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🎓 レベル：基礎　|　重要度：A（必須） 📎 前提：確率変数・期待値・分散（統計）

要点（BLUF）

• 確率過程とは、共通の確率空間上で添字 $t$ によって並べられた確率変数の族 $\{X_t\}_{t\in T}$ のこと。1つの確率変数を「時間方向に伸ばした」ものです。
• 同じ対象を3つの目で見られます：時点を固定すれば確率変数、$\omega$ を固定すれば1本の標本路（軌道）、両方動かせば時間と偶然の2変数関数。
• 指標集合 $T$ が離散か連続かで「離散時間／連続時間」、値の集合（状態空間）が離散か連続かで過程の種類が分かれます。

概念

サイコロを1回振るのは確率変数 $X$ です。では「1秒ごとに振り続けて記録した数列」はどう書けばよいでしょう。各時点 $t=1,2,3,\dots$ に確率変数 $X_t$ を割り当てれば、全体は $\{X_1, X_2, \dots\}$ という確率変数の族になります。これが確率過程です。重要なのは、これらの $X_t$ がすべて同じ確率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上で定義されている点です。だからこそ「時点1と時点2が一緒にどうなるか」という同時分布を問えます。

数式による定式化

確率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$、指標集合 $T$、状態空間 $S$ を用意します。確率過程とは写像

であって、各 $t$ で $X_t(\cdot)$ が確率変数（可測関数）になっているものです。2つの見方が立ち上がります。

• 時点 $t$ を固定 → $X_t(\cdot)$ は $\Omega$ 上の確率変数。
• $\omega$ を固定 → $t \mapsto X_t(\omega)$ は $T$ から $S$ への1本の関数。これを**標本路（sample path）または軌道（trajectory）**と呼びます。

直観

要するに、確率過程は「関数を値にとるくじ引き」です。普通の確率変数は1回引くと1つの数が出ますが、確率過程は1回引くと1本の関数（軌道）が丸ごと出てきます。$\Omega$ の各点 $\omega$ が1つの「世界線」に対応し、その世界線での時間発展が標本路です。私たちが現実に観測するのは、無数の可能な軌道のうちたった1本だけです。

具体例

最も基本的な例が単純ランダムウォークです。$\pm 1$ を等確率で足していきます：$X_t = \sum_{i=1}^t \xi_i$、$\xi_i \in \{+1,-1\}$。各 $\omega$ がコイン列を1つ決め、それが1本のギザギザの軌道を作ります。多数の軌道を集めると、各時点 $t$ での分布が見えてきます。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(42)
T, n_paths = 200, 5000
steps = rng.choice([-1, 1], size=(n_paths, T))   # 各行が1本の標本路
paths = np.cumsum(steps, axis=1)
for t in [10, 50, 100, 200]:
    m = paths[:, t-1].mean(); v = paths[:, t-1].var()
    print(f"t={t:3d}: 標本平均={m:+.3f} (理論0)  標本分散={v:7.2f} (理論{t})")
# t= 10: 標本平均=+0.008 (理論0)  標本分散=   9.82 (理論10)
# t= 50: 標本平均=+0.078 (理論0)  標本分散=  51.05 (理論50)
# t=100: 標本平均=+0.067 (理論0)  標本分散= 100.64 (理論100)
# t=200: 標本平均=-0.066 (理論0)  標本分散= 201.51 (理論200)

各時点で平均は0、分散は $t$ に一致します。1本1本の軌道はランダムに上下しますが、5000本を横に切ると秩序ある分布（平均0・分散 $t$）が現れる — これが「族として見る」威力です。

他過程との関係

指標集合と状態空間の組み合わせで過程が整理できます。

数式の直観的意味

「同じ確率空間上」という条件が効いてきます。これがあるおかげで、過程の振る舞いは各時点の周辺分布だけでなく、複数時点の同時分布で決まります。次の有限次元分布とコルモゴロフの拡張定理で見るように、この同時分布の族こそが過程の正体です。

⚠️ よくある誤解

• 「各 $X_t$ が独立」ではない。確率過程の面白さは時点間の依存にあります。$X_1$ を見ると $X_2$ の予想が変わる、という相関こそ本質です（独立な族はむしろ特殊例＝白色雑音）。
• 標本路と分布を混同しない。観測する1本の軌道は「実現値」であって、過程そのものは全軌道の確率法則です。1本だけ見て「これがこの過程だ」とは言えません。

対応シミュレーション

stochastic-processes-study/simulations/ に軌道生成のスクリプトを置きます（本文の paths 配列を可視化すると、5000本の束が末広がりに広がる様子＝分散 $t$ が見えます）。

関連

• 次に読む：有限次元分布とコルモゴロフの拡張定理
• 具体化：定常性と独立増分、マルコフ連鎖とは・遷移行列