多属性効用理論（MAUT）｜意思決定分析

🎓 レベル：標準　|　重要度：B（推奨）

📎 前提：多目的問題とパレート最適・期待効用と効用関数　|　関連：階層分析法（AHP）

要点（BLUF）

多属性効用理論（MAUT） は、複数の属性（コスト・性能…）を各属性の部分効用に変換し、重み付き和で1つの総合効用に束ねる方法です。
加法形 $U(x) = \sum_k w_k\,u_k(x_k)$ が正当化されるのは、属性間に相互選好独立性が成り立つとき。重み $w_k$ は属性の相対的重要度を表します。
パレートフロンティア（多目的問題とパレート最適）上の1点を、明示した重みで選び出す操作。重みと正規化の置き方で結論が決まるため、透明性が命です。

1. なぜ効用に変換するのか

属性は単位がバラバラです。コストは「円」、性能は「点」、快適性は「5段階」——このまま足せません。そこで各属性を、0〜1の部分効用（最悪が0、最良が1）に変換してから重み付けします。これは期待効用と効用関数の効用を、複数の属性に拡張したものです。

総合効用は加法形で書きます。

U(x) = \sum_{k=1}^{K} w_k\, u_k(x_k), \qquad w_k \ge 0,\ \sum_k w_k = 1

$u_k$ が属性 $k$ の部分効用、 $w_k$ がその重み。 $U(x)$ が最大の代替案を選びます。

2. 正規化と加重和

最も単純な部分効用は、線形の正規化（min-max スケーリング） です。利得型（大きいほど良い）と費用型（小さいほど良い）で式が変わります。

u_k^{\text{利得}} = \frac{x_k - x_k^{\min}}{x_k^{\max} - x_k^{\min}}, \qquad u_k^{\text{費用}} = \frac{x_k^{\max} - x_k}{x_k^{\max} - x_k^{\min}}

車選びの例（A・B・C）を、コスト（費用型）・性能・快適性（利得型）で評価し、重み 0.5 / 0.3 / 0.2 で統合します。

import numpy as np

names = ["A", "B", "C"]
raw = {"A": {"コスト": 300, "性能": 90, "快適性": 70},
       "B": {"コスト": 150, "性能": 70, "快適性": 60},
       "C": {"コスト": 250, "性能": 80, "快適性": 85}}

def normalize(values, benefit=True):
    v = np.array(values, float)
    if benefit:                      # 大きいほど良い
        return (v - v.min()) / (v.max() - v.min())
    else:                            # 小さいほど良い（コスト）
        return (v.max() - v) / (v.max() - v.min())

norm = {
    "コスト":   normalize([raw[a]["コスト"] for a in names], benefit=False),
    "性能":     normalize([raw[a]["性能"] for a in names], benefit=True),
    "快適性":   normalize([raw[a]["快適性"] for a in names], benefit=True),
}
weights = np.array([0.5, 0.3, 0.2])   # コスト・性能・快適性

scores = []
for k, a in enumerate(names):
    u = np.array([norm["コスト"][k], norm["性能"][k], norm["快適性"][k]])
    s = np.dot(weights, u)
    scores.append(s)
    print(f"{a}: 部分効用={np.round(u,3)}  総合スコア={s:.3f}")
print("MAUT 最良案 ->", names[int(np.argmax(scores))])

出力：

A: 部分効用=[0.    1.    0.4  ]  総合スコア=0.380
B: 部分効用=[1.    0.    0.   ]  総合スコア=0.500
C: 部分効用=[0.333 0.5   1.   ]  総合スコア=0.517
MAUT 最良案 -> C

出力の意味：Bは最安なのでコストの部分効用が1（満点）ですが、性能・快適性が最低（0）で総合0.500。Cはどれも中庸〜高めでバランスが良く、総合0.517でわずかに勝ちます。Aは性能満点でもコストが最悪（0）で0.380。**「尖った最安B」より「バランスのCがわずかに上」**という、加重和ならではの折衷的な結論。ただしこの差0.017は僅差で、重みが少し変わればひっくり返ります（重み付けと感度分析で確認）。

3. 加法形が成り立つ条件：相互選好独立性

「各属性の効用を足す」加法形は、いつでも使えるわけではありません。正当化には相互選好独立性（mutual preferential independence） が必要です。ざっくり言うと、ある属性の好み（トレードオフ）が、他の属性の水準に依存しないこと。

成り立つ例：コストと性能のトレードオフが、快適性のレベルによらず一定。
破れる例：「辛さ」と「甘さ」——辛い料理での甘さの好みと、甘いデザートでの甘さの好みは別物（相互作用がある）。

独立性が破れると、属性間の相乗・相殺効果を捉える乗法形や、より一般の効用関数が要ります。実務では加法形を第一近似として使い、独立性が怪しい属性は束ねる（1つの複合属性にする）などで対処します。重みと部分効用を分けて書ける加法形の透明さは、合意形成では大きな利点です。

数式の直観的意味：重みは「交換比率」

重み $w_k$ は単なる重要度の数字ではなく、属性間の交換比率（トレードオフ率） を表します。正規化された効用空間で、属性 $j$ の効用を1単位下げる代わりに属性 $k$ の効用を $w_j/w_k$ 単位上げれば、総合効用は不変——これが加重和の等価線（無差別曲線）の傾きです。だから「コストの重み0.5」は「コストの満足を1減らすのを、性能の満足 $0.5/0.3 \approx 1.67$ で埋め合わせる」という意味を持ちます。重みを決めるとは、何と何をどの比率で交換してよいかを宣言すること。この解釈を持つと、次の階層分析法（AHP）が「一対比較でこの交換比率を引き出す手続き」だと見えてきます。

⚠️ よくある誤解

「素点をそのまま足す」は誤り：単位が違う属性を正規化せずに足すと、値域の大きい属性（コストの円単位など）が支配します。必ず0〜1などに揃えます。
「重みは重要度の主観で適当に」ではない：重みは交換比率なので、属性のスケール（正規化の仕方）と一体で意味を持ちます。正規化を変えたら重みも見直す必要があります。
「加法形はいつでもOK」ではない：相互選好独立性が前提です。属性に相互作用があるなら加法形は誤った順序を与えます。
「線形の部分効用しかない」ではない： $u_k$ は非線形（リスク回避を反映した凹関数など）でも構いません。重要なのは0〜1への単調変換であることです。

対応シミュレーション

本文のコードで重みベクトルを変えると最良案が入れ替わります。次の重み付けと感度分析では、これを系統的に動かして結論の頑健性を測ります。