伊藤の補題｜金融工学

🎓 レベル：発展　|　重要度：A（必須）

📎 前提：ブラウン運動と幾何ブラウン運動　|　数理：ブラウン運動（統計）

要点（BLUF）

伊藤の補題は、確率過程に対する連鎖律です。 $dX=a\,dt+b\,dW$ のとき、 $f(t,X)$ の微分には通常の連鎖律にない $\tfrac12 b^2 f_{xx}$ という補正項が加わります。
補正の由来は $(dW)^2 = dt$ 。ブラウン運動の二次変分が消えずに残るため、 $dX$ の2次の項を無視できません。
GBM に $f=\ln S$ を当てると $d(\ln S)=(\mu-\tfrac{\sigma^2}{2})\,dt+\sigma\,dW$ 。これがブラウン運動と幾何ブラウン運動の解と $-\sigma^2/2$ 補正の出どころで、ブラック–ショールズ（第5章）の心臓部です。

1. なぜ普通の連鎖律ではダメか

通常の微積分なら、 $f(t,X)$ の変化は1次まで（テイラー展開の1次項）で済みます。

df = f_t\,dt + f_x\,dX

ところが $X$ がブラウン運動で動くと、2次の項が消えません。テイラー展開を2次まで残すと

df = f_t\,dt + f_x\,dX + \tfrac12 f_{xx}\,(dX)^2 + \cdots

ここで $dX=a\,dt+b\,dW$ を代入し、ブラウン運動の特殊な計算規則

(dW)^2 = dt,\qquad dt\cdot dW = 0,\qquad (dt)^2 = 0

を使うと、 $(dX)^2 = b^2(dW)^2 = b^2\,dt$ が1次の $dt$ として生き残ります。通常の微積分なら $(dX)^2$ は2次の微小量として無視できるのに、ブラウン運動では $(dW)^2$ が $dt$ のオーダーで残る——これが伊藤の補題のすべてです。まずこの $(dW)^2=dt$ を数値で確かめます。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(5)
T, N = 1.0, 100000
dt = T/N
dW = rng.normal(0, np.sqrt(dt), N)    # ブラウン運動の増分

print(f"Σ(dW)^2  = {np.sum(dW**2):.5f}   (理論では T = {T})")
print(f"Σ(dW)dt  = {np.sum(dW)*dt:.3e}   (→ 0)")
print(f"Σ(dt)^2  = {N*dt**2:.3e}         (→ 0)")

出力：

Σ(dW)^2  = 0.99768   (理論では T = 1.0)
Σ(dW)dt  = 2.880e-06   (→ 0)
Σ(dt)^2  = 1.000e-05         (→ 0)

出力の意味：増分の2乗を足し上げると $\sum(dW)^2 = 0.998 \approx T$ で、確かに $(dW)^2$ は平均的に $dt$ ぶんずつ積み上がります（二次変分が $T$ に収束）。いっぽう $\sum(dW)\,dt$ と $\sum(dt)^2$ は $10^{-5}$ オーダーで実質ゼロ。だから残すべきは $(dW)^2=dt$ の項だけ——この非自明な事実が、確率過程の微分を通常の微分と分ける一線です。

2. 伊藤の補題

以上を整理すると、伊藤の補題が得られます。 $dX_t = a\,dt + b\,dW_t$ に従う過程と、滑らかな関数 $f(t,X)$ について

df = \left(f_t + a\,f_x + \tfrac12 b^2 f_{xx}\right)dt + b\,f_x\,dW

通常の連鎖律 $df=f_t\,dt+f_x\,dX$ と比べると、ドリフト部分に $\tfrac12 b^2 f_{xx}$ が増えています。この余分な項こそ、確率的なノイズが関数の曲がり（ $f_{xx}$ ）を通じて系統的なドリフトを生むという、金融工学で繰り返し現れる効果です（凸性・ガンマ・ボラティリティの価値）。

3. 幾何ブラウン運動への適用

GBM $dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW$ は $a=\mu S$ 、 $b=\sigma S$ の場合です。これに $f(S)=\ln S$ を当てます。導関数は

f_t = 0,\qquad f_x = \frac{1}{S},\qquad f_{xx} = -\frac{1}{S^2}

伊藤の補題に代入すると、 $S$ がきれいに消えます。

d(\ln S) = \left(\mu S\cdot\frac{1}{S} + \tfrac12\sigma^2 S^2\cdot\Big(-\frac{1}{S^2}\Big)\right)dt + \sigma S\cdot\frac{1}{S}\,dW = \Big(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\Big)dt + \sigma\,dW

