ポアソン過程｜確率過程

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須） 📎 前提：定常性と独立増分、ポアソン過程と点過程目次

要点（BLUF）

ポアソン過程は、独立・定常増分を持ち、短い時間に2回以上は起きない（希少性）という公理を満たす計数過程。
これらの公理から、時刻 $t$ までの事象数 $N(t)$ はポアソン分布 $\mathrm{Poisson}(\lambda t)$ 、到着間隔は指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$ になります。
指数分布の無記憶性（待った時間を覚えていない）がポアソン過程の本質。「いつから待っていようと、次の到来までの分布は変わらない」。

概念

ランダムに到来する事象（着信・故障・到着客）を数えるとき、最も自然で扱いやすいモデルがポアソン過程です。仮定は3つだけ：(1) 重ならない時間区間の事象数は独立、(2) 事象数の分布は区間の長さだけで決まる（定常）、(3) 一瞬に2回は起きない。この最小限の仮定から、計数も間隔も具体的な分布に一意に定まります。

数式による定式化

計数過程 $\{N(t)\}_{t\ge 0}$ （ $N(0)=0$ 、右連続・整数値・非減少）が強度 $\lambda>0$ のポアソン過程とは、独立増分かつ

N(t+s) - N(s) \sim \mathrm{Poisson}(\lambda t)

すなわち

P(N(t+s)-N(s)=k) = \frac{(\lambda t)^k}{k!}\, e^{-\lambda t}, \qquad k=0,1,2,\dots

このとき $\mathbb{E}[N(t)]=\mathrm{Var}(N(t))=\lambda t$ 。到着間隔 $E_i=S_i-S_{i-1}$ は独立同分布の指数分布

P(E_i > t) = e^{-\lambda t}, \qquad \mathbb{E}[E_i]=\frac{1}{\lambda}

指数分布の無記憶性：

P(E > s+t \mid E > s) = P(E > t)

直観

要するに「完全にランダムな到来」の数学的な姿です。無記憶性が鍵で、「もう10分待ったから、そろそろ来るはず」という直観が成り立たない。次の到来までの待ち時間の分布は、いつ観測を始めても同じ。過去の経過がゼロ情報なので、過程は「歴史を持たない」最も無秩序な点の並びになります。平均が分散に等しい（分散指数1）のも、この完全ランダム性の指標です。

具体例

指数間隔を積み上げてポアソン過程を生成し、 $N(T)$ の平均・分散が $\lambda T$ に、間隔の平均が $1/\lambda$ に、そして無記憶性が成り立つことを確認します。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(2)
lam, T, n, M = 3.0, 50.0, 20000, 300
E = rng.exponential(1/lam, size=(n, M))       # 指数間隔
arr = np.cumsum(E, axis=1)
counts = (arr <= T).sum(axis=1)               # N(T)
print(f"N(T): 平均={counts.mean():.2f} 分散={counts.var():.2f} (理論 lam*T={lam*T:.0f})")
allE = E.ravel()
print(f"間隔の平均={allE.mean():.4f} (理論 1/lam={1/lam:.4f})")
cond = (allE > 1.0).sum() / (allE > 0.5).sum()
print(f"無記憶性 P(E>1|E>0.5)={cond:.3f} vs P(E>0.5)={np.exp(-lam*0.5):.3f}")
# N(T): 平均=149.87 分散=150.62 (理論 lam*T=150)
# 間隔の平均=0.3336 (理論 1/lam=0.3333)
# 無記憶性 P(E>1|E>0.5)=0.224 vs P(E>0.5)=0.223

$N(T)$ の平均と分散がともに $\lambda T=150$ （ポアソンの特徴）。間隔平均は $1/\lambda$ 。「0.5 待った上でさらに 0.5 待つ確率」が「最初から 0.5 待つ確率」に一致 — 無記憶性です。

他過程との関係

ポアソン過程は定常性と独立増分の独立・定常増分を持つ計数過程の代表で、増分が正の整数値という点でブラウン運動（連続値）と対をなします。
強度を時間変化させると非斉次・複合ポアソン過程、間隔分布を一般化すると再生過程と再生定理、状態に依存させると連続時間マルコフ連鎖と生成行列になります。

数式の直観的意味

「ポアソン分布の計数」と「指数分布の間隔」と「無記憶性」は、論理的に同値な3つの顔です。無記憶性は連続分布の中で指数分布だけが持つ性質で、それが「独立増分かつ希少」という公理の必然的な帰結。だからポアソン過程はこの3つのどこから定義しても同じものになります。分散＝平均という関係は点過程入門で「完全ランダム性の基準線」として効いてきます。

⚠️ よくある誤解

「等間隔に近い」ではない。完全ランダムなので、間隔は指数分布でばらつき、むしろ事象はかたまって現れがち（クラスター錯視）。規則正しく見えるなら、それはポアソンではありません。
無記憶性は「平均回帰」を否定する。バスを長く待っても「もうすぐ来る」とは限らない、というのがポアソン的世界の帰結です。
強度 $\lambda$ は確率ではなく率（単位時間あたりの期待回数）。 $\lambda t$ が大きければ $N(t)$ は1を超えます。

対応シミュレーション

本文コードの M（各軌道で生成する間隔数）は $\lambda T$ より十分大きく取る必要があります（打ち切りを避けるため）。stochastic-processes-study/simulations/ に到着時刻の可視化を置きます。