**。ここが期待値の最大の強み。独立の仮定 $p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)$ を1度も使わずに導ける（「数式の直観的意味」）。これが「分散の加法性」と決定的に違う点。

一般形（まとめて使う形）

E[aX+bY]=a\,E[X]+b\,E[Y]\qquad(\text{つねに成立})

さらに $n$ 個でも $E\!\left[\sum_{i=1}^n a_i X_i\right]=\sum_{i=1}^n a_i E[X_i]$ 。期待値は完全に線形で、独立性に一切依存しない。

2. 分散の性質： $V[aX+b]=a^2 V[X]$

\boxed{\,V[aX+b]=a^2\,V[X]\,}\qquad(\sigma[aX+b]=|a|\,\sigma[X])

要するに**「足した定数 $b$ は分散に効かない（散らばりは平行移動で変わらない）。掛けた定数 $a$ は2乗で効く」**。

$b$ が消える直観：分散は「平均からのズレ」だけで決まる量。データ全体を $+b$ 平行移動しても、各点と平均の距離は変わらない（標準偏差も同じ。散らばり（ばらつき）の指標 ── 範囲・四分位範囲・分散・標準偏差・変動係数（なぜ偏差を2乗するか／なぜn−1で割るか））。
$a$ が2乗で出る直観： $a$ 倍するとズレも $a$ 倍。分散はそのズレを2乗するので $a^2$ 倍。標準偏差なら $|a|$ 倍（ $\sqrt{a^2}=|a|$ に注意）。

3. 共分散：定義と計算公式

\boxed{\,\mathrm{Cov}(X,Y)=E\big[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\big]=E[XY]-E[X]\,E[Y]\,}

要するに**「 $X$ が平均からズレる向き × $Y$ が平均からズレる向き、の平均」＝「積の期待値 − 期待値の積」**。2変数が一緒に同じ向きに動くか、逆向きに動くかを測る。

両方とも平均より上（または両方とも下）になりやすい → 積が正 → $\mathrm{Cov}>0$ （正の相関）
片方が上のとき他方が下になりやすい → 積が負 → $\mathrm{Cov}<0$ （負の相関）
どちらでもなくバラバラ → 打ち消し合って $\mathrm{Cov}\approx 0$ （無相関）

$V[X]=E[X^2]-(E[X])^2$ の2変数版で、 $Y=X$ とすれば $\mathrm{Cov}(X,X)=E[X^2]-(E[X])^2=V[X]$ に戻る。

Phase 1 の標本共分散とのつながり：記述統計の標本共分散 $s_{xy}=\frac1n\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$ （2変数の記述（散布図・共分散・相関係数）── 相関≠因果／rは直線関係しか測れない／外れ値1点で激変）は、この $\mathrm{Cov}(X,Y)$ の標本版。 $\bar x\to\mu_X$ 、 $\frac1n\sum\to E[\cdot]$ と置き換えれば母集団・理論版になる。

共分散の双線形性（準1級の共分散行列計算で効く）：

\mathrm{Cov}(aX+b,\ cY+d)=ac\,\mathrm{Cov}(X,Y),\qquad \mathrm{Cov}(X,\ Y+Z)=\mathrm{Cov}(X,Y)+\mathrm{Cov}(X,Z)

定数足し $b,d$ は共分散に効かない、定数倍 $a,c$ は掛かって出る。 $\mathrm{Cov}(X,X)=V[X]$ も基本性質。

4. 和の分散： $V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2\,\mathrm{Cov}(X,Y)$

\boxed{\,V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2\,\mathrm{Cov}(X,Y)\,}

要するに**「和の分散＝各分散の和＋一緒に動く度合いの2倍」**。期待値と違って、ここに $\mathrm{Cov}$ という余計な項が出る（導出は「数式の直観的意味」）。

差の分散（ $Y\to -Y$ とすると $\mathrm{Cov}(X,-Y)=-\mathrm{Cov}(X,Y)$ 、 $V[-Y]=V[Y]$ ）：

V[X-Y]=V[X]+V[Y]-2\,\mathrm{Cov}(X,Y)

⚠️ 差でも分散は足し算が基本（ $+V[Y]$ ）。引かれるのは共分散の項だけ。「差だから $V[X]-V[Y]$ 」は誤り。

一般形：

V[aX+bY]=a^2 V[X]+b^2 V[Y]+2ab\,\mathrm{Cov}(X,Y),\qquad V\!\left[\sum_{i=1}^n X_i\right]=\sum_{i=1}^n V[X_i]+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)

$n$ 変数だと、すべてのペア $(i,j)$ の共分散が効く。全ペアが無相関なら第2項が消えて、分散はきれいに足し算になる（次節）。

5. 独立性との関係 ── 本トピック最大の引っかけ

独立 ⟹ 無相関（共分散ゼロ）

$X,Y$ が独立なら $E[XY]=E[X]E[Y]$ が成り立つ（導出は「数式の直観的意味」）。したがって

\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=0\quad(\text{独立 } \Rightarrow \text{ 無相関}).

