期待効用と効用関数｜意思決定分析

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：期待値原理とその限界（サンクトペテルブルクの逆説）・合理的意思決定のプロセス　|　関連：リスク選好と効用の凹凸

要点（BLUF）

期待効用理論：くじを「金額の期待値」でなく「効用の期待値（期待効用）」で評価し、最大のものを選ぶ。
これは恣意的な仮定ではなく、von Neumann–Morgenstern（vNM）の4公理——完備性・推移性・連続性・独立性——を満たす選好なら、必ずある効用関数 $u$ の期待値 $\mathbb{E}[u(X)]$ で表現できる、という表現定理から導かれます。
効用関数は正のアフィン変換（ $au+b,\ a>0$ ）の自由度を持ちます。意思決定に効くのは効用の絶対値ではなく差の比です。

1. 期待効用：定義

くじ $L$ が結果 $x_j$ を確率 $p_j$ で与えるとき、その期待効用は

\mathbb{E}[u(X)] = \sum_j p_j\, u(x_j)

です。意思決定者は $\mathbb{E}[u(X)]$ が最大のくじを選びます。期待値原理とその限界（サンクトペテルブルクの逆説）の期待値原理は、 $u(x)=x$ （線形効用）という特別な場合にすぎません。効用 $u$ を曲げることで、リスクへの態度を表現できるようになります。

具体例で「期待値では損だが期待効用では得」という逆転を見ます。くじ $L$ ＝50%で0円・50%で100万円、安全策 $S$ ＝確実に40万円。効用は $u(w)=\sqrt{w}$ （万円）とします。

import numpy as np

u = lambda w: np.sqrt(w)           # 凹効用（リスク回避者）
EV_lottery = 0.5*0 + 0.5*100       # くじの期待値（万円）
EU_lottery = 0.5*u(0) + 0.5*u(100) # くじの期待効用
EU_safe = u(40)                    # 確実な40万の効用

print(f"くじの期待値    = {EV_lottery:.1f} 万円")
print(f"くじの期待効用  = {EU_lottery:.4f}")
print(f"確実な40万の効用 = {EU_safe:.4f}")
print("期待効用で選ぶと ->", "安全策(40万)" if EU_safe > EU_lottery else "くじ")

出力：

くじの期待値    = 50.0 万円
くじの期待効用  = 5.0000
確実な40万の効用 = 6.3246
期待効用で選ぶと -> 安全策(40万)

出力の意味：期待値で見るとくじ（50万）が安全策（40万）より上ですが、期待効用で見ると安全策（6.32）がくじ（5.00）を上回ります。金額を効用に通すと順位が逆転する——効用関数 $\sqrt{w}$ の凹みが、「当たれば大きいが外せばゼロ」のばらつきにペナルティを課しているからです。この10万円ぶんの差（期待値50 vs 効用上の確実性等価）が、リスク回避の対価です（確実性等価とリスクプレミアム）。

2. von Neumann–Morgenstern の4公理

なぜ「効用の期待値」という形でよいのか。それは選好 $\succeq$ が次の4公理を満たすなら、 $L_1 \succeq L_2 \iff \mathbb{E}[u(X_1)] \ge \mathbb{E}[u(X_2)]$ となる効用 $u$ が存在する、と保証されているからです（vNM 表現定理）。

完備性（completeness）：任意の2つのくじを比較できる（ $L_1 \succeq L_2$ か $L_2 \succeq L_1$ ）。
推移性（transitivity）： $L_1 \succeq L_2,\ L_2 \succeq L_3 \Rightarrow L_1 \succeq L_3$ （好みが循環しない）。
連続性（continuity）： $L_1 \succeq L_2 \succeq L_3$ なら、 $L_1$ と $L_3$ の混合くじで $L_2$ とちょうど無差別にできる確率が存在する。
独立性（independence）： $L_1 \succeq L_2$ なら、第三のくじ $L_3$ と同じ確率 $\alpha$ で混ぜても順位は不変： $\alpha L_1 + (1-\alpha)L_3 \succeq \alpha L_2 + (1-\alpha)L_3$ 。

完備性・推移性は「選好が一貫した順序であること」（合理的意思決定のプロセスの合理性）、連続性は「効用に数値を貼れること」、そして独立性が「期待値という線形の形」を生む鍵です。共通部分 $L_3$ を足し引きしても順位が変わらない、という線形性が、 $\sum p_j u(x_j)$ の和の形に直結します。

3. 効用関数の一意性：アフィン変換の自由度

vNM 効用は正のアフィン変換まで一意です。 $u$ が選好を表すなら、 $\tilde u = a\,u + b\ (a>0)$ も同じ選好を表します。なぜなら $\mathbb{E}[a u(X)+b] = a\,\mathbb{E}[u(X)] + b$ で、 $a>0$ なら大小関係が保たれるからです。

つまり効用の絶対値や原点には意味がなく、意味があるのは差の比だけ。「効用が2倍だから2倍幸せ」とは言えません（基数的でなく、差の比だけが基数的）。これは温度の摂氏・華氏のような関係で、ゼロ点とスケールは自由に選べます。実務では「最悪の結果を $u=0$ 、最良を $u=1$ 」と正規化すると比較が楽になります（多属性効用理論（MAUT）で多属性に拡張）。

数式の直観的意味：独立性が線形性を生む

期待効用が「効用の重み付き和」という線形の形をとる根拠は、独立性公理にあります。くじ $\alpha L_1 + (1-\alpha)L_3$ の評価が $\alpha\,V(L_1) + (1-\alpha)V(L_3)$ と分解できる——確率に関して評価が線形——というのが独立性の数学的内容です。だからこそ確率 $p_j$ が効用 $u(x_j)$ にそのまま重みとして掛かります。第8章のプロスペクト理論は、まさにこの「確率がそのまま重みになる」線形性を壊し（確率加重関数）、現実の選好に合わせます。期待効用の強さも弱さも、独立性公理の一点に集約されています。

⚠️ よくある誤解

「効用＝お金」ではない：効用は金額を「嬉しさ」に変換した別の軸です。同じ1万円でも、貧しいときと豊かなときで効用の増分は違います（限界効用逓減）。
「期待効用が大きい＝期待金額が大きい」ではない：上の例の通り、効用の凹凸で順位は逆転します。期待効用最大化はリスク選好を内蔵した規範です。
「公理は自明」ではない：とくに独立性公理は、現実の人間がしばしば破ります（期待効用への反例（Allais・Ellsberg）の Allais）。公理を疑うことが行動意思決定（第8章）への入口です。

対応シミュレーション

本文のコードは、同じ選択肢を「期待値」と「期待効用」の2つの目で評価する最小例です。効用関数 $u$ を $\log$ や指数型に差し替えると、順位の逆転が起きる条件が見えてきます。