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🎓 第6章：ボラティリティ

第6章 ボラティリティ

ここまで（第1〜5章）は、過去から水準（条件付き平均）を予測するモデルでした——ARIMA も状態空間も VAR も「次の値はいくつか」を当て、誤差の分散は一定と仮定していました。本章は視点を一段ずらし、条件付き分散＝ボラティリティ $\sigma_t^2$ が時間変化する現象を扱います。金融リターンに典型で、平均はほぼ予測不能なのに、変動の大きさは時期で大きく変わる（荒れる時期と凪の時期がある）。柱は2つ。まず ARCH/GARCH——分散を過去のショックの2乗（ARCH）や過去の分散（GARCH）で決める漸化式で、定番の GARCH(1,1) の定常条件 $\alpha+\beta<1$ と無条件分散 $\omega/(1-\alpha-\beta)$ を押さえます。次に ボラティリティクラスタリングと予測——大変動の後に大変動が続く性質を「リターンの ACF は0でもリターン2乗の ACF は有意」という指紋で捉え（定常性と自己相関）、ARCH 効果の検定と、時変の予測区間 $\pm1.96\sigma_t$ によるボラ予測（多期先は無条件分散へ収束）まで進みます。いずれも真の $(\omega,\alpha,\beta)$ を仕込んだ擬似 GARCH 系列で、復元・検定・予測を数値で確かめます。

トピック一覧

1. ARCHとGARCHモデル — 標準
2. ボラティリティクラスタリングと予測 — 標準

この章の要点

• ARCH/GARCH：ARCH($q$) は $\sigma_t^2=\omega+\sum\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2$、GARCH($p,q$) は過去の分散も足して $\sigma_t^2=\omega+\sum\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2+\sum\beta_j\sigma_{t-j}^2$。定番 GARCH(1,1) は定常条件 $\alpha+\beta<1$・無条件分散 $\omega/(1-\alpha-\beta)$。真の $(\omega,\alpha,\beta)=(0.2,0.10,0.85)$ を arch が復元（$\hat\omega0.243/\hat\alpha0.086/\hat\beta0.851$・持続性 $0.937$）、推定ボラ $\hat\sigma_t$ は無条件SD $2.0$ の周りで $1.25$〜$4.06$ を揺れ、高ボラ期の $|r_t|$（$1.95$）が低ボラ期（$1.29$）より大きい＝クラスタリングを可視化。
• ボラティリティクラスタリングと予測：リターンの ACF は帯 $\pm0.031$ 内（$0.005$）でも、リターン2乗の ACF は有意（$0.197$）。Ljung-Box はリターン $p=0.922$ vs 2乗 $p=2.6\times10^{-197}$、ARCH-LM $p=7.0\times10^{-82}$ で ARCH 効果を検出。GARCH 予測は時変95%帯 $\pm1.96\sigma_t$ が幅 $5.62$〜$19.87$ と伸縮しリターンの $94.9\%$ を被覆、多期先の分散予測は $h=1$ の $5.715$ から無条件分散 $4.231$ へ収束（ARIMA の単調拡大との対比）。VaR への接続も一言。

関連章

• 第2章 ARIMA系モデル — 条件付き平均のモデル化との対比（第2章 ARIMA系モデル 目次、特に ARMA・ARIMAモデル）／残差2乗のARCH効果点検から GARCH へ（モデル選択と残差診断）
• 第1章 時系列の基礎 — ACF・2乗のACF・弱定常（定常性と自己相関）／予測の評価とウォークフォワード（予測の評価指標と時系列CV）
• 第3章 指数平滑と分解 — GARCH は分散の指数平滑という見方（指数平滑法（SES・Holt・Holt-Winters））

統計・ベイズサイトとの関係

• 定常過程・分散・条件付き期待値の土台は統計検定テキスト第8章 確率過程（マルコフ連鎖・ポアソン過程）。
• ボラティリティの状態空間・ベイズ的な確率的ボラティリティ（SV）モデルは第7章 ベイズ時系列で扱います（予定）。

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