独立なら分散は足し算（分散の加法性）

$\mathrm{Cov}=0$ なら $V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2\cdot 0$ 。つまり

\boxed{\,X,Y \text{ が独立（無相関）} \Rightarrow V[X+Y]=V[X]+V[Y]\,}

$n$ 個でも、互いに独立なら全ペアの共分散が0なので $V\!\left[\sum X_i\right]=\sum V[X_i]$ 。これが後の二項分布・標本平均の計算の土台（第7節）。

逆は成り立たない ── 無相関でも独立とは限らない

\text{独立} \Rightarrow \text{無相関}\qquad\text{だが}\qquad \text{無相関} \not\Rightarrow \text{独立}

$\mathrm{Cov}=0$ （無相関）は直線的な関係がないことしか言わない。非線形な依存があっても共分散は0になりえる（2変数の記述（散布図・共分散・相関係数）── 相関≠因果／rは直線関係しか測れない／外れ値1点で激変の「 $r\approx0$ でもU字の強い関係がありうる」と同じ話）。

反例： $X$ を $-1,0,1$ が等確率 $\frac13$ の確率変数、 $Y=X^2$ とおく。 $Y$ は完全に $X$ で決まる（強い依存＝独立でない）のに：

$E[X]=\frac{-1+0+1}{3}=0$
$E[XY]=E[X\cdot X^2]=E[X^3]=\frac{(-1)^3+0^3+1^3}{3}=0$
よって $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=0-0\cdot E[Y]=0$ （無相関）

$Y=X^2$ という完全な依存関係があるのに共分散は0。「無相関だから独立」は誤り。

例外： $X,Y$ が二変量正規分布に従う場合に限り「無相関 ⟺ 独立」が成り立つ（準1級）。一般には片方向だけ。

期待値の加法性 vs 分散の加法性（核心の対比）

	期待値	分散
加法性の式	$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$	$V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2\mathrm{Cov}(X,Y)$
独立は必要か	不要（つねに成立）	無相関（独立）が必要
独立でないとき	そのまま成立	$+2\mathrm{Cov}$ の補正が必要
差のとき	$E[X-Y]=E[X]-E[Y]$	$V[X-Y]=V[X]+V[Y]-2\mathrm{Cov}$ （＋のまま）

この表が本トピックで覚える唯一にして最大のポイント。 期待値は無条件、分散は条件付き（無相関のとき）。試験はこの差を執拗に突いてくる。

下のフローは「独立性から何が言えるか」の一方向の含意（点線の「逆は不成立」が反例）。

flowchart LR
  A["X, Y が独立"] --> B["E[XY]=E[X]E[Y]"]
  B --> C["Cov(X,Y)=0（無相関）"]
  C --> D["V[X+Y]=V[X]+V[Y]"]
  C -.->|"逆は不成立"| A

6. 相関係数（母集団版）

共分散は単位に依存して大小で強さを測れない（2変数の記述（散布図・共分散・相関係数）── 相関≠因果／rは直線関係しか測れない／外れ値1点で激変と同じ難点）。そこで標準偏差で割って無次元化したのが母相関係数：

\boxed{\,\rho=\rho_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\,\sigma_Y}\,}\qquad(-1\le\rho\le 1)

要するに**「共分散を単位で割って $-1\sim1$ に正規化したもの」**。標本相関係数 $r$ （2変数の記述（散布図・共分散・相関係数）── 相関≠因果／rは直線関係しか測れない／外れ値1点で激変）の母集団・理論版。

$-1\le\rho\le1$ の証明は標本版と同じコーシー・シュワルツ（期待値版 $\big(E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]\big)^2\le E[(X-\mu_X)^2]\,E[(Y-\mu_Y)^2]$ から $\rho^2\le1$ ）。2変数の記述（散布図・共分散・相関係数）── 相関≠因果／rは直線関係しか測れない／外れ値1点で激変の導出をそのまま $\sum\to E$ に読み替えればよい。
$\rho=\pm1$ ⟺ $Y=aX+b$ の完全な直線関係（確率1で）。
$\rho=0$ が無相関。 $\rho=0$ でも独立とは限らない（第5節）。

