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🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：伊藤の補題　|　関連：モンテカルロ法によるオプション価格（モンテカルロ価格づけ）

要点（BLUF）

• GBM の解 $S_t = S_0\exp\!\big((\mu-\tfrac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t\big)$ を価格モデルとして使えば、任意の時点の価格を直接サンプリングできます。
• モンテカルロ法で多数の価格経路を生成すれば、将来分布・到達確率・期待値を数値で得られます。これが第6章のデリバティブ価格づけの土台です。
• 観測した対数リターンから $\mu,\sigma$ を逆算（キャリブレーション）できますが、$\sigma$ は精度よく、$\mu$ は何十年あっても精度が出ない——この非対称性がリスク中立評価（第4章）の伏線です。

1. GBMによる価格経路の生成

伊藤の補題 で導いた解は、各時刻の価格をシミュレーションの近似なしに直接与えてくれます（厳密解なので離散化誤差ゼロ）。

ブラウン運動 $W_t$ を増分の累積で作り、その経路に上の式を当てれば価格経路ができます。1万本の経路を生成し、**パーセンタイルバンド（ファンチャート）**で将来の散らばりを可視化します。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib

rng = np.random.default_rng(3)
S0, mu, sigma, T, N = 100.0, 0.10, 0.20, 1.0, 252
dt = T/N
t = np.linspace(0, T, N+1)

M = 10000
dW = rng.normal(0, np.sqrt(dt), (M, N))                       # 増分
W = np.concatenate([np.zeros((M, 1)), np.cumsum(dW, axis=1)], axis=1)
S = S0*np.exp((mu - 0.5*sigma**2)*t + sigma*W)               # 全経路（厳密解）

qs = [5, 25, 50, 75, 95]
bands = np.percentile(S, qs, axis=0)

plt.figure(figsize=(8, 5))
for i in range(30):                                          # 経路を数本だけ薄く描く
    plt.plot(t, S[i], lw=0.4, color="gray", alpha=0.5)
for q, band in zip(qs, bands):
    plt.plot(t, band, lw=2, label=f"{q}パーセンタイル")
plt.plot(t, S0*np.exp(mu*t), "k--", lw=2, label="平均 S0·e^(μt)")
plt.xlabel("時間 t（年）"); plt.ylabel("価格")
plt.title("GBM の価格経路とパーセンタイルバンド")
plt.legend(); plt.tight_layout(); plt.show()

print("1年後の価格のパーセンタイル:")
for q in qs:
    print(f"  {q:>2}% : {np.percentile(S[:, -1], q):.2f}")

出力：

1年後の価格のパーセンタイル:
   5% : 77.59
  25% : 94.45
  50% : 107.88
  75% : 123.61
  95% : 149.83

出力の意味：1年後の価格は5%点で 77.59、95%点で 149.83 と、大きく広がります（中央値は 107.88）。時間とともにバンドがラッパ状に開いていくのが、不確実性が √t で増える様子です。バンドは中央値より上側に広い——対数正規の右の裾です。この「将来分布を経路ごと丸ごと持っている」状態が強力で、たとえば「1年後に120円を超える確率」も np.mean(S[:, -1] > 120) で即座に計算できます。デリバティブの価格づけ（第6章）は、まさにこの経路群の上でペイオフを平均する操作です。

2. キャリブレーション：データからμ・σを逆推定

モデルを使うには $\mu,\sigma$ を決める必要があります。観測した日次対数リターンから逆算します。GBM では日次対数リターンが平均 $(\mu-\tfrac{\sigma^2}{2})\Delta t$・標準偏差 $\sigma\sqrt{\Delta t}$ なので、

で推定できます（$\hat\mu$ の式の $+\hat\sigma^2/2$ は伊藤補正の戻し）。40年ぶんの「観測データ」を作って、$\mu=0.10,\sigma=0.20$ を復元できるか試します。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(19)
S0, mu, sigma, T, N = 100.0, 0.10, 0.20, 1.0, 252
dt = T/N
n_years = 40

# n_years 年ぶんの日次対数リターン（観測データのつもり）
dW = rng.normal(0, np.sqrt(dt), N*n_years)
log_ret_daily = (mu - 0.5*sigma**2)*dt + sigma*dW

# 逆推定（キャリブレーション）
sigma_hat = log_ret_daily.std(ddof=1) / np.sqrt(dt)
mu_hat = log_ret_daily.mean()/dt + 0.5*sigma_hat**2

print(f"真の値 : μ = {mu},  σ = {sigma}")
print(f"推定値 : μ_hat = {mu_hat:.4f},  σ_hat = {sigma_hat:.4f}")
print(f"μ_hat の標準誤差 およそ {sigma_hat/np.sqrt(n_years):.4f}（40年でもこの大きさ）")

出力：

真の値 : μ = 0.1,  σ = 0.2
推定値 : μ_hat = 0.0947,  σ_hat = 0.2001
μ_hat の標準誤差 およそ 0.0316（40年でもこの大きさ）

出力の意味：$\hat\sigma=0.2001$ は真の $0.20$ をほぼ完璧に復元します。いっぽう $\hat\mu=0.0947$ は近いものの、標準誤差が $\pm0.0316$ もあります——40年というありえないほど長いデータを使っても、ドリフト $\mu$ は ±3%程度の精度でしか決まらない。$\hat\mu$ の標準誤差は $\sigma/\sqrt{\text{年数}}$ で、これを ±1% にするには約400年が必要です。ボラはサンプルを細かくするほど精度が上がるのに、ドリフトはサンプル期間の長さでしか改善せず、現実的には測れません。「$\mu$ は推定できない」というこの事実が、次章で**オプション価格が $\mu$ に依存しない（リスク中立評価）**という驚きの結果につながります。

3. 何に使うのか

GBM＋モンテカルロのセットは、金融工学の数値計算エンジンです。

• 将来分布のシナリオ：年金・保険の積立や資産形成のシミュレーション。
• デリバティブ価格づけ：満期ペイオフを多数経路で平均し割り引く（第6章 モンテカルロ法によるオプション価格）。
• リスク指標：将来損失の分布から VaR・CVaR を求める（第8章）。

いずれも「価格の将来分布を経路ごと持つ」ことが出発点で、その分布を与えるのが GBM です。

⚠️ よくある誤解

• 「経路を細かく刻むほど厳密解が要る」ではない：GBM は解析解があるので、$S_t$ を時間刻みの誤差なく直接サンプリングできます。オイラー近似 $S_{t+\Delta t}=S_t(1+\mu\Delta t+\sigma\Delta W)$ には離散化バイアスが入りますが、厳密解の指数形なら不要です。
• キャリブレーションでμを信用しすぎない：$\hat\mu$ は標準誤差が大きく、将来予測には使えません。価格づけが $\mu$ に依らない（リスク中立）のは、この弱点を回避する設計でもあります。
• GBM は現実の近似：ボラ一定・正規ショック・ジャンプなしという仮定は、暴落やボラのクラスタリングを捉えきれません。出発点として強力ですが、過信は禁物（第9章で拡張・要最新確認）。

関連ノート

• 第3章 確率過程と資産価格 目次
• 伊藤の補題 — 前提：GBM の解の導出
• モンテカルロ法によるオプション価格 — この経路生成を価格づけに使う
• 二項モデルとリスク中立評価 — μ に依存しない価格づけ
• 金融工学テキスト 全体目次 — 第4章 デリバティブと無裁定へ続く