反射原理と最大値分布

🎓 レベル：発展　|　重要度：B（経路の性質） 📎 前提：ブラウン運動の定義と性質、停止時刻と任意停止定理

要点（BLUF）

反射原理：ブラウン運動が水準 $a$ に初めて到達した後、その時刻以降の経路を $a$ で鏡映しても確率法則が変わらない（強マルコフ性＋対称性）。
帰結：走行最大値 $M_t=\max_{s\le t}B_s$ の分布は $P(M_t\ge a)=2P(B_t\ge a)$ 。
さらに $M_t$ は $|B_t|$ と同分布。到達時刻の分布もこの原理から芋づる式に出ます。

概念

「ブラウン運動が時刻 $t$ までに高さ $a$ に届いたか」を直接数えるのは難しそうですが、反射原理という鏡のトリックで一気に解けます。一度 $a$ に触れた経路を、その瞬間から上下反転させても、増分の対称性（ $+dB$ と $-dB$ が同確率）から確率は不変。この対称性を使うと、最大値の分布が終端値の分布に化けます。

数式による定式化

到達時刻 $\tau_a=\inf\{t: B_t=a\}$ （停止時刻）。強マルコフ性により $\tau_a$ 以降を反射した過程も同じブラウン運動。 $\{M_t\ge a\}=\{\tau_a\le t\}$ に注目し、終端が $a$ より上か下かで場合分けすると、反射した経路と元の経路が一対一対応して

P(M_t \ge a) = 2\,P(B_t \ge a) = 2\big(1-\Phi(a/\sqrt{t})\big), \qquad a>0

ここで $\Phi$ は標準正規分布関数。 $P(B_t\ge a)$ のうち「すでに $a$ を超えてから戻ってきた分」を反射が補ってくれて、ちょうど2倍になります。これより

M_t \overset{d}{=} |B_t|, \qquad \mathbb{E}[M_t]=\sqrt{\frac{2t}{\pi}}

到達時刻の分布は $P(\tau_a\le t)=2(1-\Phi(a/\sqrt t))$ から得られます。

直観

要するに「一度タッチした後は、上に行くも下に行くも五分五分」。終端で $a$ より上にいる経路（確率 $P(B_t\ge a)$ ）は当然 $a$ に触れている。終端で $a$ より下にいるが途中で $a$ に触れた経路は、反射すると終端が $a$ より上の経路にちょうど移る。だから「触れた経路」の総量は「終端が上の経路」の2倍。鏡を一枚置くだけで、見えにくい最大値が見やすい終端値に変換されます。

具体例

ブラウン運動を多数生成し、走行最大値が $a=1$ を超える確率が $2P(B_T\ge a)$ に、最大値の期待値が $\mathbb{E}|B_T|=\sqrt{2T/\pi}$ に一致することを確認します。

import numpy as np
from scipy.stats import norm
rng = np.random.default_rng(2)
n_paths, T, n_steps = 200000, 1.0, 4000
dt = T/n_steps
dB = rng.normal(0, np.sqrt(dt), size=(n_paths, n_steps))
B = np.cumsum(dB, axis=1)
M = B.max(axis=1)                                  # 走行最大値（離散近似）
a = 1.0
emp = (M >= a).mean()
theory = 2*(1 - norm.cdf(a/np.sqrt(T)))
print(f"P(max>={a})={emp:.4f} (反射原理 2P(B_T>=a)={theory:.4f})")
print(f"E[max]={M.mean():.4f}  E[|B_T|]={np.abs(B[:, -1]).mean():.4f} "
      f"(sqrt(2T/pi)={np.sqrt(2*T/np.pi):.4f})")
# P(max>=1.0)=0.3129 (反射原理 2P(B_T>=a)=0.3173)
# E[max]=0.7886  E[|B_T|]=0.7996 (sqrt(2T/pi)=0.7979)

最大値超過確率は理論 0.3173 にほぼ一致（離散刻みのため真の連続最大をわずかに過小評価し 0.3129）。 $\mathbb{E}[M_t]$ と $\mathbb{E}|B_T|$ も $\sqrt{2T/\pi}\approx0.80$ で揃い、最大値と $|B_T|$ の同分布が見て取れます。

他過程との関係

反射原理は停止時刻と任意停止定理の停止時刻（到達時刻 $\tau_a$ ）と強マルコフ性の上に立ちます。離散版はランダムウォークと再帰性のランダムウォークの反射（鏡像法）です。
最大値・到達時刻の分布は、金融のバリアオプション（ノックイン/ノックアウト）の価格付けに直結します（応用は金融工学へ）。ここでは過程の経路の性質に集中します。

数式の直観的意味

「2倍」の係数は、ブラウン運動の増分の対称性そのものの表れです。 $+dB$ と $-dB$ が同じ確率だから、到達後の経路は上下対称に分かれ、片側（終端が上）の確率がちょうど半分。最大値という「経路全体の最高到達点」が、終端値という「一点」の情報に圧縮できるのは、この対称性とマルコフ性の合わせ技です。

⚠️ よくある誤解

離散シミュレーションは連続最大を過小評価する。サンプル点の間でより高く跳ねている可能性を見落とすため、 $P(M_t\ge a)$ はやや低めに出ます。刻みを細かくすると理論値へ近づきます。
反射原理は強マルコフ性を要する。到達時刻という「ランダムな時刻」で過程をリセットしても独立な新しいブラウン運動が始まる、という強マルコフ性が前提です。
$M_t\overset{d}{=}|B_t|$ は分布の一致であって経路の一致ではない。最大値と終端の絶対値は同じ分布を持つだけで、同じ確率変数ではありません。

対応シミュレーション

本文コードの n_steps を増やすと最大値超過確率が理論値へ収束します。到達時刻 $\tau_a$ の分布（逆ガウス的な裾）の可視化を stochastic-processes-study/simulations/ に置きます。