伊藤積分｜確率過程

🎓 レベル：発展　|　重要度：A（必須） 📎 前提：ブラウン運動の定義と性質、マルチンゲールの定義と例

要点（BLUF）

伊藤積分 $\int_0^T f\,dB$ は、被積分関数を各小区間の左端点で評価したリーマン和の（ $L^2$ ）極限。左端点固定が決定的です。
ブラウン運動は二次変分が正（ブラウン運動の定義と性質）なので、評価点を左にするか右にするかで積分値が変わります（普通の積分と違う）。
左端点を選ぶ報酬：(1) 伊藤積分はマルチンゲール、(2) 伊藤等長 $\mathbb{E}[(\int f\,dB)^2]=\mathbb{E}[\int f^2\,dt]$ が成り立つ。

概念

普通の積分 $\int g\,dh$ は、 $h$ が滑らかなら評価点をどこに取っても同じ値に収束します。しかしブラウン運動は粗く（二次変分が $t$ ）、評価点の取り方が極限に残ります。伊達はここで「未来を見ない」＝各区間の左端で被積分関数を評価する流儀を選びました。これにより積分が賭けの「現時点の手持ち情報だけで張るベット」になり、マルチンゲール性という宝が手に入ります。

数式による定式化

分割 $0=t_0<\cdots<t_n=T$ （メッシュ→0）に対し、適合過程 $f$ の伊藤積分は

\int_0^T f_t\,dB_t = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} f_{t_k}\,(B_{t_{k+1}}-B_{t_k}) \quad (L^2\text{極限})

評価点が**左端 $t_k$ **であることが本質。代表計算：

\int_0^T B_t\,dB_t = \frac{B_T^2 - T}{2}

普通の微積分なら $\frac12 B_T^2$ ですが、 $-\frac T2$ が余分に出ます。マルチンゲール性： $M_t=\int_0^t f\,dB$ はマルチンゲールで $\mathbb{E}[M_t]=0$ 。伊藤等長：

\mathbb{E}\!\left[\left(\int_0^T f_t\,dB_t\right)^2\right] = \mathbb{E}\!\left[\int_0^T f_t^2\,dt\right]

直観

要するに「ベットは結果を見る前に置く」。左端 $f_{t_k}$ は時刻 $t_k$ までの情報で決まり、次の増分 $B_{t_{k+1}}-B_{t_k}$ （平均0・未来）とは独立。だから各項の期待値が0になり、和もマルチンゲール（公平）。もし右端 $f_{t_{k+1}}$ を使うと、被積分関数と増分が相関してしまい、 $+\frac T2$ のズレ（二次変分由来）が生じます。伊藤等長は「ばらつきは二乗を時間で積分した量」という、確率積分版のピタゴラスの定理です。

具体例

左端点和が $(B_T^2-T)/2$ に一致すること、右端点との差が二次変分 $T$ になること、伊藤等長が成り立つことを確認します。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(1)
n_paths, T, n_steps = 200000, 1.0, 2000
dt = T/n_steps
dB = rng.normal(0, np.sqrt(dt), size=(n_paths, n_steps))
B = np.concatenate([np.zeros((n_paths, 1)), np.cumsum(dB, axis=1)], axis=1)
left = (B[:, :-1]*dB).sum(axis=1)                  # 左端点（伊藤）
ito_theory = (B[:, -1]**2 - T)/2                   # (B_T^2 - T)/2
print(f"E[左端点和]={left.mean():+.4f}  E[(B_T^2-T)/2]={ito_theory.mean():+.4f} (ともに0)")
print(f"相関(左端点和, (B_T^2-T)/2)={np.corrcoef(left, ito_theory)[0,1]:.4f} (1で一致)")
right = (B[:, 1:]*dB).sum(axis=1)                  # 右端点（伊藤ではない）
print(f"右端点和-左端点和 の平均={(right-left).mean():.4f} (理論 二次変分=T={T})")
lhs = (left**2).mean(); rhs = ((B[:, :-1]**2).sum(axis=1)*dt).mean()
print(f"伊藤等長: E[(∫BdB)^2]={lhs:.4f} = E[∫B^2 dt]={rhs:.4f} (理論 T^2/2=0.5)")
# E[左端点和]=+0.0003  E[(B_T^2-T)/2]=+0.0003 (ともに0)
# 相関(左端点和, (B_T^2-T)/2)=0.9998 (1で一致)
# 右端点和-左端点和 の平均=1.0001 (理論 二次変分=T=1.0)
# 伊藤等長: E[(∫BdB)^2]=0.5026 = E[∫B^2 dt]=0.4991 (理論 T^2/2=0.5)

左端点和が経路ごとに $(B_T^2-T)/2$ と一致（相関0.9998）。右端点との差はちょうど二次変分 $T=1$ で、積分点の選択が値を変えることが見えます。伊藤等長も $T^2/2=0.5$ で成立。

他過程との関係

伊藤積分がマルチンゲールであることはマルチンゲールの定義と例の連続時間版。マルチンゲール性を保つために左端点を選ぶ、というのが設計思想です。
右端点と左端点の中点を取るとストラトノヴィッチ積分になり、普通の連鎖律が成り立つ代わりにマルチンゲール性を失います。物理では便利ですが、金融・確率論では伊藤が標準です。

数式の直観的意味

$\int B\,dB=(B_T^2-T)/2$ の $-T/2$ は二次変分の落とし子です。 $\sum B_{t_k}(B_{t_{k+1}}-B_{t_k}) = \frac12\sum(B_{t_{k+1}}^2-B_{t_k}^2) - \frac12\sum(B_{t_{k+1}}-B_{t_k})^2$ と分解すると、第1項が $\frac12 B_T^2$ 、第2項が二次変分 $\frac12 T$ 。普通の関数なら第2項は消えますが、ブラウン運動では $T$ として残ります。これが伊藤の公式の補正項の源泉です。

⚠️ よくある誤解

積分点の選択は流儀の問題ではなく値を変える。滑らかな積分と違い、左端・右端・中点で別の値になります。「伊藤＝左端」を徹底すること。
伊藤積分は経路ごとには定義できても、通常の意味の積分ではない。 $L^2$ 極限（平均二乗収束）で定義され、各経路で別々に極限が取れるとは限りません。
被積分関数は適合（未来を見ない）でなければならない。 $f_{t_k}$ が時刻 $t_k$ までの情報で決まることがマルチンゲール性の前提です。

対応シミュレーション

本文コードの n_steps を増やすと左端点和と $(B_T^2-T)/2$ の一致が精緻化します。ストラトノヴィッチ（中点）との比較は stochastic-processes-study/simulations/ に置きます。