← 時系列分析 一覧

🎓 第5章：多変量時系列

第5章 多変量時系列

ここまで（第1〜4章）は基本的に1 本の系列を扱ってきました。本章は複数の系列が互いに影響し合う世界へ進みます。柱は 3 つ。まず VAR（ベクトル自己回帰）——単変量 AR（AR・MAモデル）の多変量版で、各変数を全変数の過去ラグで回帰し、相互作用を係数行列で表します。次に グレンジャー因果——「$X$ の過去が $Y$ の予測を改善するか」で関係の向きを測りますが、これは予測的因果であって構造的因果ではありません。最後に 共和分と VECM——個々は単位根で非定常（ランダムウォークと単位根）でも、線形結合が定常になる長期均衡関係を扱い、見せかけの回帰との違いと、誤差修正で均衡へ引き戻す仕組みを押さえます。いずれも真の係数行列・一方向の依存・共通の確率トレンドを仕込んだ擬似系列で、復元・検出・予測を数値で確かめます。

トピック一覧

1. VAR（ベクトル自己回帰） — 標準
2. グレンジャー因果 — 標準
3. 共和分と誤差修正モデル（VECM） — 発展

この章の要点

• VAR($p$)：$\mathbf{y}_t=\mathbf{c}+A_1\mathbf{y}_{t-1}+\cdots+A_p\mathbf{y}_{t-p}+\boldsymbol\varepsilon_t$。係数は行列で、非対角成分が変数間の波及。安定性はコンパニオン行列の固有値が単位円内。真の $A_1$（固有値 0.6, 0.3）を VAR が復元（成分 0.494/0.247/0.081/0.451）、AIC が $p=1$ を選択。予測区間つき多変量予測は安定系なら有限へ収束、IRF はショックの波及が 8 期で消えるのを確認。
• グレンジャー因果：制限（自分の過去だけ）vs 非制限（＋相手の過去）の予測改善を $F$ 検定。一方向 $X\to Y$ を仕込むと $X\to Y$ は $p=3.8\times10^{-98}$・$Y\to X$ は $p=0.980$ と向きを正しく検出。だが共通原因があると直接リンク無しでも $p\approx10^{-286}$ の見せかけ因果——予測的因果 ≠ 構造的因果。検定前に定常性が必須。
• 共和分と VECM：共通トレンドを共有する $x,y$ は各々 $I(1)$（ADF p=0.99）でも $y-2x$ は定常（p=0.000）。Engle-Granger・Johansen で共和分ランク 1、長期係数 2.003 を復元。VECM ＝ 差分 VAR ＋ 誤差修正項で調整係数 $\alpha$（均衡へ戻す速度）を推定。共和分があるのに差分だけ取ると長期情報を失い、均衡スプレッド予測で VECM が差分 VAR を 18.8% 改善（100 本中 76% 勝ち）。

関連章

• 第2章 ARIMA系モデル — VAR は単変量 AR の多変量版（第2章 ARIMA系モデル 目次、特に AR・MAモデル）／差分・過剰差分（ARMA・ARIMAモデル）
• 第1章 時系列の基礎 — 単位根・見せかけの回帰が共和分の前提（ランダムウォークと単位根）／予測の評価とウォークフォワード（予測の評価指標と時系列CV）
• 第4章 状態空間とカルマン — 多変量の状態空間表現（第4章 状態空間とカルマン 目次、特に 状態空間モデルの枠組み）

統計・因果サイトとの関係

• 多変量定常過程・確率トレンドの土台は統計検定テキスト第8章 確率過程（マルコフ連鎖・ポアソン過程）。
• グレンジャー因果は予測的因果で、介入による構造的因果は因果推論テキストへ——相関と因果の違い 相関と因果の違い、構造的因果モデルと do 演算子 構造的因果モデルとdo演算子、予測と因果の役割分担 因果推論と予測と意思決定。

上位ハブ

• 時系列分析・予測テキスト 全体目次