← 計量経済学 一覧

🎓 レベル：基礎　|　重要度：B（推奨） 📎 土台：重回帰分析（統計・OLS）・ロジスティック回帰（機械学習）

要点（BLUF）

• 線形確率モデル（LPM） ＝ 0/1の被説明変数にそのままOLSを当てる方法。$E[y\mid x]=P(y=1\mid x)$ なので、係数が「確率の差」として直読みできる手軽さが魅力。
• 限界は3つ：(1) 予測確率が0-1を外れる、(2) 誤差が本質的に不均一分散、(3) 限界効果が一定（端でも同じ）という非現実的な含意。
• だから確率を0-1に収める非線形モデル（ロジット・プロビット、ロジット・プロビット）へ進みます。ただしLPMは限界効果の近似や操作変数との併用で今も実務で使われます。

1. LPMの考え方と利点

$y\in\{0,1\}$（就職する/しない）に対し $y=\beta_0+\beta_1 x+u$ をOLS推定します。$y$ が0か1なので条件付き期待値は確率そのもの：

よって $\beta_1$ は「$x$ が1増えたときの確率の増分」と直読みできます。この解釈の明快さと、操作変数・固定効果との組み合わせやすさ（線形なので2SLSやFEにそのまま乗る）がLPMの強み。係数の符号と大きさを素早く把握したいときに便利です。

2. 3つの限界

flowchart TB
    A["0/1 の y に OLS（LPM）"] --> B["予測 P(y=1|x) が 0-1 を外れる"]
    A --> C["誤差が不均一分散（p(1-p)に依存）"]
    A --> D["限界効果が一定（端でも同じ増分）"]
    B --> E["→ ロジット/プロビットで 0-1 に収める"]
    D --> E

• 範囲外の予測：線形なので $x$ が極端だと予測確率が負や1超になる。確率として解釈不能。
• 不均一分散：$y$ がベルヌーイなので $\mathrm{Var}(y\mid x)=p(1-p)$ と $x$ に依存。標準誤差は必ず頑健標準誤差（不均一分散と頑健標準誤差）にする必要があります（係数は一致）。
• 一定の限界効果：確率が0.05でも0.95でも同じ $\beta_1$ だけ動くという含意は不自然。端では効果が小さくなる（飽和する）はずです。

3. それでもLPMが使われる理由

非線形モデルの限界効果は、平均付近ではしばしばLPMの係数と近くなります。また、内生性対策（操作変数・固定効果）を施したいとき、ロジット/プロビットは非線形のため2SLSやFEを素直に組み込めない一方、LPMは線形なので相性が良い。実証ミクロでは「主結果はLPM＋固定効果＋頑健標準誤差、補助としてロジット/プロビット」という構成がよく見られます。手軽さと拡張性のトレードオフで選びます。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

• 「予測が0-1を外れるからLPMは無価値」ではない：限界効果の近似や線形手法との併用では有用。要は目的次第。
• 「LPMの標準誤差は通常でよい」ではない：構造的に不均一分散なので頑健標準誤差は必須。
• 「係数＝確率の差」をどんな$x$でも適用できるわけではない：範囲の端では予測確率が破綻するので、その近辺の解釈は慎重に。
• 分類の評価指標を混同しない：ここで知りたいのは確率・限界効果。予測の良し悪し（ROC-AUC、評価指標（分類）とROC・AUC）とは目的が違います。

関連ノート

• ロジット・プロビット（0-1に収める非線形モデル）
• トービット・打ち切り回帰（連続だが制限される従属変数）
• ロジスティック回帰・評価指標（分類）とROC・AUC（機械学習・分類の機械）
• 不均一分散と頑健標準誤差（LPMに必須の頑健標準誤差）
• 離散選択と制限従属変数 目次
• 計量経済学 全体目次