7. 応用：級の実戦力に直結する2つの計算

二項分布の分散 $np(1-p)$ を「独立和」で出す

二項分布 $X\sim B(n,p)$ は「成功確率 $p$ の試行を独立に $n$ 回やった成功回数」。これは独立なベルヌーイ変数 $n$ 個の和として書ける：

X=X_1+X_2+\cdots+X_n,\qquad X_i\sim\text{Bernoulli}(p)\ (\text{独立})

各 $X_i$ は $E[X_i]=p$ 、 $V[X_i]=p(1-p)$ （確率変数（離散・連続）と期待値・分散で導出済み）。

期待値（線形性、独立不要）： $E[X]=\sum_{i=1}^n E[X_i]=np$ 。
分散（独立だから加法性が使える）： $V[X]=\sum_{i=1}^n V[X_i]=np(1-p)$ 。

母関数を使わずに $np(1-p)$ がこれだけで出る。「分散の加法性が独立で成り立つ」ことの威力がよく分かる例。

標本平均の分散 $V[\bar X]=\sigma^2/n$ （大数の法則・CLTへの布石）

母平均 $\mu$ 、母分散 $\sigma^2$ の母集団から独立に $n$ 個を取った標本 $X_1,\dots,X_n$ （独立同分布 i.i.d.）。標本平均 $\bar X=\frac1n\sum_{i=1}^n X_i$ ：

期待値（線形性）： $E[\bar X]=\frac1n\sum E[X_i]=\mu$ 。標本平均の期待値は母平均そのもの（不偏性）。
分散（独立 ⟹ 加法性、さらに $V[aX]=a^2V[X]$ の $a=1/n$ ）：

V[\bar X]=V\!\left[\frac1n\sum_{i=1}^n X_i\right]=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n V[X_i]=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\boxed{\frac{\sigma^2}{n}}.

要するに**「標本を増やすほど標本平均のばらつきは $1/n$ で小さくなる」。標準偏差にすると $\sigma/\sqrt{n}$ で、これが標準誤差（standard error）。この $V[\bar X]=\sigma^2/n$ が、大数の法則（大数の法則（弱法則・強法則）： $n\to\infty$ で $V[\bar X]\to0$ ）と中心極限定理**（中心極限定理（CLT）： $\bar X\sim N(\mu,\sigma^2/n)$ ）の両方の出発点。 $\frac{1}{n^2}$ の $n^2$ と独立和の $n$ 個ぶんが約分して $1/n$ になるこの計算は推測統計のいたるところで出る。

8. 準1級への接続：共分散行列（分散共分散行列）

準1級では変数が増え、ベクトル・行列で一気に扱う。確率ベクトル $\mathbf{X}=(X_1,\dots,X_p)^\top$ に対して：

期待値ベクトル $\boldsymbol{\mu}=E[\mathbf{X}]=(E[X_1],\dots,E[X_p])^\top$
分散共分散行列（共分散行列）

\Sigma=V[\mathbf{X}]=E\big[(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})^\top\big],\qquad \Sigma_{ij}=\mathrm{Cov}(X_i,X_j)

対角に各変数の分散 $\Sigma_{ii}=V[X_i]$ 、非対角に共分散 $\Sigma_{ij}=\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ を並べた行列（ $2\times2$ の例）：

\Sigma=\begin{pmatrix} V[X_1] & \mathrm{Cov}(X_1,X_2)\\ \mathrm{Cov}(X_2,X_1) & V[X_2]\end{pmatrix}

$\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\mathrm{Cov}(X_j,X_i)$ なので** $\Sigma$ は対称行列**。さらに任意のベクトル $\mathbf{a}$ について $\mathbf{a}^\top\Sigma\mathbf{a}=V[\mathbf{a}^\top\mathbf{X}]\ge0$ なので半正定値（本節4-2の一般形 $V[aX_1+bX_2]=a^2V[X_1]+b^2V[X_2]+2ab\,\mathrm{Cov}$ が、行列で $\mathbf{a}^\top\Sigma\mathbf{a}$ とコンパクトに書ける）。この $\Sigma$ が多変量正規分布・主成分分析・マハラノビス距離の中心的な道具になる（準1級・Phase 6 多変量解析。※該当ノートはファイル名未確定のため将来作成時にリンク）。