右辺はもう $S$ を含まず、 $\ln S$ がドリフト $\mu-\tfrac{\sigma^2}{2}$ ・ボラ $\sigma$ の算術ブラウン運動だと分かります。両辺を $0$ から $t$ まで積分すれば

\ln S_t - \ln S_0 = \Big(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\Big)t + \sigma W_t \quad\Longrightarrow\quad S_t = S_0\exp\!\Big(\big(\mu-\tfrac{\sigma^2}{2}\big)t + \sigma W_t\Big)

ブラウン運動と幾何ブラウン運動で天下りに与えた解が、伊藤の補題から導けました。 $-\sigma^2/2$ は伊藤補正項そのものです。

4. 数値検証

伊藤の補題が正しいなら、対数リターン $\ln(S_T/S_0)$ の平均は $\mu T$ ではなく $(\mu-\tfrac{\sigma^2}{2})T$ になるはずです。いっぽう価格そのものの平均 $E[S_T/S_0]$ は $e^{\mu T}$ のまま。両方を同時に確かめます。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(2)
S0, mu, sigma, T = 100.0, 0.10, 0.20, 1.0
M = 500000

W_T = rng.normal(0, np.sqrt(T), M)
S_T = S0*np.exp((mu - 0.5*sigma**2)*T + sigma*W_T)
logret = np.log(S_T/S0)

print(f"E[ln(S_T/S0)] (シミュ)   = {logret.mean():.5f}")
print(f"(μ - σ^2/2)T  ← 伊藤の予言 = {(mu-0.5*sigma**2)*T:.5f}")
print(f"μT            ← 素朴な誤り  = {mu*T:.5f}")
print(f"Var[ln(S_T/S0)] (シミュ) = {logret.var():.5f}")
print(f"σ^2 T                    = {sigma**2*T:.5f}")
print(f"E[S_T/S0] (シミュ)        = {np.mean(S_T/S0):.5f}  (理論 e^(μT)={np.exp(mu*T):.5f})")

出力：

E[ln(S_T/S0)] (シミュ)   = 0.08031
(μ - σ^2/2)T  ← 伊藤の予言 = 0.08000
μT            ← 素朴な誤り  = 0.10000
Var[ln(S_T/S0)] (シミュ) = 0.03998
σ^2 T                    = 0.04000
E[S_T/S0] (シミュ)        = 1.10549  (理論 e^(μT)=1.10517)

出力の意味：シミュレーションした対数リターンの平均 0.08031 は、伊藤が予言する $(\mu-\sigma^2/2)T=0.080$ に一致し、素朴な $\mu T=0.10$ とは明確に違います。分散も $\sigma^2 T=0.04$ にぴたり。いっぽう価格レベルの平均 $E[S_T/S_0]=1.10549$ は $e^{\mu T}=1.10517$ に一致——**「対数で測ると $\mu-\sigma^2/2$ 、レベルで測ると $\mu$ 」**という対数正規の二面性が、伊藤の補題から定量的に出ています。この $\sigma^2/2$ のギャップこそ、次章以降のオプション価格づけで「ボラティリティに価値がある」ことの数理的な源です。

⚠️ よくある誤解

「 $d(\ln S)$ のドリフトは $\mu$ 」ではない：素朴に連鎖律を使うと $\mu$ になりますが、正しくは $\mu-\sigma^2/2$ 。伊藤補正を忘れると、ボラの効果（ドラッグ）を丸ごと落とします。
$(dW)^2=dt$ は近似ではなく定義上の規則：確率積分（伊藤積分）の枠組みで厳密に正当化されます。二次変分が確定値 $T$ に収束する（上のコード）のがその現れです。
伊藤の補題はドリフトだけでなく拡散項にも効く：拡散項は $b\,f_x\,dW$ で、 $f$ の傾きでスケールされます。 $f=\ln S$ では $\sigma S\cdot(1/S)=\sigma$ と定数になり、対数価格のボラが一定（時間に依らない）という扱いやすさを生みます。