CVaR（期待ショートフォール）

🎓 レベル：発展　|　重要度：A（必須）

📎 前提：VaR（バリュー・アット・リスク）　|　関連：整合的リスク測度の公理・数理最適化（CVaR最小化）

要点（BLUF）

CVaR（Conditional VaR ＝期待ショートフォール ES） は、損失が VaR を超えたとき、その超過部分も含めた平均損失。「最悪 $(1-\alpha)$ の事象が起きたら平均いくら損するか」。
定義： $\mathrm{CVaR}_\alpha(L) = \mathbb{E}[L \mid L \ge \mathrm{VaR}_\alpha(L)]$ （連続分布の場合）。常に $\mathrm{CVaR}_\alpha \ge \mathrm{VaR}_\alpha$ 。
CVaR は裾の厚みを反映し、整合的リスク測度の4公理を満たし（整合的リスク測度の公理）、しかも凸なので最適化に向きます。VaR の弱点を一掃する後継測度です。

1. CVaR の定義：裾の平均

VaR は「裾の入口」しか見ませんでした（VaR（バリュー・アット・リスク））。CVaR は裾の中身の平均を取ります。

\mathrm{CVaR}_\alpha(L) = \mathbb{E}\big[\,L \;\big|\; L \ge \mathrm{VaR}_\alpha(L)\,\big] \;=\; \frac{1}{1-\alpha}\int_{\alpha}^{1} \mathrm{VaR}_u(L)\,du

最後の式は「 $\alpha$ から1までのVaRを平均したもの」で、 $\alpha$ より厳しい全信頼水準のVaRをならした値。だから CVaR は必ず VaR 以上で、裾が厚いほど両者の差が開きます。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
profit = rng.normal(2.0, 10.0, size=200_000)
loss = -profit

for alpha in [0.95, 0.99]:
    var = np.quantile(loss, alpha)
    cvar = loss[loss >= var].mean()           # VaR以上の損失の平均
    print(f"信頼水準 {alpha:.0%}: VaR={var:.2f}  CVaR={cvar:.2f}  差={cvar-var:.2f} 万円")

出力：

信頼水準 95%: VaR=14.51  CVaR=18.65  差=4.13 万円
信頼水準 99%: VaR=21.28  CVaR=24.69  差=3.42 万円

出力の意味：95%水準で、VaR は14.5万ですが CVaR は18.6万。「5%の悪い事象が起きたら、平均18.6万損する」。VaR との差4.1万が、VaR が見落としていた『裾の中身』 です。99%でも CVaR が VaR を上回ります。正規分布だと差は小さめですが、裾の厚い現実の分布ではこの差が大きく開き、CVaR の優位（裾の深さを捉える）が際立ちます。

2. CVaR が VaR より優れる3点

CVaR は VaR の弱点（VaR（バリュー・アット・リスク）の節3）をすべて解消します。

裾の厚みを反映する：定義そのものが裾の平均なので、「VaR を超えた先がどれだけ深いか」を直接測ります。VaR が同じでも、裾が厚い分布は CVaR が大きくなり、ちゃんと「より危険」と判定します。
整合的（劣加法性を満たす）： $\mathrm{CVaR}(A+B) \le \mathrm{CVaR}(A) + \mathrm{CVaR}(B)$ 。分散投資がリスクを減らす（少なくとも増やさない）という常識を、測度が守ります（整合的リスク測度の公理で実証）。
凸である：CVaR はポジションについて凸関数なので、CVaR を最小化する最適化問題が凸計画になり、線形計画として解けます（Rockafellar–Uryasev）。最適化手法の詳細は数理最適化のturfですが、「最適化しやすい」ことは実務で決定的な利点です。

3. VaR と CVaR の使い分け

両者は対立するというより、役割が違います。

VaR：直感的で報告しやすい（「95%の確率でこの額以内」）。規制・経営報告での共通言語。
CVaR：裾のリスクを正しく捉え、最適化・分散効果の評価に向く。リスク管理の内部モデルや配分最適化で主役。

バーゼル規制も、市場リスクの内部モデルで VaR から期待ショートフォール（CVaR）へ移行しました（FRTB）。これは「裾を見ない VaR では危機を捉えられない」という金融危機の教訓を反映したものです。報告は VaR、運用判断は CVaR という併用が実務的です。

数式の直観的意味：なぜ平均化で整合性が戻るか

VaR の非整合性は「分位点が順位しか見ない・非凸」ことに由来しました（VaR（バリュー・アット・リスク））。CVaR は分位点を裾全体で平均します。平均（期待値）は線形作用素なので、和に対して素直で、 $\mathbb{E}[\cdot]$ の単調性・凸性を引き継ぎます。直観的には、VaR が「裾の1点」を見て隣の点に飛び移る（不連続・非凸）のに対し、CVaR は「裾全体の重心」を見るので滑らかに動く。Rockafellar–Uryasev の表現

\mathrm{CVaR}_\alpha(L) = \min_{t}\ \Big\{\, t + \tfrac{1}{1-\alpha}\,\mathbb{E}[(L-t)_+]\,\Big\}

は、CVaR が「 $t$ に関する凸関数の最小値」として書けることを示します。 $(L-t)_+$ が凸で、その期待値も凸、最小化しても凸性が保たれる——だから CVaR は凸測度になります。この変分表現が、CVaR 最小化を線形計画に落とす鍵で、数理最適化に繋がります。

⚠️ よくある誤解

「CVaRはVaRの単なる安全マージン」ではない：CVaR は裾の平均という独立した情報で、VaR に定数を足したものではありません。分布の形でVaRとの差は変わります。
「CVaR ≥ VaR は分布によらず成立」：これは常に正しい（裾の平均は裾の入口以上）。逆転したら計算ミスです。
「CVaRなら裾を完全に把握」ではない：CVaR は裾の平均で、最悪値（最大損失）ではありません。極端な1点の損失額自体は CVaR にもならされます。
「CVaRは推定が簡単」ではない：裾の平均は少数のサンプルに依存するため、VaR より推定の分散が大きく、十分なデータやモデルが要ります。

対応シミュレーション

本文のコードで、分布を裾の厚いもの（t分布など）に変えると、VaR はあまり動かないのに CVaR が大きく増える——CVaR が裾の厚みを捉えることを確認できます。