点過程入門｜確率過程

🎓 レベル：発展　|　重要度：B（一般化の視点） 📎 前提：ポアソン過程

要点（BLUF）

点過程は、時間や空間にランダムに散らばる「点の集合」を確率的に扱う枠組み。ポアソン過程はその1次元・完全ランダム版です。
ポアソン過程の基準は完全ランダム性（CSR）：任意の窓内の点数の分散／平均＝1（分散指数 Fano factor）。
これを物差しに、点が反発しあう規則的配置は過小分散（<1）、点が群れるクラスター配置は過分散（>1）と区別できます。

概念

森の木の位置、星の分布、神経発火の時刻 — 点の「配置のされ方」自体が知りたい情報です。点過程は、各領域に入る点の個数を確率変数とする過程として、これを記述します。ポアソン過程は「どの点も互いに無関係に置かれる」最も中立な配置で、現実のデータがそれより規則的か群れているかを測る基準線になります。

数式による定式化

点過程は、集合 $A$ に含まれる点数 $N(A)$ を与える計数測度 $N$ です。強度測度 $\mu(A)=\mathbb{E}[N(A)]$ が「平均的な点の密度」を表します。ポアソン点過程は

N(A) \sim \mathrm{Poisson}(\mu(A)), \qquad \text{かつ disjoint な } A_1,\dots,A_k \text{ で独立}

配置の規則性を測る**分散指数（Fano factor）**は、固定窓 $W$ について

F = \frac{\mathrm{Var}(N(W))}{\mathbb{E}[N(W)]}

F = 1\ (\text{完全ランダム}), \quad F < 1\ (\text{規則的/反発}), \quad F > 1\ (\text{クラスター})

直観

要するに「点が互いを意識しているか」を分散で測ります。完全ランダムなら点は互いに無関心で、窓内の個数はポアソン的にばらつき $F=1$ 。点が縄張りを持って反発しあうと個数が安定して $F<1$ 。逆に親子のように群れると、窓に入る個数が「ゼロか大量か」に振れて $F>1$ 。平均だけでは見えない「配置の癖」が分散に現れます。

具体例

同じ平均密度で、ポアソン・規則的（ほぼ等間隔＋微小ジッタ）・クラスター（親点まわりに子点が群れる）の3種の点過程を生成し、固定窓内の点数の分散指数を比べます。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(6)
L, n, lam = 20.0, 8000, 4.0

poic = rng.poisson(lam*L, n)                       # ポアソン（完全ランダム）

def regular_count():                               # 規則的（反発）
    base = np.arange(0, L+5, 1/lam)
    pts = base + rng.random()/lam + rng.uniform(-0.1, 0.1, base.size)
    return ((pts >= 0) & (pts < L)).sum()
regc = np.array([regular_count() for _ in range(n)])

def cluster_count():                               # クラスター（群れ）
    npar = rng.poisson(lam/3*L)
    par = rng.uniform(0, L, npar)
    ko = rng.poisson(3, npar)
    if ko.sum() == 0:
        return 0
    pts = np.repeat(par, ko) + rng.normal(0, 0.5, int(ko.sum()))
    return ((pts >= 0) & (pts < L)).sum()
cluc = np.array([cluster_count() for _ in range(n)])

print(f"ポアソン   分散/平均={poic.var()/poic.mean():.3f} (完全ランダム=1)")
print(f"規則的     分散/平均={regc.var()/regc.mean():.3f} (<1 ＝反発)")
print(f"クラスター 分散/平均={cluc.var()/cluc.mean():.3f} (>1 ＝群れ)")
# ポアソン   分散/平均=0.987 (完全ランダム=1)
# 規則的     分散/平均=0.003 (<1 ＝反発)
# クラスター 分散/平均=3.928 (>1 ＝群れ)

平均密度はどれも同じなのに、配置の癖は分散指数にくっきり現れます。ポアソンの1が中立の基準線です。

他過程との関係

ポアソン点過程は非斉次・複合ポアソン過程の空間版で、強度測度を非一様にすれば非斉次空間ポアソンになります。
クラスター過程（親子構造）は地震の余震や感染の集積のモデルで、自己励起型のホークス過程に繋がります（応用は各分野へ）。反発過程は神経科学・材料の配置解析に。

数式の直観的意味

分散指数 $F=1$ はポアソン過程の「分散＝平均」を窓ごとに見たもの。ポアソンが基準線になるのは、独立性が「個数の変動を平均と同じ大きさに保つ」という、ちょうど中立的な揺らぎを与えるからです。 $F$ が1からどちらにずれるかで、点同士の相互作用の符号（反発か引力か）が読み取れます。

⚠️ よくある誤解

「ランダム＝均等に散らばる」ではない。完全ランダム（ポアソン）はむしろ斑（ムラ）に見えます。きれいに均一なのは反発過程で、それは「ランダムでない」のです。
分散指数は窓のサイズに依存しうる。スケールによって配置の癖が変わる過程（多スケールのクラスター）では、1つの $F$ で語り尽くせません。
平均（強度）が同じでも過程は全く別物。1次統計量（密度）だけでなく2次統計量（分散・相関）まで見て初めて配置が分かります。

対応シミュレーション

本文の3種の生成器（ポアソン・反発・クラスター）は点過程の比較の最小例です。stochastic-processes-study/simulations/ に散布図つきの可視化を置きます。