詳細釣り合いと可逆連鎖

🎓 レベル：発展　|　重要度：A（MCMC の土台） 📎 前提：定常分布と収束

要点（BLUF）

詳細釣り合い： $\pi_i p_{ij} = \pi_j p_{ji}$ 。状態 $i\to j$ の確率流と $j\to i$ の確率流が各ペアで釣り合う、という強い条件です。
詳細釣り合いを満たせば $\pi$ は自動的に定常分布になります（逆は成り立たない＝可逆は十分条件）。このとき連鎖は可逆（時間反転に対して同じ法則）。
MCMC（メトロポリス法）は、狙った分布 $\pi$ に対して詳細釣り合いを成り立たせる遷移を設計することで、 $\pi$ からのサンプリングを実現します。

概念

定常分布と収束の $\pi P=\pi$ は「全体としての出入りの釣り合い（大域釣り合い）」でした。詳細釣り合いはもっと強く、「どの2状態のペアでも、行き来の確率流が個別に等しい（局所釣り合い）」を要求します。これは平衡熱力学の可逆性に対応し、満たされれば定常性が自動で従うので、定常分布を「設計」する強力な道具になります。

数式による定式化

分布 $\pi$ と遷移行列 $P$ が詳細釣り合いを満たすとは

\pi_i\, p_{ij} = \pi_j\, p_{ji} \qquad (\forall i, j)

このとき $j$ について和をとると

\sum_i \pi_i p_{ij} = \sum_i \pi_j p_{ji} = \pi_j \sum_i p_{ji} = \pi_j

すなわち $\pi P = \pi$ 。詳細釣り合い $\Rightarrow$ 定常、が示せました。詳細釣り合いを満たす連鎖を可逆と呼びます。定常状態で時間を反転しても遷移法則が同じ、つまり $(X_0,X_1,\dots,X_n)$ と $(X_n,\dots,X_1,X_0)$ が同分布だからです。

メトロポリス法：目標分布 $\pi$ に対し、提案 $q_{ij}$ を採択確率

\alpha_{ij} = \min\left(1,\ \frac{\pi_j\, q_{ji}}{\pi_i\, q_{ij}}\right)

で受理すると、実効遷移 $p_{ij}=q_{ij}\alpha_{ij}$ が $\pi$ について詳細釣り合いを満たします。

直観

要するに「各2地点間で人の流れが完全に均衡している」状態です。大域釣り合い（定常）は「各都市の人口が変わらない」だけですが、詳細釣り合いは「都市Aから都市Bへ行く人数と、BからAへ来る人数が一対一で等しい」。後者なら前者は当然成立します。MCMC は採択確率という「料金所」を設けて、この一対一の均衡を人工的に作り出します。

具体例

出生死亡型の可逆連鎖（隣接状態としか行き来しない）で、詳細釣り合いが厳密に成り立つことを確認します。

import numpy as np
Pb = np.array([[0.5, 0.5, 0.0, 0.0],
               [0.25, 0.5, 0.25, 0.0],
               [0.0, 0.25, 0.5, 0.25],
               [0.0, 0.0, 0.5, 0.5]])
vals, vecs = np.linalg.eig(Pb.T)
pi = np.real(vecs[:, np.argmin(np.abs(vals - 1))]); pi /= pi.sum()
print("定常分布 pi =", np.round(pi, 4))
maxdiff = max(abs(pi[i]*Pb[i, j] - pi[j]*Pb[j, i])
              for i in range(4) for j in range(4))
print(f"詳細釣り合い |pi_i p_ij - pi_j p_ji| の最大 = {maxdiff:.2e} (0なら可逆)")
# 定常分布 pi = [0.1667 0.3333 0.3333 0.1667]
# 詳細釣り合い |pi_i p_ij - pi_j p_ji| の最大 = 8.33e-17 (0なら可逆)

すべてのペアで確率流が（数値誤差の範囲で）厳密に釣り合っています。隣接状態としか遷移しない一次元的な連鎖は常に可逆です。

他過程との関係

連続時間版は定常分布と詳細釣り合いの $\pi_i q_{ij}=\pi_j q_{ji}$ 。出生死亡過程はその代表例です。
可逆性はマルチンゲールの定義と例の時間反転論法や、スペクトルが実数になる（対称化できる）という解析上の利点をもたらします。

数式の直観的意味

可逆連鎖は $D^{1/2}PD^{-1/2}$ （ $D=\mathrm{diag}(\pi)$ ）が対称行列になるため、固有値がすべて実数になります。これは定常分布と収束の収束速度（スペクトルギャップ）の解析を容易にし、MCMC の混合時間評価の基礎になります。可逆性は「設計しやすさ」と「解析しやすさ」を同時に与えるのです。

⚠️ よくある誤解

可逆は定常の十分条件であって必要条件ではない。定常分布を持つが詳細釣り合いを満たさない連鎖（一方向に循環する流れを持つ非可逆連鎖）はたくさんあります。むしろ非可逆連鎖の方が速く混合することもあり、近年の MCMC 研究のテーマです。
「可逆＝時間を巻き戻せる」物理的可逆ではない。あくまで定常状態での統計的対称性です。
メトロポリスの採択確率に提案の非対称 $q_{ji}/q_{ij}$ を忘れない。対称提案なら $\min(1,\pi_j/\pi_i)$ ですが、非対称提案ではヘイスティングス比が必要です。

対応シミュレーション

メトロポリス法の実装（離散分布 $\pi$ を狙って詳細釣り合いを満たす連鎖を構成）は MCMC の実装としてベイズ／シミュレーション分野へ wikilink します。理論（詳細釣り合いが定常を保証する）はここ、推論応用はベイズです。