確実性等価とリスクプレミアム

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：リスク選好と効用の凹凸　|　関連：VaR（バリュー・アット・リスク）・金融工学（リスクプレミアム・CAPM）

要点（BLUF）

確実性等価（CE）：くじとちょうど無差別になる確実な金額。 $u(\mathrm{CE}) = \mathbb{E}[u(X)]$ で定義され、 $\mathrm{CE} = u^{-1}(\mathbb{E}[u(X)])$ 。
リスクプレミアム（RP）：期待値と確実性等価の差 $\mathrm{RP} = \mathbb{E}[X] - \mathrm{CE}$ 。リスクを引き受けることへの「割引額」で、リスク回避が強いほど大きい。
Arrow–Pratt の絶対リスク回避度 $A(w) = -u''(w)/u'(w)$ が、リスクプレミアムを局所的に定量化します。 $A(w)$ の富への依存で効用関数の型（CARA・DARA）が決まります。

1. 確実性等価とリスクプレミアム

リスクのあるくじ $X$ を「確実な金額に換算するといくらか」を表すのが**確実性等価（certainty equivalent, CE）**です。くじと同じ期待効用を与える確実額として、

u(\mathrm{CE}) = \mathbb{E}[u(X)] \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{CE} = u^{-1}\big(\mathbb{E}[u(X)]\big)

で定義します。リスク回避者なら $\mathrm{CE} < \mathbb{E}[X]$ 。この差がリスクプレミアムです。

\mathrm{RP} = \mathbb{E}[X] - \mathrm{CE} \;\ge 0\ \ (\text{リスク回避なら})

「ばらつくくじを、確実な額に交換してもらう代わりに、いくら値引きするか」がリスクプレミアム。保険料の上限（人はこの額まで払って不確実性を手放す）でもあります。

import numpy as np

u = lambda w: np.sqrt(w)            # 凹効用
u_inv = lambda y: y**2             # 逆関数
# くじ：50%で0、50%で100（万円）
EV = 0.5*0 + 0.5*100
EU = 0.5*u(0) + 0.5*u(100)
CE = u_inv(EU)
RP = EV - CE

print(f"期待値        E[X] = {EV:.1f} 万円")
print(f"期待効用    E[u(X)] = {EU:.4f}")
print(f"確実性等価      CE = {CE:.2f} 万円")
print(f"リスクプレミアム RP = E[X] - CE = {RP:.2f} 万円")

出力：

期待値        E[X] = 50.0 万円
期待効用    E[u(X)] = 5.0000
確実性等価      CE = 25.00 万円
リスクプレミアム RP = E[X] - CE = 25.00 万円

出力の意味：このリスク回避者にとって、「50%で0・50%で100万」のくじは確実な25万と同じ価値です（CE＝25）。期待値50万との差25万が、リスクを背負うことへの対価（リスクプレミアム）。言い換えると、この人は最大25万まで払って、このくじを確実な50万に変える保険を買うインセンティブがあります。

2. Arrow–Pratt の絶対リスク回避度

リスクプレミアムを「効用関数の局所的な性質」から直接求めるのが**Arrow–Pratt の絶対リスク回避度（ARA）**です。小さなリスク $X = w + \varepsilon$ （ $\mathbb{E}[\varepsilon]=0$ , $\mathrm{Var}(\varepsilon)=\sigma^2$ ）について、テイラー展開からリスクプレミアムは近似的に

\mathrm{RP} \approx \tfrac{1}{2}\,A(w)\,\sigma^2, \qquad A(w) = -\frac{u''(w)}{u'(w)}

と書けます。 $A(w)$ がリスク回避の強さ、 $\sigma^2$ がリスクの大きさで、その積（の半分）がプレミアム。 $A$ を $u'$ で割って正規化しているのは、効用のアフィン変換（期待効用と効用関数）で不変にするためです——スケールの自由度を消し、純粋に「曲がり具合」だけを取り出しています。

