リスク選好と効用の凹凸

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：期待効用と効用関数　|　関連：確実性等価とリスクプレミアム・リスクの測り方（分散・下方リスク）

要点（BLUF）

リスク回避は効用関数の凹性そのものです。凹（上に凸）な効用なら、確実な平均額を、同じ平均の不確実なくじより好みます。
数学的根拠はJensenの不等式： $u$ が凹なら $u(\mathbb{E}[X]) \ge \mathbb{E}[u(X)]$ 。「平均の効用 ≥ 効用の平均」。
効用が凹＝リスク回避、凸＝リスク愛好、線形＝リスク中立。リスク選好は効用関数の曲がり方に一対一で対応します。

1. リスク選好の3類型

くじ $X$ とその期待値（確実額） $\mathbb{E}[X]$ を比べたときの態度で、人を3つに分類します。

態度	選好	効用関数の形	例
リスク回避	確実な $\mathbb{E}[X]$ ＞くじ $X$	凹（ $u''<0$ ）	保険に入る人
リスク中立	確実な $\mathbb{E}[X]$ ＝くじ $X$	線形（ $u''=0$ ）	期待値だけで判断
リスク愛好	くじ $X$ ＞確実な $\mathbb{E}[X]$	凸（ $u''>0$ ）	宝くじを買う人

ほとんどの人は富の大部分についてリスク回避的です。だから保険が成立し（リスクマネジメントの実務）、リスクの高い資産には上乗せのリターン（リスクプレミアム）が要求されます。

2. Jensenの不等式：凹性 = リスク回避

リスク回避の数学的な正体はJensenの不等式です。 $u$ が凹関数なら、任意の確率分布について

u\big(\mathbb{E}[X]\big) \;\ge\; \mathbb{E}\big[u(X)\big]

が成り立ちます（等号は $X$ が定数のとき）。左辺は「期待値（確実額）の効用」、右辺は「くじの期待効用」。凹なら左辺が大きい＝確実額の方を好む＝リスク回避、というわけです。

直観的には、凹関数のグラフ上で2点を結んだ弦は曲線より下にあります。くじの期待効用はこの弦の上の点（2点の内分）、確実額の効用は曲線の上の点。曲線が弦より上にあるぶん、確実額が得をする——その差がリスク回避の強さです。

import numpy as np

u = lambda w: np.sqrt(w)            # 凹効用
w_low, w_high, p = 0.0, 100.0, 0.5
EV = p*w_low + (1-p)*w_high         # 期待値 = 50
EU = p*u(w_low) + (1-p)*u(w_high)   # 期待効用 = 5

print(f"u(期待値)   = u({EV:.0f}) = {u(EV):.4f}")
print(f"期待効用    = E[u(X)]    = {EU:.4f}")
print("Jensen:", "u(E[X]) >= E[u(X)] が成立（凹＝リスク回避）" if u(EV) >= EU else "不成立")

出力：

u(期待値)   = u(50) = 7.0711
期待効用    = E[u(X)]    = 5.0000
Jensen: u(E[X]) >= E[u(X)] が成立（凹＝リスク回避）

出力の意味： $u(50)=7.07$ が期待効用 $5.0$ をしっかり上回ります。同じ平均50なのに、確実な50万の方が「ばらつくくじ」より効用が高い——これがリスク回避の数値的な姿です。この差（ $7.07 - 5.0$ ）が大きいほど、強くリスクを嫌っているといえます。

3. 図で見る凹性とリスク回避

弦と曲線のギャップ、そして確実性等価を一枚にすると、リスク回避の全体像が見えます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib  # 日本語ラベル用

u = lambda w: np.sqrt(w)
w = np.linspace(0, 100, 200)
w_low, w_high, p = 0, 100, 0.5
EV = p*w_low + (1-p)*w_high          # 期待値 50
EU = p*u(w_low) + (1-p)*u(w_high)    # 期待効用 5
CE = EU**2                           # 確実性等価（u の逆関数）

plt.figure(figsize=(7, 4.5))
plt.plot(w, u(w), lw=2, label="効用関数 u(w)=√w（凹）")
plt.plot([w_low, w_high], [u(w_low), u(w_high)], "o--", color="gray",
         label="くじの効用（弦）")
plt.scatter([EV], [EU], color="red", zorder=5, label=f"期待効用 EU={EU:.1f}")
plt.scatter([EV], [u(EV)], color="blue", zorder=5, label=f"u(期待値)={u(EV):.2f}")
plt.scatter([CE], [EU], color="green", zorder=5, label=f"確実性等価 CE={CE:.0f}")
plt.vlines([CE, EV], 0, EU, linestyles=":", colors=["green", "red"], alpha=0.6)
plt.xlabel("富 w（万円）"); plt.ylabel("効用 u(w)")
plt.title("凹効用とリスク回避：u(期待値) > 期待効用")
plt.legend(fontsize=8); plt.grid(alpha=0.3); plt.tight_layout(); plt.show()

図の意味：効用曲線（実線）が、くじの2点を結ぶ弦（破線）より上にあります。期待値50の真上で、曲線上の点（青, 7.07）が弦上の点（赤, 5.0）より高い——このギャップがリスク回避です。さらに、期待効用5.0と同じ高さを確実額で実現するのは緑の点 $CE=25$ 。確実な25万 ≡ 期待値50万のくじで、差の25万がリスクを引き受けてもらうための「割引」になります（確実性等価とリスクプレミアム）。

数式の直観的意味：2階微分が選好を決める

なぜ凹性がリスク回避なのか。効用 $u(w)$ を期待値 $\mu=\mathbb{E}[X]$ のまわりでテイラー展開すると、

\mathbb{E}[u(X)] \approx u(\mu) + \tfrac{1}{2}u''(\mu)\,\mathrm{Var}(X)

第1項は確実額の効用、第2項が「ばらつきの効用への影響」です。 $u''<0$ （凹）なら第2項は負——分散が大きいほど期待効用が下がる。リスク回避者がばらつきを嫌う理由は、効用関数の2階微分が負であることに尽きます。この近似は、リスク回避度（ $-u''/u'$ ）と分散の積でリスクプレミアムが決まる、という確実性等価とリスクプレミアムの Arrow–Pratt 公式の出発点でもあります。分散がリスクの代理になるのは、効用が滑らかで2次近似が効くからで、その限界がリスクの測り方（分散・下方リスク）の下方リスクの議論に繋がります。

⚠️ よくある誤解

「リスク回避＝臆病・非合理」ではない：凹効用は完全に合理的（vNM 公理を満たす）です。限界効用が逓減するなら、リスクを嫌うのが整合的な態度です。
「同じ人はいつもリスク回避」ではない：効用が損失領域で凸、利得領域で凹、ということが起きます（プロスペクト理論）。富の水準や参照点で態度が変わります。
「分散さえ見ればリスク選好が分かる」ではない：分散はリスクの一面（2次のモーメント）にすぎません。歪み（下方リスク）まで効く場面では、分散だけでは不十分です（リスクの測り方（分散・下方リスク））。

対応シミュレーション

本文の図コードで、効用関数を凸（ $w^2$ ）や線形（ $w$ ）に変えると、弦と曲線の上下が反転し、リスク愛好・中立に切り替わるのが見えます。