試験での問われ方

2級（主）： $E[aX+b]$ ・ $E[X+Y]$ 、 $V[aX+b]=a^2V[X]$ 、 $\mathrm{Cov}=E[XY]-E[X]E[Y]$ 、 $V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2\mathrm{Cov}$ 、独立⟹ $\mathrm{Cov}=0$ 、母相関、二項分布の分散 $np(1-p)$ 、標本平均の分散 $\sigma^2/n$ （標準誤差 $\sigma/\sqrt n$ ）。公式問題集に出題実績多数。
準1級：期待値ベクトル、分散共分散行列 $\Sigma$ （対角=分散、非対角=共分散、対称・半正定値）、多変量への一般化、二変量正規での「無相関⟺独立」。
※出題範囲は改訂されうる。受験前に最新の範囲表で要最新確認。

数式の直観的意味

なぜ $E[aX+b]=aE[X]+b$ か（定義の分解）

期待値の定義 $E[g(X)]=\sum_x g(x)\,p(x)$ （連続は $\sum\to\int$ ）に $g(X)=aX+b$ を入れて和を分解する：

E[aX+b]=\sum_x (a x+b)\,p(x)=a\sum_x x\,p(x)+b\sum_x p(x)=a\,E[X]+b\cdot 1=aE[X]+b.

最後に $\sum_x p(x)=1$ （確率の合計は1）を使う。 $X$ がどんな分布でも成り立つ。

なぜ $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ は独立不要か（導出）

2変数の期待値は同時分布 $p(x,y)=P(X=x,Y=y)$ で $E[g(X,Y)]=\sum_x\sum_y g(x,y)p(x,y)$ と定義（厳密化は同時分布・周辺分布・条件付き分布）。 $g=X+Y$ を代入：

E[X+Y]=\sum_x\sum_y (x+y)\,p(x,y)=\sum_x\sum_y x\,p(x,y)+\sum_x\sum_y y\,p(x,y).

第1項は $x$ を内側の $\sum_y$ の外に出すと $\sum_y p(x,y)=p_X(x)$ （ $Y$ を足し潰した周辺分布・同時分布・周辺分布・条件付き分布）になり $\sum_x x\,p_X(x)=E[X]$ 。第2項も同様に $E[Y]$ 。独立の形 $p(x,y)=p_Xp_Y$ を一度も使わない。だから常に成立。

なぜ $V[aX+b]=a^2V[X]$ か（ $b$ が消える理由）

$Z=aX+b$ で $E[Z]=aE[X]+b$ 、ズレ $Z-E[Z]=(aX+b)-(aE[X]+b)=a(X-E[X])$ ── $b$ が引き算で消える。2乗の期待値で $a^2$ が外へ： $V[aX+b]=E[a^2(X-E[X])^2]=a^2 V[X]$ 。分散は「平均からのズレ」だけで決まる量だから、平行移動 $+b$ では不変、 $a$ 倍はズレを2乗するので $a^2$ 倍。

なぜ $\mathrm{Cov}=E[XY]-E[X]E[Y]$ か（導出）

定義の中身を展開し、期待値の線形性で項ごとにバラす（ $\mu_X,\mu_Y$ は定数）：

\mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=E[XY]-\mu_X E[Y]-\mu_Y E[X]+\mu_X\mu_Y=E[XY]-\mu_X\mu_Y.

中央の2項 $-\mu_X\mu_Y-\mu_Y\mu_X=-2\mu_X\mu_Y$ と末尾 $+\mu_X\mu_Y$ が打ち消して $-\mu_X\mu_Y$ が残る（分散公式と同構造）。

なぜ $V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2\mathrm{Cov}$ か（導出）

$V[X+Y]=E[(X+Y)^2]-(E[X+Y])^2$ を展開：

E[(X+Y)^2]=E[X^2]+2E[XY]+E[Y^2],\qquad (E[X+Y])^2=(E[X])^2+2E[X]E[Y]+(E[Y])^2.

引き算して $\{E[X^2]-(E[X])^2\}+\{E[Y^2]-(E[Y])^2\}+2\{E[XY]-E[X]E[Y]\}=V[X]+V[Y]+2\mathrm{Cov}(X,Y)$ 。

なぜ独立で $\mathrm{Cov}=0$ か（独立がここで効く）

独立 $p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)$ （条件付き確率・独立性・全確率の定理）なら

E[XY]=\sum_x\sum_y xy\,p_X(x)p_Y(y)=\Big(\sum_x x\,p_X(x)\Big)\Big(\sum_y y\,p_Y(y)\Big)=E[X]E[Y].

