階層分析法（AHP）｜意思決定分析

🎓 レベル：標準　|　重要度：B（推奨）

📎 前提：多属性効用理論（MAUT）　|　関連：重み付けと感度分析・線形代数（固有値・固有ベクトル）

要点（BLUF）

階層分析法（AHP: Analytic Hierarchy Process） は、目標→基準→代替案を階層化し、各レベルで一対比較を行って重みを導く手法（Saaty）。
重みは一対比較行列の主固有ベクトルとして求めます。「Aは何倍重要か」という相対判断を、整合的な重みベクトルに変換する仕掛けです。
判断の一貫性は整合比 CR（Consistency Ratio）で検査し、 $\mathrm{CR} < 0.1$ なら許容。主観を構造化して定量化する点が特徴で、合意形成に向きます。

1. 一対比較：絶対値でなく相対で聞く

人は「コストの重要度は0.5」と直接答えるのは苦手ですが、「コストは性能より何倍重要か？」という2つずつの比較なら答えやすい。AHPはこの一対比較を全ペアで集め、整合的な重みに変換します。

比較は Saaty の9段階尺度（1＝同等, 3＝やや重要, 5＝重要, 7＝かなり, 9＝極めて重要）で行い、 $n$ 個の基準について $n\times n$ の一対比較行列 $A$ を作ります。要素 $a_{ij}$ は「基準 $i$ は基準 $j$ の何倍重要か」、対角は1、 $a_{ji} = 1/a_{ij}$ （相反性）です。

A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 1/3 & 1 & 2 \\ 1/5 & 1/2 & 1 \end{pmatrix} \quad (\text{コスト・性能・快適性})

この例は「コストは性能の3倍・快適性の5倍重要、性能は快適性の2倍重要」という判断を表します。

2. 主固有ベクトルで重みを求める

もし判断が完全に整合的なら $a_{ij} = w_i / w_j$ と書けて、 $A\mathbf{w} = n\mathbf{w}$ （固有値 $n$ ）が成り立ちます。現実の判断は多少ブレるので、最大固有値 $\lambda_{\max}$ に対応する主固有ベクトルを重みとして採用します。

A\mathbf{w} = \lambda_{\max}\mathbf{w}, \qquad \mathbf{w} \ \text{を正規化}\ \left(\textstyle\sum_k w_k = 1\right)

import numpy as np

A = np.array([
    [1,   3,   5],
    [1/3, 1,   2],
    [1/5, 1/2, 1],
])

eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(A)
idx = np.argmax(eigvals.real)          # 最大固有値の位置
lam_max = eigvals.real[idx]
w = eigvecs[:, idx].real
w = w / w.sum()                        # 正規化して重みに

print("AHP 重み（コスト・性能・快適性）:", np.round(w, 4))
print(f"lambda_max = {lam_max:.4f}")

出力：

AHP 重み（コスト・性能・快適性）: [0.6483 0.2297 0.122 ]
lambda_max = 3.0037

出力の意味：一対比較から、コスト0.648・性能0.230・快適性0.122という重みが出ました。「コストは性能の約2.8倍重視」という結果は、入力した「コストは性能の3倍」とおおむね整合します。 $\lambda_{\max} = 3.0037$ が基準数 $n=3$ にとても近い——この近さが、判断の一貫性の指標になります。

3. 整合比 CR：判断の一貫性チェック

人の判断は完全に整合的ではありません。「AはBの2倍、BはCの2倍」なら整合性からAはCの4倍のはずですが、「AはCの3倍」と答えるズレが起きます。このズレを測るのが整合度指標 CI と整合比 CR です。

\mathrm{CI} = \frac{\lambda_{\max} - n}{n - 1}, \qquad \mathrm{CR} = \frac{\mathrm{CI}}{\mathrm{RI}}

RI（ランダム整合性指標）はランダムな行列のCIの期待値で、 $n=3$ なら 0.58。 $\mathrm{CR} < 0.1$ なら「判断は十分一貫している」と見なします。

import numpy as np

A = np.array([[1, 3, 5], [1/3, 1, 2], [1/5, 1/2, 1]])
lam_max = np.max(np.linalg.eigvals(A).real)
n = A.shape[0]

CI = (lam_max - n) / (n - 1)
RI = 0.58                       # n=3 のランダム整合性指標
CR = CI / RI
print(f"lambda_max = {lam_max:.4f}, CI = {CI:.4f}, CR = {CR:.4f}")
print("整合性:", "OK（CR < 0.1）" if CR < 0.1 else "要見直し（CR >= 0.1）")

出力：

lambda_max = 3.0037, CI = 0.0018, CR = 0.0032
整合性: OK（CR < 0.1）

出力の意味：CR＝0.0032 で、しきい値0.1を大きく下回ります。この一対比較は非常に一貫しているので、得られた重みは信頼してよい、という判定です。もし CR が0.1を超えたら、矛盾した比較（どれが食い違っているか）を見直して入力し直します。CRは「あなたの判断、つじつまが合っていますか？」を機械的にチェックする安全弁です。

数式の直観的意味：なぜ固有ベクトルが重みか

整合的な行列なら $a_{ij} = w_i/w_j$ で、行列 $A$ はランク1（ $A = \mathbf{w}\mathbf{w}^{-\top}$ の形）になり、唯一の非ゼロ固有値が $n$ 、その固有ベクトルが $\mathbf{w}$ です。判断にブレが入ると $A$ はランク1から少しずれ、 $\lambda_{\max}$ が $n$ より少し大きくなる。 $\lambda_{\max} - n$ のはみ出しが、まさに非整合の大きさで、これをCIが拾います。主固有ベクトルは「ブレた比較データに最もよく合う $w_i/w_j$ 構造」を最小二乗的に取り出したもの——ペアごとの相対判断を、全体として整合する1本の重みベクトルに丸める操作です。これで得た重みを多属性効用理論（MAUT）の加重和に差し込めば、AHPとMAUTが連結します。

⚠️ よくある誤解

「CRが小さければ正しい重み」ではない：CRは一貫性だけを見ます。一貫して間違った判断（全部偏った比較）でもCRは小さくなりえます。一貫性は正しさを保証しません。
「順位は安定」とは限らない（順位逆転問題）：AHPは代替案を1つ追加・削除すると既存の順位が入れ替わることがある（rank reversal）と批判されます。正規化の仕方に起因し、AHPの有名な弱点です。
「9段階尺度は絶対」ではない：尺度の取り方（1〜9か、別の数値か）で重みが変わります。尺度は便宜的なもので、結論は感度分析（重み付けと感度分析）で確かめるべきです。
「固有ベクトル法だけ」ではない：重みの推定には幾何平均法（各行の幾何平均を正規化）もあり、計算が簡単で結果も近い。固有ベクトル法は Saaty の原法です。

対応シミュレーション

本文のコードで一対比較行列の値を変えると、重みとCRが変わります。わざと矛盾した比較（例： $a_{13}$ を整合値から大きくずらす）を入れると、CRが0.1を超えて警告が出ることを確認できます。