自己相関と過程の特徴づけ

🎓 レベル：標準　|　重要度：B（時系列への橋渡し） 📎 前提：定常性と独立増分

要点（BLUF）

自己共分散関数 $\gamma(k)$ と自己相関関数（ACF） $\rho(k)=\gamma(k)/\gamma(0)$ は、同じ過程の異なる時点がどれだけ連動するかをラグ $k$ の関数で表します。
弱定常過程は、平均 $\mu$ と自己相関関数 $\rho(\cdot)$ という2次の情報だけで特徴づけられます（分布全体ではなく相関構造で見分ける）。
白色雑音は $\rho(k)=0\ (k\neq 0)$ 、AR(1) は $\rho(k)=\phi^{|k|}$ で幾何減衰。ACF の形が過程の「指紋」になります。

概念

弱定常な過程は、どの時点でも平均が同じなので、過程の個性は「時点どうしの連動の仕方」に現れます。それを定量化するのが自己相関関数です。ラグ1で強く相関し、ラグが離れると相関が薄れる — その減り方が過程の種類を物語ります。

数式による定式化

弱定常過程 $\{X_t\}$ （平均 $\mu$ ）に対し、ラグ $k$ の自己共分散と自己相関は

\gamma(k) = \mathrm{Cov}(X_t, X_{t+k}) = \mathbb{E}[(X_t-\mu)(X_{t+k}-\mu)]

\rho(k) = \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)}, \qquad \rho(0)=1,\quad |\rho(k)|\le 1

弱定常性より $\gamma(k)$ は $t$ に依らず $k$ だけの関数。 $\gamma$ は偶関数 $\gamma(-k)=\gamma(k)$ で、正定値（任意の係数で作る2次形式が非負）という構造的制約を持ちます。

直観

要するに ACF は「 $k$ 秒前の自分を、今の自分はどれだけ覚えているか」を測る記憶のグラフです。 $\rho(k)$ が速く0へ落ちる過程は記憶が短く、ゆっくり落ちる過程は長い記憶（持続性）を持ちます。 $\rho(0)=1$ は「今の自分は今の自分と完全に一致」という当たり前の起点です。

具体例

白色雑音（独立同分布）と AR(1)（ $\phi=0.6$ ）の ACF を推定し、理論 $\phi^k$ と比べます。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(11)
def acf(z, Kmax):
    z = z - z.mean(); n = len(z); v = np.dot(z, z)/n
    return [np.dot(z[:n-k], z[k:])/n/v for k in range(Kmax+1)]
T = 200000
wn = rng.standard_normal(T)                 # 白色雑音
phi = 0.6
ar = np.zeros(T)
for t in range(1, T):
    ar[t] = phi*ar[t-1] + rng.standard_normal()
ar = ar[2000:]
print("ラグ  :   0     1     2     3     4")
print("白色雑音:", " ".join(f"{a:+.3f}" for a in acf(wn, 4)))
print("AR(1)  :", " ".join(f"{a:+.3f}" for a in acf(ar, 4)))
print("理論AR :", " ".join(f"{phi**k:+.3f}" for k in range(5)))
# ラグ  :   0     1     2     3     4
# 白色雑音: +1.000 +0.000 -0.003 -0.004 -0.002
# AR(1)  : +1.000 +0.601 +0.362 +0.220 +0.133
# 理論AR : +1.000 +0.600 +0.360 +0.216 +0.130

白色雑音はラグ1以降ほぼ0（記憶なし）、AR(1) は $\phi^k$ で幾何減衰（指数的に薄れる記憶）。ACF だけで2つの過程を見分けられます。

他過程との関係

自己相関関数の構造は、過程のスペクトル密度（フーリエ変換）と一対一に対応します（ウィーナー＝ヒンチンの定理）。時間領域の相関と周波数領域のパワーは同じ情報の表裏です。
定常分布と収束の収束した連鎖も定常過程で、その ACF は遷移行列の固有値で決まります。

数式の直観的意味

$\gamma$ の正定値性は飾りではありません。「ありえる自己相関関数」を制約し、たとえば $\rho(1)=0.9,\rho(2)=-0.9$ のような噛み合わない指紋を持つ弱定常過程は存在しない、と教えます。これは有限次元分布とコルモゴロフの拡張定理の整合性条件が、2次モーメントの世界で具体化した姿です。

⚠️ よくある誤解

無相関 ≠ 独立。 $\rho(k)=0$ は線形な連動がないだけで、非線形な依存（例： $X_{t+1}=X_t^2$ 型）は残りえます。独立を主張するには分布全体を見る必要があります。
ACF は弱定常を仮定して初めて意味を持つ。非定常過程（トレンドのあるランダムウォーク等）に素朴に ACF を当てると、見かけ上ゆっくり減衰する偽の長期記憶が現れます。
標本 ACF はラグが大きいほど推定が不安定。データ長に対してラグが大きいと有効標本が減り、ノイズが乗ります。

対応シミュレーション

本文コードで $\phi$ を変えると、 $\phi$ が1に近いほど ACF の減衰が遅くなり（長い記憶）、負の $\phi$ では符号が交互に振動する ACF が観察できます。