ブラウン運動の定義と性質

🎓 レベル：発展　|　重要度：A（必須） 📎 前提：定常性と独立増分、ランダムウォークと再帰性

要点（BLUF）

ブラウン運動 $B_t$ ： $B_0=0$ 、独立・定常な増分、 $B_t-B_s\sim N(0,t-s)$ 、標本路が連続。これらが過程を一意に決めます。
軌道は連続だが至るところ微分不可。微小区間の変化 $|\Delta B|\sim\sqrt{\Delta t}$ なので、傾き $\Delta B/\Delta t\sim 1/\sqrt{\Delta t}$ が発散します。
二次変分 $\sum(\Delta B)^2 \to t$ （確率収束）。これがブラウン運動の「粗さ」の指紋で、伊藤解析の出発点です。

概念

ランダムウォークの歩幅を縮め、回数を増やして極限をとると、連続なランダム曲線が現れます。これがブラウン運動です。中心極限定理により増分は必ず正規分布になり、独立・定常増分・連続性という3条件だけで過程が決まります。連続なのに微分できない — この矛盾めいた性質が、通常の微積分が使えず確率解析が必要になる理由です。

数式による定式化

標準ブラウン運動 $\{B_t\}_{t\ge0}$ は次を満たす過程：

B_0 = 0, \qquad B_t - B_s \sim N(0,\, t-s)\ (s<t), \qquad \text{増分は独立}, \qquad t\mapsto B_t \text{ は連続}

帰結として $\mathbb{E}[B_t]=0$ 、 $\mathrm{Var}(B_t)=t$ 、共分散 $\mathrm{Cov}(B_s,B_t)=\min(s,t)$ （有限次元分布とコルモゴロフの拡張定理の $K(s,t)=\min(s,t)$ がまさにこれ）。二次変分：分割 $0=t_0<\cdots<t_n=t$ （メッシュ→0）で

\sum_{k}(B_{t_{k+1}}-B_{t_k})^2 \xrightarrow{P} t

通常の連続関数なら二次変分は0ですが、ブラウン運動は正の二次変分を持ちます。これが「微分不可なほど粗い」ことの定量的表現です。

直観

要するに「変化が時間の平方根で効く」過程です。 $\Delta B\sim\sqrt{\Delta t}$ なので、時間を半分にしても変化は $1/\sqrt2$ にしか縮まない。だから傾き $\Delta B/\Delta t\sim1/\sqrt{\Delta t}$ は時間を細かくするほど大きくなり、微分が存在しません。一方、 $(\Delta B)^2\sim\Delta t$ は足し合わせると $t$ に収束する — 一次の変化（傾き）は暴れるのに、二次の変化（変分）はきれいに $t$ に揃う。この非対称が確率解析の鍵です。

具体例

ブラウン運動を細かい時間刻みで生成し、 $\mathrm{Var}(B_t)=t$ 、二次変分 $\to t$ 、そして刻みを細かくするほど傾きが発散することを確認します。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(1)
n_paths, T, n_steps = 100000, 1.0, 1000
dt = T/n_steps
dB = rng.normal(0, np.sqrt(dt), size=(n_paths, n_steps))   # 増分 ~ N(0, dt)
B = np.cumsum(dB, axis=1)
for frac in [0.25, 0.5, 1.0]:
    idx = int(frac*n_steps) - 1
    print(f"t={frac}: E[B_t]={B[:, idx].mean():+.4f}(理論0) Var={B[:, idx].var():.4f}(理論{frac})")
qv = (dB**2).sum(axis=1)                                   # 二次変分
print(f"二次変分 sum(dB^2): 平均={qv.mean():.4f} (理論 T={T}) 標準偏差={qv.std():.4f}")
for ns in [100, 10000, 1000000]:
    d = T/ns
    dBs = rng.normal(0, np.sqrt(d), size=200000)
    print(f"dt=1/{ns}: 平均|dB/dt|={np.abs(dBs/d).mean():.1f} (dt→0 で発散＝非微分)")
# t=0.25: E[B_t]=+0.0022(理論0) Var=0.2498(理論0.25)
# t=0.5: E[B_t]=+0.0036(理論0) Var=0.4990(理論0.5)
# t=1.0: E[B_t]=+0.0015(理論0) Var=1.0033(理論1.0)
# 二次変分 sum(dB^2): 平均=1.0002 (理論 T=1.0) 標準偏差=0.0446
# dt=1/100: 平均|dB/dt|=8.0 (dt→0 で発散＝非微分)
# dt=1/10000: 平均|dB/dt|=79.9 (dt→0 で発散＝非微分)
# dt=1/1000000: 平均|dB/dt|=797.1 (dt→0 で発散＝非微分)

分散はちょうど $t$ 、二次変分は $T=1$ に集中（標準偏差0.04と小さい）。傾きの平均は刻みを $1/100$ 倍にするごとに約10倍に増え（ $1/\sqrt{\Delta t}$ のスケール）、微分が存在しないことが数値で見えます。

他過程との関係

ブラウン運動はランダムウォークと再帰性のスケール極限（ドンスカーの不変原理）で、離散の和が連続の拡散になります。増分が連続値という点でポアソン過程（整数値ジャンプ）と対をなすレヴィ過程の代表です。
$B_t$ と $B_t^2-t$ はマルチンゲールの定義と例の連続時間マルチンゲール。二次変分が $t$ であることは「 $B_t^2-t$ がマルチンゲール」と同じ事実の言い換えです。

数式の直観的意味

二次変分 $\to t$ は伊藤解析の心臓部です。テイラー展開で $f(B_{t+dt})-f(B_t)\approx f'(B_t)\,dB + \frac12 f''(B_t)(dB)^2$ としたとき、通常なら $(dB)^2$ は無視できる高次項ですが、ブラウン運動では $(dB)^2\approx dt$ と一次の項として残る。これが伊藤の公式に余分な $\frac12 f''\,dt$ 項を生む根本原因で、確率微積分が普通の微積分と違う唯一にして最大の理由です。

⚠️ よくある誤解

「連続なら微分できる」は誤り。ブラウン運動は連続だが確率1で至るところ微分不可。だから $dB/dt$ （ホワイトノイズ）は通常の関数として存在せず、 $dB$ という増分の形でしか扱えません。
二次変分はランダムでなく確定値 $t$ 。個々の軌道の細部はランダムでも、二次変分は（メッシュ→0で）すべての軌道で $t$ に収束します。これが「粗さは普遍的」という意味です。
離散シミュレーションの二次変分は刻みに依存しない。 $\sum(\Delta B)^2$ は刻み数を変えても $t$ に集中します（一次変分は刻みとともに発散するのと対照的）。

対応シミュレーション

本文コードの n_steps を増減しても二次変分は $T$ に集中し、傾きは刻みとともに発散します。複数の軌道を重ねた可視化（束が $\sqrt{t}$ で広がる）は stochastic-processes-study/simulations/ に置きます。