二重和が「 $x$ だけの和」と「 $y$ だけの和」の積に分離できるのは、 $p(x,y)$ が積の形だから。独立がここで初めて本質的に効く。よって $\mathrm{Cov}=E[XY]-E[X]E[Y]=0$ 。

期待値の加法性 vs 分散の加法性（なぜ差が出るか）

期待値の和の導出には積 $XY$ が現れず、周辺分布に潰すだけで済む。一方、分散の和には必ず $E[XY]$ が現れ、これを $E[X]E[Y]$ に分離するには独立が要る。 $E[XY]\ne E[X]E[Y]$ のズレがそのまま共分散として残るかどうかが両者の差。要するに**「積 $XY$ が出るかどうか」**が分かれ目。

⚠️ 引っかけポイント・頻出論点・級ごとの差

期待値の加法性は独立不要／分散の加法性は無相関必要（最重要）：本トピック最大の山。 $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ はいつでも、 $V[X+Y]=V[X]+V[Y]$ は無相関のときだけ。混同しない。
独立 ⟹ 無相関だが逆は不成立： $\mathrm{Cov}=0$ は「直線関係なし」を言うだけ。 $Y=X^2$ （ $X$ が $-1,0,1$ 等確率）は $E[XY]=E[X^3]=0,\ E[X]=0$ で $\mathrm{Cov}=0$ なのに完全従属。「無相関だから独立」は誤り。例外は二変量正規（無相関⟺独立）。
差の分散も $+V[Y]$ ： $V[X-Y]=V[X]+V[Y]-2\mathrm{Cov}$ 。「差だから $V[X]-V[Y]$ 」は誤り。分散本体は足し算、引かれるのは共分散だけ。独立なら $V[X-Y]=V[X]+V[Y]$ 。
$V[aX+b]$ で $b$ を消し忘れ／ $a$ を1乗にする：定数足しは分散に効かない、定数倍は2乗。標準偏差なら $|a|$ 倍。
標本平均の分散は $\sigma^2/n$ （ $\sigma^2/n^2$ ではない）： $\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2$ の約分。 $n$ を増やすとばらつきが $1/n$ で縮む。
$\mathrm{Cov}(X,X)=V[X]$ ：共分散の同変数版が分散。分散共分散行列の対角になる。
共分散の符号と大きさ：符号が向き、大きさは単位依存で強さを測れない（無次元化が $\rho$ ）。 $\mathrm{Cov}>0$ で和の分散は増、 $<0$ で減。
級差：2級＝線形性・ $V[aX+b]$ ・共分散・ $V[X+Y]$ ・独立⟹無相関・母相関・ $np(1-p)$ ・ $\sigma^2/n$ 。準1級＝期待値ベクトル・分散共分散行列 $\Sigma$ （対称・半正定値、 $\mathbf a^\top\Sigma\mathbf a=V[\mathbf a^\top\mathbf X]$ ）・多変量への一般化。

よくある疑問

Q1. なぜ期待値だけ独立がいらないのに、分散には独立がいるの？

A. 期待値の和の導出では、同時分布 $p(x,y)$ を足し潰して周辺分布にするだけで済み、 $p(x,y)=p_X p_Y$ という独立の形は使いませんでした。一方、分散の和には必ず $E[XY]$ が現れ、これを $E[X]E[Y]$ に分離するには独立が必要。 $E[XY]\ne E[X]E[Y]$ のズレがそのまま共分散 $\mathrm{Cov}=E[XY]-E[X]E[Y]$ で、これが残るかどうかが両者の差です。要するに**「積 $XY$ が出るかどうか」**が分かれ目です。

Q2. 「無相関」と「独立」は同じ意味では？

A. 違います。独立 ⟹ 無相関は正しいですが、逆は不成立。無相関は $\mathrm{Cov}=0$ 、つまり「直線的な関係がない」だけ。 $Y=X^2$ のような非線形の完全な依存があっても $\mathrm{Cov}=0$ になりえます（反例）。「無相関だから独立、だから何でも分離できる」と進めると誤りです。ただし二変量正規分布に限れば「無相関 ⟺ 独立」が成り立ちます（準1級）。

