VaR（バリュー・アット・リスク）

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：リスクの測り方（分散・下方リスク）　|　関連：CVaR（期待ショートフォール）・整合的リスク測度の公理・金融工学（VaR）

要点（BLUF）

VaR（Value at Risk） は、信頼水準 $\alpha$ （例 95%）のもとで「損失がこれを超えない最大額」。要するに損失分布の $\alpha$ 分位点です。
「95% VaR が15万」＝「95%の確率で損失は15万以内に収まる（裏返すと5%の確率で15万を超える）」。1つの数字でリスクを語れる直感性が普及の理由。
ただしVaRは閾値を超えた先の損失の大きさを無視し、劣加法性を満たさない（分散投資を罰しうる）という重大な弱点があります。これを補うのがCVaR（期待ショートフォール）です。

1. VaR の定義

損失を $L$ （正が損失）とするとき、信頼水準 $\alpha$ のVaR は損失分布の $\alpha$ 分位点として定義されます。

\mathrm{VaR}_\alpha(L) = \inf\{\,\ell : P(L \le \ell) \ge \alpha\,\}

「損失が $\ell$ 以下である確率が $\alpha$ 以上になる、最小の $\ell$ 」。 $\alpha=0.95$ なら、損失がそれ以下に収まる確率が95%となる境界額です。

VaR の推定には主に2つの方法があります。

ヒストリカル法：過去（またはシミュレーション）の損失データの経験分位点をそのまま使う。分布を仮定しない。
パラメトリック法：損失（損益）が正規分布に従うと仮定し、 $\mathrm{VaR}_\alpha = -\mu + \sigma\,z_\alpha$ （ $z_\alpha$ は標準正規の $\alpha$ 分位点）で計算。

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(42)
mu, sigma = 2.0, 10.0
profit = rng.normal(mu, sigma, size=200_000)
loss = -profit                                  # 損失 = -損益

for alpha in [0.95, 0.99]:
    var_hist = np.quantile(loss, alpha)                       # ヒストリカルVaR
    var_param = -mu + sigma * stats.norm.ppf(alpha)           # パラメトリックVaR
    print(f"信頼水準 {alpha:.0%}: VaR(ヒストリカル)={var_hist:.2f}  VaR(正規)={var_param:.2f} 万円")

出力：

信頼水準 95%: VaR(ヒストリカル)=14.51  VaR(正規)=14.45 万円
信頼水準 99%: VaR(ヒストリカル)=21.28  VaR(正規)=21.26 万円

出力の意味：95% VaR は約14.5万——「95%の確率で損失は14.5万以内、5%の確率でそれを超える」。99%にすると21.3万に増えます（より稀な悪い事象まで見るほどVaRは大きい）。ヒストリカルと正規がほぼ一致するのは、データを正規分布で生成したから。現実の損益は裾が厚く（fat tail）、この2つがズレる——そのとき正規VaRは大損失を過小評価しがちです。

2. 図で見る：VaR は裾の「入口」

VaR は損失分布のどこを指しているのか。ヒストグラム上に置くと、最悪 $(1-\alpha)$ の裾が始まる境界であることが分かります。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib

rng = np.random.default_rng(42)
profit = rng.normal(2.0, 10.0, size=200_000)
loss = -profit
alpha = 0.95
var = np.quantile(loss, alpha)
cvar = loss[loss >= var].mean()                 # 参考：裾の平均（CVaR）

plt.figure(figsize=(7.5, 4.5))
plt.hist(loss, bins=120, density=True, alpha=0.5, color="steelblue", label="損失分布")
plt.axvline(var, color="orange", lw=2, label=f"VaR(95%)={var:.1f}")
plt.axvline(cvar, color="red", lw=2, label=f"CVaR(95%)={cvar:.1f}")
plt.xlabel("損失 L = -損益（万円）"); plt.ylabel("確率密度")
plt.title("VaRは裾の入口、CVaRは裾の平均（95%）")
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3); plt.tight_layout(); plt.show()

図の意味：オレンジの線（VaR=14.5）が、損失分布の右裾の「入口」に立ちます。その右側の面積がちょうど5%。VaR は**「裾がどこから始まるか」だけを教え、その先で損失が14.5万なのか100万なのかは区別しません。赤い線（CVaR=18.6）は裾の平均**で、VaR より右——「裾に入ったら平均どれだけ損するか」を表します。VaR の弱点（裾の中身を無視）が、この2本の線の差として見えています。

3. VaR の2つの弱点

VaR は直感的で規制（バーゼル等）でも長く使われましたが、理論的な欠陥があります。

裾の厚みを無視する：VaR は「閾値を超える確率が5%」しか言わず、超えたときにいくら損するかを完全に無視します。VaR が同じでも、その先が −20万の分布と −500万の分布では危険度が段違い。VaR は両者を区別できません。
劣加法性を満たさない：2つの資産を組み合わせた（分散投資した）ポートフォリオのVaRが、個別VaRの和を上回ることがあります。 $\mathrm{VaR}(A+B) > \mathrm{VaR}(A) + \mathrm{VaR}(B)$ 。これは「分散投資でリスクが減る」という常識に反し、リスク測度として致命的です（整合的リスク測度の公理で実例）。

どちらの弱点も、損失分布の「裾の中身」を見ないことに起因します。これを正面から補うのが、裾の平均を取るCVaR（期待ショートフォール）です。

数式の直観的意味：分位点は「順位」、平均ではない

VaR が分位点であることが、弱点の根源です。分位点は順位の情報（上位5%の境目）しか使わず、その先の値の大きさを捨てます。中央値が外れ値に鈍感なのと同じ理屈で、VaR は裾の外れ値（巨大損失）に鈍感。これは平時には安定性として働きますが、危機時には「ありえない損失」を見落とす盲点になります。さらに分位点は一般に非線形・非凸な汎関数なので、和に対して素直に振る舞わず（劣加法性が破れ）、最適化の目的関数としても扱いにくい。分位点でなく裾の期待値を取れば線形性・凸性が回復する——これが CVaR が整合的になる数学的な理由で、整合的リスク測度の公理の核心です。

⚠️ よくある誤解

「VaRは最大損失」ではない：VaR は「95%の確率で超えない額」であって、最大損失ではありません。残り5%ではVaRをいくらでも超えうる。「最悪でもVaRまで」と誤解すると危険です。
「99% VaRなら安全」ではない：信頼水準を上げても、その先（1%の世界）の損失は依然見えません。金融危機の損失はまさにこの「先」で起きます。
「正規分布VaRで十分」ではない：現実の損益は裾が厚く、正規VaRは稀な大損失を過小評価します。ヒストリカルやストレステストで補完します。
「VaRが小さい＝低リスク」とは限らない：裾が極端に厚ければ、VaRが小さくてもCVaRは巨大になりえます。VaRだけでリスクを語らないこと。

対応シミュレーション

本文のコードで、分布を裾の厚いもの（t分布や混合正規）に変えると、ヒストリカルVaRと正規VaRが乖離し、正規VaRが大損失を過小評価する様子を確認できます。