$u(w)=\sqrt{w}$ なら $u'=\tfrac12 w^{-1/2},\ u''=-\tfrac14 w^{-3/2}$ なので $A(w)=\tfrac{1}{2w}$ 。富が増えると小さくなります。

import numpy as np

# u=sqrt(w): A(w) = -u''/u' = 0.5/w
for w in [40, 100, 400]:
    A = 0.5 / w
    print(f"w={w:4d} 万円: 絶対リスク回避度 A(w) = {A:.5f}")
print("-> 富 w が増えるほど A(w) が減少 = DARA（逓減的絶対リスク回避）")

出力：

w=  40 万円: 絶対リスク回避度 A(w) = 0.01250
w= 100 万円: 絶対リスク回避度 A(w) = 0.00500
w= 400 万円: 絶対リスク回避度 A(w) = 0.00125

出力の意味：富が増えるほど $A(w)$ が下がります。これは逓減的絶対リスク回避（DARA）——豊かになるほど、同じ金額のリスクを気にしなくなる、という現実に合った性質です。 $\sqrt{w}$ や $\log w$ はDARAを持ちます。

3. 効用関数の型：CARA と CRRA

絶対リスク回避度 $A(w)$ が富にどう依存するかで、効用関数を分類します。

CARA（一定絶対リスク回避）： $A(w)=\alpha$ 一定。 $u(w) = -e^{-\alpha w}$ （指数効用）。富が変わっても、同じ絶対額のリスクへの態度が不変。数学的に扱いやすく金融でよく使われます。
DARA： $A(w)$ が富とともに減少（ $\sqrt{w}$ , $\log w$ など）。多くの実証に整合。
CRRA（一定相対リスク回避）：相対リスク回避度 $R(w)=w\,A(w)=-w\,u''/u'$ が一定。 $u(w)=\frac{w^{1-\gamma}}{1-\gamma}$ （ $\gamma$ ＝相対リスク回避度）。富に比例したリスク（資産の何%を賭けるか）への態度が不変で、ポートフォリオ理論の標準形です。

絶対 vs 相対の区別が大事です。絶対は「100万円のリスク」のような金額ベース、相対は「資産の10%のリスク」のような割合ベースの態度を測ります。CRRA は「金持ちも貧乏人も、資産の同じ割合を株に投じる」という性質を生み、金融工学のモデルで重宝されます。

数式の直観的意味：なぜ $-u''/u'$ なのか

リスクプレミアムを生むのは効用の曲がり（ $u''$ ）でした（リスク選好と効用の凹凸）。しかし $u''$ そのものはアフィン変換 $au+b$ で $a$ 倍に変わってしまい、絶対的な意味を持ちません。そこで同じく $a$ 倍される $u'$ で割ると、 $-u''/u'$ はスケール不変になります。つまり Arrow–Pratt 係数は「効用の単位を消した、純粋なリスク回避の強さ」。 $\mathrm{RP}\approx\frac12 A(w)\sigma^2$ という式は、リスク選好と効用の凹凸のテイラー近似 $\mathbb{E}[u(X)]\approx u(\mu)+\frac12 u''\sigma^2$ を、確実性等価の定義に代入して整理すれば出てきます——「曲がり × ばらつき」がプレミアム、という一行に凝縮されています。

⚠️ よくある誤解

「確実性等価＝期待値」ではない：リスク回避者では CE < 期待値です。両者が一致するのはリスク中立（線形効用）のときだけ。CE は効用を通した「腹落ちする金額」です。
「リスクプレミアムは市場が決める1つの数」ではない：ここでのリスクプレミアムは個人の効用から出る主観的な値です。金融のマーケット・リスクプレミアム（市場全体の超過リターン）とは概念が違います（リンク先で区別）。
「絶対と相対のリスク回避度は同じ」ではない： $R(w)=w\,A(w)$ で、富のスケーリングが入ります。指数効用はCARAだが相対リスク回避度は富に比例して増える、など型ごとに性質が異なります。

対応シミュレーション

本文のコードで、効用関数を指数型 $-e^{-\alpha w}$ （CARA）やべき型（CRRA）に変えると、 $A(w)$ ・ $R(w)$ の富依存が型ごとに変わる様子を確認できます。