Q3. 差の分散はなぜ $V[X]-V[Y]$ じゃないの？

A. 分散は必ず非負で、ばらつきは引き算で減るものではないからです。 $V[X-Y]=V[X+(-Y)]$ と見て、 $V[-Y]=(-1)^2V[Y]=V[Y]$ （ $a=-1$ を2乗）。共分散は $\mathrm{Cov}(X,-Y)=-\mathrm{Cov}(X,Y)$ で符号が反転。結果 $V[X-Y]=V[X]+V[Y]-2\mathrm{Cov}(X,Y)$ 。分散の本体は足し算（ $+V[Y]$ ）のまま、符号が変わるのは共分散の項だけです。独立なら $V[X-Y]=V[X]+V[Y]$ （和でも差でも同じ）。

Q4. 標本平均の分散がなぜ $\sigma^2/n$ （ $\sigma^2/n^2$ じゃない）？

A. $\bar X=\frac1n\sum X_i$ で、定数 $\frac1n$ は2乗で外に出るので $\frac{1}{n^2}V[\sum X_i]$ 。独立なので $V[\sum X_i]=\sum V[X_i]=n\sigma^2$ 。よって $\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}$ 。 $\frac{1}{n^2}$ の $n^2$ と、独立和の $n$ 個ぶんが約分して $\frac1n$ が残るのがポイントです。

Q5. $\mathrm{Cov}(X,X)$ は何になる？

A. $\mathrm{Cov}(X,X)=E[X\cdot X]-E[X]E[X]=E[X^2]-(E[X])^2=V[X]$ 。共分散の特別な場合（同じ変数同士）が分散です。だから分散共分散行列の対角に分散が並びます。

まとめ

期待値は完全に線形： $E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$ 。独立は一切不要、つねに成立。同時分布の和から導出され、独立の仮定 $p(x,y)=p_X p_Y$ をどこにも使わないのが理由。
$V[aX+b]=a^2V[X]$ ：足した定数 $b$ は消える（平行移動で散らばりは不変）、掛けた定数 $a$ は2乗で出る。
共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$ は標本共分散 $s_{xy}$ の母集団版。 $\mathrm{Cov}(X,X)=V[X]$ 。
和の分散 $V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2\mathrm{Cov}(X,Y)$ 。差でも $+V[Y]$ 、引かれるのは共分散だけ。
核心の非対称性：期待値の加法性は無条件、分散の加法性は無相関（独立）のときだけ。
独立 ⟹ 無相関だが、逆は不成立（ $Y=X^2$ が反例）。無相関は「直線関係なし」を言うだけ。
応用：二項分布の分散 $np(1-p)$ 、標本平均の分散 $\sigma^2/n$ （標準誤差 $\sigma/\sqrt{n}$ ）はどちらも独立和の分散から出る。大数の法則・中心極限定理の出発点。
準1級：これらを期待値ベクトル・分散共分散行列 $\Sigma$ （対称・半正定値）に一般化する。

対応するシミュレーション

simulations/kitaichi_bunsan_seishitsu_wa_no_bunsan.py
- 何を示すか：独立・正相関・負相関の3ケースで2変数を生成し、 $V[X+Y]$ の実測が公式 $V[X]+V[Y]+2\mathrm{Cov}$ に一致することを確認。3ケースの散布図と棒グラフも出力。
- 実行結果（seed=0、 $V[X]\approx V[Y]\approx1$ ）：独立 $V[X+Y]$ 実測=2.005（公式2.005、分散の和1.995）／正相関 $\mathrm{Cov}=+0.799$ で実測=3.598（分散の和2.0より大）／負相関 $\mathrm{Cov}=-0.800$ で実測=0.401（分散の和2.0より小）。実測=公式が全ケース一致。和の分散が共分散で増減することを実証。

和の分散と共分散の関係（独立・正相関・負相関）

simulations/kitaichi_bunsan_seishitsu_nikou_bernoulli.py
- 何を示すか：独立ベルヌーイ $n$ 回の和（＝二項分布）の分散が $np(1-p)$ に一致することを確認。
- 実行結果（ $n=20,p=0.3$ ）：ベルヌーイ1回の分散実測=0.21（理論 $p(1-p)$ =0.21）／二項の期待値実測=6.00（理論 $np$ =6.0）／二項の分散実測=4.19（理論 $np(1-p)$ =4.2、 $n\times$ ベルヌーイ分散=4.20とも一致）。独立和の分散＝分散の和を二項分布で実証。

二項分布の分散は独立ベルヌーイ和