定常性と独立増分

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須） 📎 前提：確率過程とは、有限次元分布とコルモゴロフの拡張定理

要点（BLUF）

強定常＝有限次元分布が時間シフトで完全に不変。弱定常＝平均が一定で、自己共分散が時間差（ラグ）だけに依存。強定常なら（2次モーメントが有限なら）弱定常です。
独立増分＝重ならない時間区間の増分どうしが独立。ポアソン過程とブラウン運動を支える性質です。
「法則が時間に依らない（定常）」と「増分が積み上がる（独立増分）」は別物。前者は値の分布の不変性、後者は変化量の独立性です。

概念

過程を解析可能にする2つの「うまい構造」が定常性と独立増分です。定常性は「いつ観測を始めても統計的性質が同じ」。気温の日内変動のように平均が動くものは非定常、無限に続く安定した揺らぎは定常に近い。独立増分は「過去の変化と未来の変化が無関係」。ランダムウォークの1歩1歩が独立なのが典型です。

数式による定式化

強定常（strict stationarity）：任意の時点列と任意のシフト $h$ について

(X_{t_1+h},\dots,X_{t_n+h}) \overset{d}{=} (X_{t_1},\dots,X_{t_n})

つまり有限次元分布が $h$ に依らない。弱定常（共分散定常）：2次モーメントが有限で

\mathbb{E}[X_t] = \mu \ (\text{一定}), \qquad \mathrm{Cov}(X_t, X_{t+k}) = \gamma(k) \ (\text{ラグ }k \text{ のみに依存})

独立増分：任意の $t_0 < t_1 < \dots < t_n$ について、増分

X_{t_1}-X_{t_0},\ X_{t_2}-X_{t_1},\ \dots,\ X_{t_n}-X_{t_{n-1}}

が互いに独立。さらに増分の分布がシフト $h$ で不変なら定常増分といいます。

直観

定常：要するに「グラフを横にずらしても見分けがつかない」。窓を時間軸のどこに置いても、覗いた統計量（平均・分散・相関）が同じ。
独立増分：要するに「未来の一歩は過去の歩みを覚えていない」。今いる場所は過去の積み重ねですが、次にどれだけ動くかは過去と独立。だから分散が時間とともに足し算で増えます。

具体例

弱定常の例として AR(1) 過程 $X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$ （ $|\phi|<1$ ）。理論上、分散は $\sigma^2/(1-\phi^2)$ 、ラグ $k$ の自己相関は $\phi^k$ です。独立増分の例として、ランダムウォークの重ならない増分の無相関を確認します。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(7)
phi, sigma, T = 0.7, 1.0, 120000
x = np.zeros(T)
for t in range(1, T):
    x[t] = phi*x[t-1] + sigma*rng.standard_normal()
x = x[2000:]                                   # バーンイン除去
var_th = sigma**2/(1-phi**2)
print(f"弱定常AR(1): 標本平均={x.mean():+.3f}(理論0) 標本分散={x.var():.3f}(理論{var_th:.3f})")
for k in [1, 2, 3]:
    ac = np.corrcoef(x[:-k], x[k:])[0, 1]
    print(f"  ラグ{k}自己相関={ac:+.3f} (理論 phi^k={phi**k:.3f})")
# 独立増分（ランダムウォーク）
W = np.cumsum(rng.standard_normal((40000, 40)), axis=1)
inc1 = W[:, 9] - W[:, 4]       # 区間(5,10]
inc2 = W[:, 29] - W[:, 19]     # 区間(20,30] 重ならない
print(f"重ならない増分の相関={np.corrcoef(inc1, inc2)[0,1]:+.4f} (独立なら0)")
# 弱定常AR(1): 標本平均=+0.000(理論0) 標本分散=1.967(理論1.961)
#   ラグ1自己相関=+0.702 (理論 phi^k=0.700)
#   ラグ2自己相関=+0.494 (理論 phi^k=0.490)
#   ラグ3自己相関=+0.348 (理論 phi^k=0.343)
# 重ならない増分の相関=-0.0022 (独立なら0)

AR(1) の分散と自己相関が理論値と一致（弱定常）。ランダムウォークの重ならない増分の相関はほぼ0（独立増分）。

他過程との関係

ランダムウォーク（ランダムウォークと再帰性）は独立かつ定常な増分を持ちますが、過程そのもの $X_t$ は分散が $t$ で増えるので非定常。増分が定常でも過程は非定常 — この区別が肝心です。
ブラウン運動の定義と性質は独立・定常増分の連続時間版、ポアソン過程は独立・定常増分を持つ計数過程です。

数式の直観的意味

独立増分があると、過程は「独立な小さな変化の和」になり、和の分散＝分散の和（独立性より）から $\mathrm{Var}(X_t)\propto t$ が出ます。さらに増分が定常なら中心極限定理が効いて、長い時間スケールでは増分の和が正規分布に近づく — これがブラウン運動が普遍的に現れる理由（自己相関と過程の特徴づけとあわせて）です。

⚠️ よくある誤解

弱定常 ≠ 強定常。弱定常は1次・2次モーメントしか縛りません。ガウス過程なら平均と共分散で分布が決まるので弱定常⇒強定常ですが、一般には別物です。
「定常」と「独立」を混同しない。定常でも時点間は強く相関できます（AR(1) はラグ相関 $\phi^k$ ）。独立増分は「変化量」の独立で、「値」の独立ではありません。
過程の定常と増分の定常を混同しない。ランダムウォークは増分定常だが過程は非定常。

対応シミュレーション

本文コードを再実行すれば AR(1) の弱定常性と増分の無相関が再現します。 $\phi$ を1に近づけると自己相関の減衰が遅くなり、定常性が崩れる境界（ $\phi=1$ で単位根＝ランダムウォーク）が観察できます。